概率论课本习题答案及概率论试题及答案

2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求：（1）X的分布律；（2）X的分布函数并作图；(3).【解】故X的分布律为X012P（2）当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1故X的分布函数(3)7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，0.0001）8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.【解】设在每次试验中成功的概率为p，则故所以.9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，（1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】（1）设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3）(2)令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b（7，0.3）10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1）求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.【解】（1）(2)12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,得14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：（1）保险公司亏本的概率;（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.（1）在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元.设1年中死亡人数为X，则X~b(2500,0.002)，则所求概率为由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有(2)P(保险公司获利不少于10000)即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P（保险公司获利不少于20000）即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为f(x)=求：（1）在开始150小时内没有电子管损坏的概率；（2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3）F（x）.【解】（1）(2)(3)当x<100时F（x）=0当x≥100时故18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.【解】X~U[2,5]，即故所求概率为19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布.某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.【解】依题意知，即其密度函数为该顾客未等到服务而离开的概率为,即其分布律为20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）.（1）若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】（1）若走第一条路，X~N（40，102），则若走第二条路，X~N（50，42），则++故走第二条路乘上火车的把握大些.（2）若X~N（40，102），则若X~N（50，42），则故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设X~N（3，22），（1）求P{2<X≤5}，P{-4<X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3};（2）确定c使P{X＞c}=P{X≤c}.【解】（1）(2)c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】28.设随机变量X的分布律为X-2-1013Pk1/51/61/51/1511/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值为0，1，4，9故Y的分布律为Y0149Pk1/57/301/511/3049.设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y).【解】因为P（1<X<2）=1,故P（e2<Y<e4）=1当y≤e2时FY（y）=P(Y≤y)=0.当e2<y<e4时，当y≥e4时，即故8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求边缘概率密度.【解】题8图题9图9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求边缘概率密度.【解】题10图10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=（1）试确定常数c；（2）求边缘概率密度.【解】（1）得.(2)13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为XXY2580.40.80.150.300.350.050.120.03（1）求关于X和关于Y的边缘分布；（2）X与Y是否相互独立？【解】（1）X和Y的边缘分布如下表XXY258P{Y=yi}0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2)因故X与Y不独立.22.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.XYXYy1y2y3P{X=xi}=pix1x21/81/8P{Y=yj}=pj1/61【解】因,故从而而X与Y独立，故,从而即：又即从而同理又,故.同理从而故YYX11.设随机变量X的分布律为X-1012P1/81/21/81/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1)(2)(3)5.设随机变量X的概率密度为f（x）=求E（X），D（X）.【解】故6.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.（1）U=2X+3Y+1；（2）V=YZ-4X.【解】(1)(2)7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X-2Y），D（2X-3Y）.【解】(1)(2)9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为fX（x）=fY（y）=求E（XY）.【解】方法一：先求X与Y的均值由X与Y的独立性，得方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为于是34.设随机变量X和Y的联合概率分布为YYX-101010.070.180.150.080.320.20试求X和Y的相关系数ρ.【解】由已知知E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而XY的概率分布为YX-101P0.080.720.2所以E（XY）=-0.08+0.2=0.12Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)·E(Y)=0.12-0.6×0.2=0从而=01.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X.估计P{10<X<18}.【解】设表每次掷的点数，则从而又X1,X2,X3,X4独立同分布.从而所以14.设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5试根据契比雪夫不等式给出P{|X-Y|≥6}的估计.（2001研考）【解】令Z=X-Y，有所以5.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？【解】设100根中有X根短于3m，则X~B（100，0.2）从而11.设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？【解】用X表10000个婴儿中男孩的个数，则X~B（10000，0.515）要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求P{X≤5000}.由中心极限定理有试卷一一、填空（每小题2分，共10分）１．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。２.掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。３．已知互斥的两个事件满足，则___________。４．设为两个随机事件，，，则___________。５．设是三个随机事件，，，、，则至少发生一个的概率为___________。二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分）1.从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。(A)取到2只红球 (B)取到1只白球(C)没有取到白球 (D)至少取到1只红球2．对掷一枚硬币的试验,“出现正面”称为（）。(A)随机事件 (B)必然事件(C)不可能事件 (D)样本空间3.设A、B为随机事件，则（）。(A)A(B)B(C)AB(D)φ4.设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。(A)与互斥 (B)与不互斥(C) (D)5.设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。(A) (B)(C) (D)6.设相互独立，则（）。(A) (B)(C) (D)7.设是三个随机事件，且有，则（）。(A)0.1 (B)0.6(C)0.8 (D)0.78.进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。(A)p2(1–p)3(B)4p(1–p)3(C)5p2(1–p)3(D)4p2(1–p)39.设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。(A)(B)(C)(D)10.设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。(A)P(AB)=P(C)(B)P(A)+P(B)–P(C)≤1(C)P(A)+P(B)–P(C)≥1(D)P(A)+P(B)≤P(C)三、计算与应用题（每小题8分，共64分）1.袋中装有5个白球，3个黑球。从中一次任取两个。求取到的两个球颜色不同的概率。2.10把钥匙有3把能把门锁打开。今任取两把。求能打开门的概率。3.一间宿舍住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份概率。4.50个产品中有46个合格品与4个次品，从中一次抽取3个，求至少取到一个次品的概率。5.加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的次品率分别为0.2，0.1，0.1，并且任何一道工序是否出次品与其它各道工序无关。求该种零件的次品率。6.已知某品的合格率为0.95，而合格品中的一级品率为0.65。求该产品的一级品率。7.一箱产品共100件,其中次品个数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率。8.某厂的产品，按甲工艺加工，按乙工艺加工，两种工艺加工出来的产品的合格率分别为0.8与0.9。现从该厂的产品中有放回地取5件来检验，求其中最多有一件次品的概率。四、证明题（共6分）设，。证明试卷一参考答案一、填空1.或2.出现的点数恰为53.与互斥则4.0.6故5.至少发生一个，即为又由得故二、单项选择1．2.A3.A利用集合的运算性质可得.4．与互斥故5．故6．相互独立7.且则8.9.B10.B故P(A)+P(B)–P(C)≤1三、计算与应用题1.解：设表示“取到的两球颜色不同”，则而样本点总数故2.解：设表示“能把门锁打开”，则，而故3.解：设表示“有4个人的生日在同一月份”，则而样本点总数为故4.解：设表示“至少取到一个次品”，因其较复杂，考虑逆事件=“没有取到次品”则包含的样本点数为。而样本点总数为故5.解：设“任取一个零件为次品”由题意要求，但较复杂，考虑逆事件“任取一个零件为正品”，表示通过三道工序都合格，则于是6.解：设表示“产品是一极品”，表示“产品是合格品”显然，则于是即该产品的一级品率为7.解：设“箱中有件次品”，由题设，有，又设“该箱产品通过验收”，由全概率公式，有于是8.解：依题意，该厂产品的合格率为，于是，次品率为设表示“有放回取5件，最多取到一件次品”则四、证明题证明，，由概率的性质知则又且故试卷二一、填空（每小题2分，共10分）1.若随机变量的概率分布为，，则__________。2.设随机变量，且，则__________。3.设随机变量,则__________。4.设随机变量，则__________。5.若随机变量的概率分布为则__________。二、单项选择(每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分)1.设与分别是两个随机变量的分布函数，为使是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（）。(A) (B)(C) (D)2.设随机变量的概率密度为，则（）。(A) (B)(C) (D)3.下列函数为随机变量分布密度的是()。(A)(B)(C) (D)4.下列函数为随机变量分布密度的是()。(A)(B)(C)(D)5.设随机变量的概率密度为，，则的概率密度为（）。(A) (B)(C) (D)6.设服从二项分布，则（）。(A) (B)(C) (D)7.设，则（）。(A) (B)(C) (D)8．设随机变量的分布密度为,则（）。(A)2 (B)1(C)1/2 (D)49．对随机变量来说，如果，则可断定不服从（）。(A)二项分布 (B)指数分布(C)正态分布 (D)泊松分布10．设为服从正态分布的随机变量，则()。(A)9(B)6(C)4(D)-3三、计算与应用题（每小题8分，共64分）1.盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个是旧球。采取不放回抽取，每次取一个，直到取到新球为止。求抽取次数的概率分布。2.车间中有6名工人在各自独立的工作，已知每个人在1小时内有12分钟需用小吊车。求（1）在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少？（2）若车间中仅有2台小吊车，则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少？3.某种电子元件的寿命是随机变量，其概率密度为求（1）常数；（2）若将3个这种元件串联在一条线路上，试计算该线路使用150小时后仍能正常工作的概率。4.某种电池的寿命（单位：小时）是一个随机变量，且。求（1）这样的电池寿命在250小时以上的概率；（2），使电池寿命在内的概率不小于0.9。5.设随机变量。求概率密度。6.若随机变量服从泊松分布，即，且知。求。7.设随机变量的概率密度为。求和。8.一汽车沿一街道行使，需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。求（1）的概率分布；（2）。四、证明题（共6分）设随机变量服从参数为2的指数分布。证明：在区间上，服从均匀分布。试卷二参考答案一、填空1.6由概率分布的性质有即，得。2.，则3.0.54.5.0.25由题设，可设即010.50.5则二、单项选择1.()由分布函数的性质，知则，经验证只有满足，选2.()由概率密度的性质，有3.()由概率密度的性质，有4.()由密度函数的性质，有5.()是单减函数，其反函数为，求导数得由公式，的密度为6.()由已知服从二项分布，则又由方差的性质知,7.()于是8.(A)由正态分布密度的定义,有9.(D)∴如果时,只能选择泊松分布.10.(D)∵X为服从正态分布N(-1,2),EX=-1∴E(2X-1)=-3三、计算与应用题1.解：设为抽取的次数只有个旧球,所以的可能取值为：由古典概型，有 则12342.解：设表示同一时刻需用小吊车的人数，则是一随机变量，由题意有，，于是（1）的最可能值为，即概率达到最大的（2）3.解：（1）由可得（2）串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作，而这里三个元件的工作是相互独立的，因此，若用表示“线路正常工作”，则而故4.解：（1）（查正态分布表）（2）由题意即查表得。5.解:对应的函数单调增加，其反函数为，求导数得，又由题设知故由公式知：6.解:，则而由题设知即可得故查泊松分布表得，7.解:由数学期望的定义知,而故8.解:（1）的可能取值为且由题意,可得即0123（2）由离散型随机变量函数的数学期望，有四、证明题证明：由已知则又由得连续，单调，存在反函数且当时，则故即试卷三一、填空（请将正确答案直接填在横线上。每小题2分，共10分）1.设二维随机变量的联合分布律为，则__________，__________.2.设随机变量和相互独立，其概率分布分别为，则__________.3.若随机变量与相互独立，且，，则服从__________分布.4.已知与相互独立同分布，且则__________.5.设随机变量的数学期望为、方差，则由切比雪夫不等式有__________.二、单项选择(在每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分)1.若二维随机变量的联合概率密度为，则系数（）.(A) (B)(C) (D)2.设两个相互独立的随机变量和分别服从正态分布和，则下列结论正确的是（）.(A) (B)(C) (D)3.设随机向量(X,Y)的联合分布密度为,则（）.(A)(X,Y)服从指数分布 (B)X与Y不独立(C)X与Y相互独立 (D)cov(X,Y)≠04.设随机变量相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则下列随机变量中服从均匀分布的有（）.(A) (B)(C) (D)5.设随机变量与随机变量相互独立且同分布,且,则下列各式中成立的是（）.(A)(B)(C) (D)6．设随机变量的期望与方差都存在,则下列各式中成立的是（）.(A) (B)(C) (D)7.若随机变量是的线性函数，且随机变量存在数学期望与方差，则与的相关系数（）.(A)(B)(C) (D)8.设是二维随机变量，则随机变量与不相关的充要条件是（）.(A) (B)(C) (D)9.设是个相互独立同分布的随机变量，，则对于，有（）.(A) (B)(C) (D)10.设,为独立同分布随机变量序列，且Xi(i=1,2,…)服从参数为λ的指数分布，正态分布N(0,1)的密度函数为,则（）.三、计算与应用题（每小题8分，共64分