2021-2022学年湖南省益阳市上马中学高二数学理期末试题含解析

2021-2022学年湖南省益阳市上马中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）过点M（﹣6，6）；（2）焦点F在直线l：3x﹣2y﹣6=0上．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）根据题意，分析可得要求抛物线开口向左或开口向上，进而分情况求出抛物线的方程，综合可得答案；（2）根据题意，求出直线与坐标轴交点坐标，进而可得抛物线焦点的坐标，分别求出抛物线的方程，综合可得答案．【解答】解：（1）抛物线过点M（﹣6，6），则其开口向左或开口向上，若其开口向左，设其方程为y2=﹣2px，将M（﹣6，6）代入方程可得：62=﹣2p×（﹣6），解可得，p=3，此时其标准方程为：y2=﹣6x，若其开口向上，设其方程为x2=2py，将M（﹣6，6）代入方程可得：（﹣6）2=2p×6，解可得，p=3，此时其标准方程为：x2=6y，综合可得：抛物线的方程为：y2=﹣6x或x2=6y；（2）根据题意，直线l：3x﹣2y﹣6=0与坐标轴交点为（2，0）和（0，﹣3）；则要求抛物线的焦点为（2，0）或（0，﹣3），若其焦点为（2，0），则其方程为y2=4x，若其焦点为（0，﹣3），则其方程为x2=﹣6y，综合可得：抛物线的方程为：y2=4x或x2=﹣6y．2.已知z=（）8，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，在由虚数单位i得性质求解．【解答】解：∵z=（）8=，∴．故选：A．3.复平面上矩形ABCD的四个顶点中，A、B、C所对应的复数分别为、、，则D点对应的复数是（

）A. B. C. D.参考答案：B分析：先设D(x,y),再根据得到点D的坐标，即得D对应的复数.详解：D(x,y),由题得，因为，所以所以D(-3，-2).所以点D对应的复数为，故答案为：B点睛：（1）本题主要考查复数的几何意义，考查向量的坐标运算和向量的相等的定义，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)复数z=a+bi（a,b∈R）与直角坐标平面内的点（a,b）是一一对应的.4.ABC的外接圆圆心为O，半径为2，，且，在方向上的投影为(

)

A.-3

B

C．

D．3参考答案：C5.定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），有，则（）A．f（﹣4）＜f（3）＜f（﹣2） B．f（﹣2）＜f（3）＜f（﹣4） C．f（3）＜f（﹣2）＜f（﹣4） D．f（﹣4）＜f（﹣2）＜f（3）参考答案：A【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，分析可得函数f（x）在区间（﹣∞，0）上为增函数，则有f（﹣4）＜f（﹣3）＜f（﹣2），结合函数的奇偶性可得f（﹣4）＜f（3）＜f（﹣2），即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），有，则函数f（x）在区间（﹣∞，0）上为增函数，则有f（﹣4）＜f（﹣3）＜f（﹣2），由于函数f（x）为偶函数，则有f（3）=f（﹣3），则有f（﹣4）＜f（3）＜f（﹣2），故选：A．6.如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则+（-）等于A.B.C.D.参考答案：C【分析】由向量的线性运算的法则计算．【详解】-＝，，∴+（-）．故选C．【点睛】本题考查空间向量的线性运算，掌握线性运算的法则是解题基础．7.若x，y是正数，且+=1，则xy有（）A．最小值16 B．最小值 C．最大值16 D．最大值参考答案：A【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0，∴1=≥2=4，当且仅当4x=y=8时取等号．∴，即xy≥16，∴xy有最小值为16．故选A．8.将9个数排成如下图所示的数表，若每行的3个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的3个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数a22＝2，则表中所有数之和为(A)512

(B)20

(C)18

(D)不确定的数参考答案：C略9.曲线y＝x3上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB(O是原点)是以A为顶点的等腰三角形，则切线l的倾斜角为()A．30°

B．45°

C．60°

D．120°

参考答案：C略10.复数

(

）A． B． C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(经过圆锥旋转轴的截面中两条母线的夹角)是

参考答案：60°12.

在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线、于点、，若，则直线的斜率为

.参考答案：－213.已知椭圆﹣=1的离心率e=，则m的值为：．参考答案：﹣3或﹣【考点】椭圆的简单性质．【分析】分两种情况加以讨论：当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆离心率为e==，解之得m=﹣3；当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的离心率为e==，解之得m=﹣．最后综上所述，得到正确答案．【解答】解：将椭圆﹣=1化成标准形式为：①当椭圆的焦点在x轴上时，a2=5，b2=﹣m∴椭圆的离心率为e==，解之得m=﹣3②当椭圆的焦点在y轴上时，a2=﹣m，b2=5∴椭圆的离心率为e==，解之得m=﹣综上所述，可得m的值为：﹣3或﹣故答案为：﹣3或﹣14.已知复数z与（z﹣3）2+5i均为纯虚数，则z=

．参考答案：±3i【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：设z=bi（b∈R，b≠0），∵（z﹣3）2+5i=（bi﹣3）2+5i=9﹣b2+（﹣6b+5）i为纯虚数，∴，解得b=±3，∴b=±3i．故答案为：±3i．15.已知F1为椭圆的左焦点，直线l：y=x﹣1与椭圆C交于A、B两点，那么|F1A|+|F1B|的值为_________．参考答案：略16.i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为

．参考答案：1【考点】A2：复数的基本概念．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+i）z=2，得，∴z的实部为1．故答案为：1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．17.曲线在点(1，-3)处的切线方程是

参考答案：

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数,曲线在点处切线方程为.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)讨论的单调性,并求的极小值。参考答案：略19.（本题满分12分）已知函数，（Ⅰ）判断函数的奇偶性；（Ⅱ）求函数的单调区间；参考答案：解：（Ⅰ）函数的定义域为{且}

∴为偶函数

…………4分（Ⅱ）当时，

…………5分若，则，递减；

若，

则，递增．再由是偶函数，…………10分得的递增区间是和；递减区间是和．

……………12分20.如图，在空间几何体A﹣BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD∥BE，CD=2BE=4，∠CDE=60°，△ADE是边长为2的等边三角形，F为AC的中点．AC=4（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BCDE；（Ⅱ）求几何体C﹣BDF的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取DE的中点H，连AH，CH，推导出AH⊥DE，AH⊥HC，由此能证明平面ADE⊥BCDE．（2）几何体C﹣BDF的体积，由此能求出结果．【解答】证明：（1）取DE的中点H，连AH，CH，∵△ADE为等边三角形，∴AH⊥DE，且，在△DHC中，DH=1，DC=4，HDC=60°，∴，∴AC2=AH2+HC2，即AH⊥HC，∵DE∩HC=H，∴AH⊥平面BCDE，∵AH?平面ADE，∴平面ADE⊥BCDE…==2，∵F是AC中点，∴几何体C﹣BDF的体积…21.(Ⅰ)已知a为实数，用分析法证明。（Ⅱ）用数学归纳法证明；参考答案：（I）见证明；（Ⅱ）见证明【分析】(Ⅰ)利用分析法，即可作出证明；（Ⅱ）利用数学归纳法，即可作出证明．【详解】证明：(Ⅰ)要证，只要证只要证只要证只要证只要证只要证只要证显然成立，故原结论成立．（Ⅱ）①当时，左边，右边，左边＝右边，等式成立．②假设当时等式成立，即，那么当时，左边右边左边＝右边，即当时等式也成立；综合①②可知等式对任何都成立．【点睛】本题主要考查了间接证明，以及数学归纳法的证明方法，其中解答中明确分析法的证明方法，以及数学归纳证明方法是解答的关键，对于数学归纳法证明过程中，在到的推理中必须使用归纳假设，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．22.已知函数的图象是由函数的图象经如下变换得到：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向左平移个单位长度.（1）求函数在上的单调递增区间；（2）已知关于x的方程在内有两个不同的解，.求的值.参考答案：（1）在上的单调递增区间，（2）【分析】（1）先求出，再利用三角函数的图像和性质求函数在上的单调递增区间；（2）先化简得，再利用三角函数的性质求出的值得解