2024年高考数学一轮复习第七章立体几何与空间向量第六节空间向量的应用课件

第六节空间向量的应用知识点86：利用空间向量研究直线、平面的位置关系教材知识萃取1.直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量平面的法向量知识点86：利用空间向量研究直线、平面的位置关系2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示

知识点86：利用空间向量研究直线、平面的位置关系思维拓展确定平面法向量的方法（1）直接法：观察是否有垂直于平面的直线，若有，则此直线的方向向量就是平面的法向量.

知识点86：利用空间向量研究直线、平面的位置关系

知识点86：利用空间向量研究直线、平面的位置关系方法技巧1.利用空间向量证明平行问题的方法线线平行证明两条直线的方向向量共线.线面平行（1）证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；（2）证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；（3）证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.面面平行（1）证明两个平面的法向量平行；（2）转化为线线平行、线面平行问题.知识点86：利用空间向量研究直线、平面的位置关系2.利用空间向量证明垂直问题的方法线线垂直证明两直线的方向向量垂直，即证它们的数量积为零．线面垂直（1）证明直线的方向向量与平面的法向量共线；（2）证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量都垂直．面面垂直（1）其中一个平面与另一个平面的法向量平行；（2）两个平面的法向量垂直.注意

用向量法证明平行与垂直问题时，要注意解题的规范性.如证明线面平行时，需要说明一条直线在平面内，另一条直线在平面外.教材素材变式多维变式，夯基础教材素材变式

答案1.AD选项正误原因A√教材素材变式续表

故选AD.选项正误原因B×因为对任意实数λ,a≠λn,所以l与α不垂直.C×因为n1·n2=0+0+6=6≠0,所以n1,n2不垂直,所以α与β不垂直.D√教材素材变式

答案

教材素材变式3.如图,已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别为AB,PC的中点,求证:(1)MN∥平面PAD;(2)平面PMC⊥平面PDC.教材素材变式答案

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教材素材变式方法总结

知识点87：利用空间向量求空间距离教材知识萃取求点P到直线l的距离求点P到平面α的距离求直线l、平面β到平面α的距离均可转化为点面距离,用求点面距的方法进行求解.

知识点87：利用空间向量求空间距离方法技巧求点到平面的距离的常用方法几何法找到点到平面的距离，通过解三角形求出距离，若点到平面的距离不易求，还可转化为过已知点且与相关平面平行的直线上的其他点到平面的距离求解.等体积法利用已知的点和平面构造四面体，利用四面体能够以任何一个面作为底面去求体积的特征，把四面体的体积以不同面为底表示两次，列出方程，解方程即可求出距离．知识点87：利用空间向量求空间距离向量法续表教材素材变式多维变式，夯基础教材素材变式

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教材素材变式答案3.ABD

对于选项A,如图1所示,连接AB1,交A1B于点E,连接DE,因为D是AC的中点,所以DE∥B1C,又DE⊂平面A1BD,B1C⊄平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD,故A正确;对于选项B,因为AB=BC,D是AC的中点,所以BD⊥AC,又平面AA1C1C⊥平面ABC,平面AA1C1C∩平面ABC=AC,BD⊂平面ABC,所以BD⊥平面AA1C1C,又BD⊂平面A1BD,所以平面A1BD⊥平面AA1C1C,故B正确;教材素材变式

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知识点88：利用空间向量求线线角教材知识萃取

易错提醒

知识点88：利用空间向量求线线角方法技巧求异面直线所成角的方法几何法将两直线平移到同一平面内，构造三角形，利用勾股定理或解三角形求两异面直线的夹角或其余弦值.向量法教材素材变式多维变式，夯基础教材素材变式

答案

教材素材变式2.已知a,b为空间中两条互相垂直的直线,直角三角形ABC的直角边AC所在的直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴进行旋转,∠ABC=30°,当直线AB与a所成的角为60°时,直线AB与b所成的角为

.

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教材素材变式【多维探究】在本题中,将条件“N为线段CD1上的动点”改为“N是侧面CC1D1D内(含边界)的一点,且B1N∥平面A1BD”,则异面直线C1D,MN所成角的正弦值的最小值为

.(将正确答案对应的选项填在答题线上)

答案【多维探究】

C

过B1作平面α∥平面A1BD,因为点N是侧面CC1D1D内(含边界)的一点,且B1N∥平面A1BD,所以N∈平面α,即N

在平面α与平面CC1D1D的交线上,连接B1D1,B1C,易得B1D1∥BD,B1C∥A1D,则B1D1∥平面A1BD,B1C∥平面A1BD,又B1D1∩B1C=B1,所以平面B1CD1∥平面A1BD,即平面B1CD1为α,则点N在线段CD1上.下面解法同第3题.教材素材变式4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,BC∥AD,AB⊥BC,∠ADC=45°,PA⊥平面ABCD,AB=AP=1,AD=3.(1)求异面直线PB与CD所成角的大小;(2)求点D到平面PBC的距离.答案

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知识点89：利用空间向量求线面角教材知识萃取

知识点89：利用空间向量求线面角

图1知识点89：利用空间向量求线面角方法技巧求直线与平面所成角的方法几何法利用直线与平面所成角的定义求解，具体步骤：（1）寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；（2）连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角；（3）通过解该角所在的三角形求解．注意

直线与平面平行或垂直的特殊情况.向量法教材素材变式多维变式，夯基础教材素材变式

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教材素材变式3.如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点.(1)证明:平面BED⊥平面ACD;(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当△AFC的面积最小时,求CF与平面ABD所成的角的正弦值.教材素材变式答案

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教材素材变式求解线面角一般有两个思路:一是建立空间直角坐标系,利用向量之间的夹角公式进行计算;二是求出点到平面的距离(等积法或直接作线面垂直求距离),利用直角三角形的性质进行求解.方法总结教材素材变式

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知识点90：利用空间向量求二面角教材知识萃取设平面α,β的法向量分别是n1,n2,平面α与平面β所成二面角的大小为θ,则知识点90：利用空间向量求二面角

知识点90：利用空间向量求二面角方法技巧求二面角常用的方法几何法根据定义作出二面角的平面角求解.向量法教材素材变式多维变式，夯基础教材素材变式

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教材素材变式求二面角的正弦值的易错点:一是求平面的法向量出错,应注意点的坐标的求解的准确性;二是公式用错,把线面角的向量公式与二面角的向量公式搞混,导致结果出错;三是空间想象能力不足而失分,当求出两个法向量的夹角的余弦值时,误以为是所求二面角的余弦值,因忽视对二面角是锐角或钝角的判断,导致所得结果出错.