八年级数学上册13.3.2.1《等边三角形的性质》同步训练(含解析)

等边三角形的性质一．选择题作射线，若N1=20°,则作射线，若N1=20°,则N2的度数是（）A．100° B．80° ．C60°．D40°（2014秋•贵港期末）如图，在等边4中，=8是 延长线上一点，且 =4是上一点，且=,则的长为（ ）TOC\o"1-5"\h\z3 4 .5 .6（2014秋•岑溪市期中）在等边△中，已知边上的中线 =16则N 的平分线长等于（ ）4 8 .16 .32（2015•港南区二模）如图，等边△ 的顶点分别在等边△ 的各边上，且，于，若=1则的长为（ ）（2015春•张家港市期末）如图， 是等边三角形 的中线， =，则N （=）度..30 B.20 .30 B.20 则.25 ..15（2014•路南区一模）已知：如图，〃，等边△B的顶点B在直线上，边B与直线所夹锐角为20°,则Na的度数为（.60° B.45° .C40° D.30.60° B.45° .C40° D.307（2013秋•沈丘县校级期末）如图，△B是等边三角形，BD是中线，延长B到E,使E二，D连接DE.下面给出的四个结论,其中正确的个数是（）①BD，；②BD平分/B；③BD=DE；④NBDE=120°..（2014春•赛罕区校级月考）如图.阴影部分是边长为1的小正三角形，）.（2014春•赛罕区校级月考）如图.阴影部分是边长为1的小正三角形，）,B,C,D,E,F,G,分别是.填空题..填空题.（2015•泉州）如图，在正三角形B中，DLB于点D,则NBD=°.（2015•滕州市校级模拟）如图，△B为等边三角形，点E在B的延长线上，点D在B边上，且ED=E.若△B的边长为4, E=2则BD的长为.°．°．（201春•扬中市期末）三个等边三角形的位置如图所示，若N3=40°,则N1Z2=（201秋•湖南校级月考）如图，已知△ABC是等边三角形，点是BC上任意一点，E分别与两边垂直，等边三角形的高为，则E的值为.（2014•武侯区校级模拟）如图，将边长为1的正三角形A沿轴正方向连续翻转2010次，点依次落在点1，2，3,…，2010的位置，则点2010的坐标为 -三.解答题（2014秋•上蔡县校级期末）如图，在等边三角形ABC中，BDLAC于D，延长BC到E，使CE=CD，AB=（1）求BE的长；（2）判断^BDE的形状，并说明理由.

.（0秋•维扬区校级期中）如图：已知等边4ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD,DMLBC,垂足为M.（）求NE的度数.（）求证：M是BE的中点.6（0秋•宜春期末）4ABC为等边三角形，点M是线段BC上一点，点N是线段CA上一点，且BM=CN,BN与AM相交于Q点，()求证：△ABM04BCN；()求证：NAQN=607（0秋•北京校级期中）如图，以4ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD,连接BD、CE,相交于（）试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由；（）求出BD和CE的夹角大小，若改变^ABC的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？请说明理由.人教版八年级数学上册13.3.2.《1等边三角形的性质》同步训练习题（教师版）一．选择题（2013•吉安模拟）如图，过等边4ABC的顶点A作射线，若N1=20°,则N2的度数是（ ）C．60°．D40°C．60°．D40°考点：考点：：分析：角相等解答：等边三角形的性质．先根据^ABC是等边三角形，求出NB的度数，再根据三角形内角和定理求出N3的度数，再根据对顶即可求出N2的度数；解：•「△ABC是等边三角形，.,.NB=60°,VZ1=20°,AZ3=100°,AZ2=100°；E二ECE二EC则B的长为（A.3 B.4C.点评：此题考查了等边三角形的性质，用到的知识点是三角形内角和定理，此题较简单，是一道基础题.（2014秋•贵港期末）如图，在等边4ABC中，AB=8,E是BA延长线上一点，且EA=4, 是BC上一点，且.6考点：等边三角形的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形.分析：过点E作EFLBC于F,先根据含30°的直角三角形的性质求出BF,再根据等腰三角形的三线合一性质求出,即可得出BD解答：解：过点E作EFLBC于F；如图所示：则NBFE=90°,「△ABC是等边三角形，NB=60°••.NFEB=90°-60°=30°,VBE=AB+AE=8+4=12,.•.BF最BE=6,.\CF=BC-BF=2,VED=EC,EF±BC,.DF=CF=2,.BD=BF-DF=4；故选：B.点评：本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形的性质；培养学生综合运用定理进行推理和计算的能力.（2014秋•岑溪市期中）在等边4ABC中，已知BC边上的中线AD=16,则NBAC的平分线长等于（ ）A.4B.8C.16D.32考点：等边三角形的性质.分析：根据等边三角形三线合一可知AD就是NBAC的平分线，从而求得NBAC的平分线长.解答：解：\•在等边4ABC中，AD是BC边上的中线，.AD是NBAC的平分线，・•.NBAC的平分线长为16.故选C.点评：本题主要考查了等边三角形三线合一的性质.（2015•港南区二模）如图，等边4DEF的顶点分别在等边4ABC的各边上，且DELBC于E,若AB=1,则DB考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理.分析：根据等边三角形性质，直角三角形性质求△BDE/AAFD,得BE=AD,再求得BD的长.解答：解：•「NDEB=90°AZBDE=90°-60°=30.\ZADF=180-30°-90°=90°同理NEFC=90°又•「NA=NB=NC,DE=DF=EF.•.△BED04ADF04CFE

.\AD=BE设BE=,则BD=2，.由勾股定理得BE=],.•.bd].故选C.点评：本题利用了：1、等边三角形的性质，2、勾股定理，3、全等三角形的判定和性质.D.15分析:（2015春•张家港市期末）如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD,则NEDC=（）度.D.15分析:由AD是等边三角形ABC的中线，根据三线合一与等边三角形的性质，即可求得NADC与NDAC的度数，又由AE=AD,根据等边对等角的性质，即可求得NADE的度数，继而求得NEDC的度数.解答：解：.「△ABC是等边三角形，.•・AB=AC,NBAC=NC=60°,°,AD±BC,•「AD是4ABC的中线°,AD±BC,.•・NADC=90°,VAE=AD,.八5 1800-ZBAC1800-30°=75°,..ZADE=ZAED= = =75°,AZEDC=ZADC-ZADE=90°-75°=15°.故选D.点评：此题考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质.此题难度不大，解题的关键是注意三线合一与等边对等角的性质的应用，注意数形结合思想的应用.（2014•路南区一模）已知：如图，l〃m,等边4ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°,则Na的度数为（D30°D30°考点考点:专题分析:即Na等边三角形的性质；平行公理及推论；平行线的性质.计算题.过C作CE〃直线m,由l〃m,推出l〃m〃CE,根据平行线的性质得到NACE=Na,NBCE=NCBF=20°,+NCBF=NACB=60°,即可求出答案.解答：解：过C作CE〃直线m,・，l〃m,.•・l〃m〃CE,.,.NACE=Na,ZBCE=ZCBF=20°,•・,等边4ABC,.•・NACB=60°,.Na+NCBF=NACB=60°,.Na=40°.故选C.点评：本题主要考查对平行线的性质，等边三角形的性质，平行公理及推论等知识点的理解和掌握，此题是一个比较典型的题目，题型较好..（2013秋•沈丘县校级期末）如图，4ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E,使CE二CD,连接DE.下面给出的四个结论，其中正确的个数是（ ）①BDLAC；②BD平分NABC；③BD=DE；④NBDE=120°.A.1个B.2个C.3个D.4个考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质.分析：因为^ABC是等边三角形，又BD是AC上的中线，所以有，AD=CD,NADB=NCDB=90°（①正确），且NABD=NCBD=30°（②正确），NACB=NCDE+NDEC=60°,又CD=CE,可得NCDE=NDEC=30°,所以就有，NCBD二NDEC,即DB=DE（③正确），NBDE=NCDB+NCDE=120°（④正确）；由此得出答案解决问题.解答：解：•「△ABC是等边三角形，BD是AC上的中线，.NADB=NCDB=90°,BD平分NABC；ABDXAC；VNACB=NCDE+NDEC=60°,又CD=CE,.NCDE=NDEC=30°,.NCBD:NDEC,.DB=DE.NBDE=NCDB+NCDE=120°所以这四项都是正确的.故选：D.点评：此题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，注意三线合一这一性质的理解与运用..（2014春•赛罕区校级月考）如图.阴影部分是边长为1的小正三角形，A,B,C,D,E,F,,分别是个正三角形，则A和B的边长分别是（ ）

A．2，4．B2.5，5 C．3，6D．4，8考点：等边三角形的性质．专题：数形结合．分析：设A的边长为x,根据等边三角形的性质和已知图形得到和的边长都为x,B的边长为2x,由于阴影部分是边长为1的小正三角形，易得C的边长为2x-1,和的边长为x1所以D的边长可表示为2x-1或x2则2x-1二x2然后解方程求出x即可得到A和B的边长.解答：解：如图,设A的边长为x,则和的边长都为x,B的边长为2x,・•阴影部分是边长为1的小正三角形，•・C的边长为2x-1,和的边长为x1•・D的边长为2x-1或x2A2x-1=x2解得x=3,•・A和B的边长分别3和6.故选C.点评：本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于600.也考查了观察图形的能力.二.填空题9（2015•泉州）如图，在正三角形ABC中，ADLBC于点D,则NBAD=30^°.考点：等边三角形的性质.分析：根据正三角形ABC得到NBAC=60°,因为ADLBC,根据等腰三角形的三线合一得到NBAD的度数.解答：解：.「△ABC是等边三角形，.\ZBAC=60°,VAB=AC,AD±BC,.\ZBAD^ZBAC=30故答案为：30°.点评：本题考查的是等边三角形的性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°和等腰三角形的三线合一是解题的关键.10.(2015•滕州市校级模拟)如图，4ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED二EC.若△ABC的边长为，AE=2,则BD的长为2.考点：等边三角形的性质；等腰三角形的性质.分析：延长BC至F点，使得CF二BD,证得△EBD04EFC后即可证得NB二NF,然后证得AC〃EF,利用平行线分线段成比例定理证得CF二EA后即可求得BD的长.解答：解：延长BC至F点，使得CF二BD,VED=EC,.\ZEDC=ZECD,.\ZEDB=ZECF,在AEBD和4EFC中，rDB=CF*ZBDE=ZFCE,tDE=CE.,.△EBD"EFC(A),AZB=ZF•「△ABC是等边三角形，AZB=ZACB,.\ZACB=ZF,.•・AC〃EF,・•.里理，AECFVBA=BC,.AE=CF=2,.\BD=AE=CF=2,故答案为：2.

点评：本题考查了等腰三角形及等边三角形的性质，解题的关键是正确的作出辅助线..(201春•扬中市期末)三个等边三角形的位置如图所示，若23=40°,则N1+N2=*考点：等边三角形的性质.分析：先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°,用21,22,23表示出^ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论.解答：解：二•图中是三个等边三角形，23=40°,.\2ABC=180°-60°-40°=80°,2ACB=180°-60°-22=120°-22,2BAC=180°-60°-21=120°-21,V2ABC+2ACB+2BAC=180°,.•・80°+(120°-22)+(120°-21)=180°,••.21+22=140°.故答案为：140点评：本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键..(201秋•湖南校级月考)如图，已知△ABC是等边三角形，点是BC上任意一点，、 分别与两边垂直，等边三角形的高为，则+的值为.3 C考点：等边三角形的性质.分析：利用等边三角形的特殊角求出与的和，可得出其与三角形的高相等，进而可得出结论.解答：解：.「△ABC是等边三角形，.\AB=BC=AC,ZA=ZB=ZC=60°XVOE±AB,OF±AC,ZB=ZC=60°,.•・OE=OB-sin60°后OB,同理OF作OC..•.OE+OF=^(OB+OC)=^BC.2 2在等边^ABC中，高h号ABY^BC....OE+OF=h.又•・.等边三角形的高为5,.•・OE+OF=5,故答案为5．点评：本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等,且都等于60°；三条边都相等.13（2014•武侯区校级模拟）如图，将边长为1的正三角形OAP沿轴正方向连续翻转2010次，点P依次落在点P1，P2，P，…，P2010的位置，则点P2010的坐标为_⑵呜,手_.考点：等边三角形的性质；勾股定理.专题：规律型.分析：做题首先要知道经过连续翻转2010次后P点的位置，然后求出此点坐标.解答：解：观察图形结合翻转的方法可以得出P1、P2的横坐标是1，P的横坐标是2.5,P4、P5的横坐标是4，P6的横坐标是5.5…依此类推下去，P2005、P2006的横坐标是2005，P200的横坐标是2006.5，P200、P200的横坐标就是200..P2010的纵坐标为g，横坐标=200+1.5=200.5•Ro（2007号）.点P2010处于顶点上，•・•三角形边长为1，_故P2010㈡。。,，当）.故答案为（20。9,-£）.点评：本题主要考查等边三角形的性质和坐标等知识点.三.解答题14.（2014秋•上蔡县校级期末）如图，在等边三角形ABC中，BDLAC于D，延长BC到E，使CE=CD，AB=6（1）求BE的长；（2）判断^BDE的形状，并说明理由.

考点:专题考点:专题等边三角形的性质；等腰三角形的性质.计算题.分析:()根据等边三角形的性质得BC=AB=6cm,再根据“三线合一”得AD二CD《AC=3cm,而CD=CE=3cm,所以BE=BC+CE=9cm；()根据等边三角形的性质得NABC=NACB=60°,再根据“三线合一”得NCBD2NABC=30°,而CD=CE,则NCDE二NE,接着利用三角形外角性质得NCDE+NE=NACB=60°,所以NE=30°,于是得到NCBD二NE,然后根据等腰三角形的判定即可得到^BDE为等腰三角形.分析:解答：解：()•「△ABC为等边三角形，/.BC=AB=6cm,VBDXAC,.•・AD=CD弓AC=3cm,\*CD=CE=3cm,；.BE=BC+CE=6cm+3cm=9cm；()^BDE为等腰三角形.理由如下：「△ABC为等边三角形，.\ZABC=ZACB=60°,VBDXAC,.\ZCBD=^ZABC=30°,「CD=CE,.\ZCDE=ZE,而NCDE+NE=NACB=60°,.\ZE=30°,.\ZCBD=ZE,••.△BDE为等腰三角形.点评：本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴.也考查了等腰三角形的判定与性质..(0秋•维扬区校级期中)如图：已知等边4ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD,DMLBC,垂足为M.()求NE的度数.()求证：M是BE的中点.考点：等边三角形的性质；含30度角的直角三角形.分析：（）由等边^ABC的性质可得：NACB=NABC=60°,然后根据等边对等角可得：NE二NCDE,最后根据外角的性质可求NE的度数；（）连接BD,由等边三角形的三线合一的性质可得：NDBC^NABC弓X60°=30°,结合（）的结论可得：ZDBC=ZE,然后根据等角对等边，可得：DB=DE,最后根据等腰三角形的三线合一的性质可得：M是BE的中点.解答：（）解：二•三角形ABC是等边^ABC,.\ZACB=ZABC=60°,又TCE=CD,AZE=ZCDE,XVZACB=ZE+ZCDE,AZE^ZACB=30°；（）证明：连接BD,•・,等边4ABC中，D是AC的中点，.•・NDBC」NABC」X60°=30°2 2由（）知NE=30°.\ZDBC=ZE=30°.DB二DEXVDMXBC.M是BE的中点.点评：此题考查了等边三角形的有关性质，重点考查了等边三角形的三线合一的性质.6（0秋•宜春期末）4ABC为等边三角形，点M是线段BC上一点，点N是线段CA上一点，且BM=CN,BN与AM相交于Q点，（）求证：△ABM04BCN；（）求证：NAQN=60考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：()根据已知条件，利用A定理即可证明△ABM04BCN.()根据△ABM04BCN(E证)，可得NAMB二NBNC,然后利用△BQMs^BCN即可得出结论.解答：证明；()•「△ABC为等边三角形，.\AB=AC=BC,ZBAC=ZACB=ZABC=60°「,在^ABM和△BCN中"AB=BC，,tBM=CN.•.△ABM"BCN(A)；（）•:△ABM04BCN（E证）..\ZAMB=ZBNC,「NMBQ:NNBC（公共角），.△BQMMBCN,.\ZBQM=ZC=60°,ZZBQM和/AQN是对顶角，••・NAQN=60°.点评：此题主要考查学生对等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，有点难度，属于中档题.7(0秋•北京校级期中)如图，以^ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形