2022-2023学年广东省江门市开平旅游职业高级中学高三数学理上学期期末试题含解析

2022-2023学年广东省江门市开平旅游职业高级中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】算出后可得它们的大小.【详解】∵，，，∴，故选：B．【点睛】本题考查指数幂的大小比较，属于容易题.2.，（

）

A、

B、-

C、

D、-参考答案：D3.在△ABC中，A、B、C为其三内角，满足tanA、tanB、tanC都是整数，且，则下列结论中错误的是（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】首先判断出A、B、C均为锐角，根据tanA、tanB、tanC都是整数，求得tanA、tanB、tanC的值，进而判断出结论错误的选项.【详解】由于，所以B、C都是锐角，又tanB、tanC都是正整数，这样，可见A也是锐角.这时，，，.有，即.但是，，比较可知只可能，，.由可知，选项B是正确的.至于选项C和D，由，可知，又，故选项C正确；又由，选项D正确、A选项错误.故选：A.【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查三角形内角和定理，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.4.已知，方程与的根分别为，，则的取值范围为（

）A．(1,+∞)

B．(0,+∞)C．

D．参考答案：A方程的根，即与图象交点的横坐标，方程的根，即与图象交点的横坐标，而的图象关于直线轴对称，如图所示：∴，∴，又，∴故选：A

5.若双曲线的渐近线方程是则该双曲线的离心率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C6.（5分）（2015?淄博一模）某中学从高三甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的中位数是86，则x+y的值为（）A．7B．8C．9D．10参考答案：C【考点】：茎叶图．【专题】：概率与统计．【分析】：根据茎叶图中的数据，结合众数与中位数的概念，求出x与y的值即可．解：根据茎叶图中的数据，得；甲班学生成绩的众数是83，∴x=3；乙班学生成绩的中位数是86，∴y=6；∴x+y=3+6=9．故选：C．【点评】：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了众数与中位数的应用问题，是基础题目．7.根据如图所示的求公约数方法的程序框图，输入，，则输出的实数的值为A.

B.

C.

D.参考答案：B8.在平面内，定点A，B，C，D满足==，?=?=?=﹣2，动点P，M满足=1，，则||2的最大值是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由==，可得D为△ABC的外心，又?=?=?，可得可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．运用向量的数量积定义可得△ABC的边长，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，求得B，C的坐标，再设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由中点坐标公式可得M的坐标，运用两点的距离公式可得BM的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．【解答】解：由==，可得D为△ABC的外心，又?=?=?，可得?（﹣）=0，?（﹣）=0，即?=?=0，即有⊥，⊥，可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．由?=﹣2，即有||?||cos120°=﹣2，解得||=2，△ABC的边长为4cos30°=2，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，可得B（3，﹣），C（3，），D（2，0），由=1，可设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由=，可得M为PC的中点，即有M（，），则||2=（3﹣）2+（+）2=+==，当sin（θ﹣）=1，即θ=时，取得最大值，且为．故选：B．【点评】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．9.将正方形分割成个全等的小正方形（图1，图2分别给出了的情形），在每个小正方形的顶点各放置一个数，使位于正方形的四边及平行于某边的任一直线上的数都分别依次成等差数列，若顶点处的四个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为，则A．4 B．6 C． ．参考答案：C10.已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（

）A．30

B．45

C．90

D．186参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设实数满足约束条件，若目标函数的最大值为8，则的最小值为___________．参考答案：略12.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．参考答案：【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是从四棱锥P﹣ABCD中挖去了一个半圆锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：由三视图知该几何体的直观图为：即从四棱锥P﹣ABCD中挖去了一个半圆锥所得的组合体，∵四棱锥P﹣ABCD底面是边长为2的正方形、高为2，圆锥底面圆的半径是1、高为2，顶点是P，∴所求的体积V==，故答案为：．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．13.若关于的函数（）的最大值为，最小值为，且，则实数的值为

.参考答案：2【知识点】函数的奇偶性，函数的最值.

B3

B4解析：，设：，因为是奇函数，所以函数的最大值与最小值互为相反数，所以，所以t=2.【思路点拨】函数f(x)可化为常数t与奇函数的和，而奇函数的最大值与最小值的和为0，所以，所以t=2.【典例剖析】本题是较典型的考题，将函数f(x)可化为关于常数t的式子与一个奇函数的和，而奇函数的最大值与最小值的和为0，由此得关于t的方程求解.14..已知三点，若为锐角，则的取值范围是

．参考答案：15.某停车场有一排编号为1至7的七个停车空位，现有2辆不同的货车与2辆不同的客车同时停入，每个车位最多停一辆车，若同类车不停放在相邻的车位上，则共有

▲

种不同的停车方案。参考答案：44016.函数的定义域为__________.参考答案：略17.{an}是无穷数列，若{an}是二项式（1+2x）n（n∈N+）展开式各项系数和，则（++…+）=．参考答案：【考点】二项式定理的应用；数列的极限．【分析】先利用二项式定理求得an=3n，再利用无穷递缩等比数列的各项和，求得结果．【解答】解：若{an}是二项式（1+2x）n（n∈N+）展开式各项系数和，则an=3n，∴（++…+）=（++…+）==，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求无穷递缩等比数列的各项和，数列的极限，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知△ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求cosA的值；（2）若a，b，c成等差数列，求sinC的值．参考答案：【考点】正弦定理；等差数列的通项公式．【专题】计算题；解三角形．【分析】（1）根据数量积的定义和正弦定理关于面积的公式，化简题中等式可得，结合同角三角函数的基本关系可解出cosA的值；（2）根据等差数列的性质，结合正弦定理化简得2sinB=sinA+sinC，用三角内角和定理进行三角恒等变换得到2sinAcosC+2cosAsinC=sinA+sinC．将（1）中算出的cosA、sinA的值代入，并结合同角三角函数的基本关系，即可求出．【解答】解：（1）∵，∴，即．…代入sin2A+cos2A=1化简整理，得．…∵，可得cosA＞0，∴角A是锐角，可得．…（2）∵a，b，c成等差数列∴2b=a+c，结合正弦定理得2sinB=sinA+sinC，即2sin（A+C）=sinA+sinC，…因此，可得2sinAcosC+2cosAsinC=sinA+sinC．①由（1）得及，所以，…代入①，整理得．结合sin2C+cos2C=1进行整理，得65sin2C﹣8sinC﹣48=0，…解之得或．∵C∈（0，π），可得sinC＞0∴（负值舍去）．…【点评】本题在三角形ABC中给出，求角A的余弦，并在已知a，b，c成等差数列情况下求角C的正弦，着重考查了利用正、余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于基础题．19.在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；（Ⅱ）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.参考答案：（Ⅰ）直线的直角坐标方程为，曲线.∴曲线为圆，且圆心到直线的距离.∴曲线上的点到直线的距离的最大值为.（Ⅱ）∵曲线上的所有点均在直线的下方，∴对，有恒成立.即（其中）恒成立.∴.又，∴解得.∴实数的取值范围为.20.已知数列满足：，（）（1）求证：数列是等比数列；（2）令，（），如果对任意，都有，求实数的取值范围.参考答案：(1)是以-为首项，为公比的等比数列。（2）21.若二次函数，满足且=2.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若存在，使不等式成立，求实数m的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）由f（0）=2，得c=2，所以由f（x+2）-f（x）=-=4ax+4a+2b又f（x+2）-f（x）=16x，得4ax+4a+2b=16x，故a=4、b=-8所以.（Ⅱ）因为存在，使不等式，即存在，使不等式成立，令，，故，所以.略22.在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A（﹣1，0），其倾斜角是α，以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程是ρ2=6ρcosθ﹣5．（Ⅰ）若直线l和曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（Ⅱ）设B（x，y）为曲线C任意一点，求的取值范围．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线C的极坐标方程，可得曲线的直角坐标方程，联立直线l的方程，消去y，运用判别式大于等于0，可得斜率的范围，再由斜率公式，可得倾斜角的范围；（Ⅱ）求得曲线C的参数方程，运用两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程转化成直角坐标方程是C：x