2022-2023学年江苏省南京市高二年级下册学期期初考试数学试题含答案

2022-2023学年江苏省南京市天印高二下学期期初考试数学试题

一、单选题

1.函数〃x）=/-7x在区间［1,2］上的平均变化率为（）

A.-4B.4C.-6D.6

【答案】A

【分析】利用平均变化率的定义代入求解即可.

/（2）-〃1）（2、7X2）-（F一7xl）__4_4

【详解】2-111

故选：A.

x=—y2

2.抛物线8'的准线方程是（）

A.x=~2B.x=-4c.y=~2D.k-4

【答案】A

【分析】直接把抛物线方程变形为标准形式，然后由定义可得答案.

【详解】抛物线方程即为/=8x,故准线方程为》=-2.

故选：A.

3.箱子中放有一双红色和一双黑色的袜子，现从箱子中同时取出两只袜子，则取出的两只袜子正

好可以配成一双的概率为（）

1112

A.4B.3C.2D.3

【答案】B

【分析】先求出试验的样本空间，再求有利事件个数，最后用概率公式计算即可.

【详解】两只红色袜子分别设为4,4，两只黑色袜子分别设为巴，B2,这个试验的样本空间可

记为。=｛（4,4），（4出），（4，名），（4出）,（4应）,（练员）｝,共包含6个样本点，记A为“取出的两只袜

子正好可以配成一双"，则"=｛（44），（昂邑）｝,A包含的样本点个数为2,所以

故选：B

4.已知圆0产2+/-履+2/=°与圆。2比2+/+3-4=（）的公共弦所在直线恒过定点?且点尸在

直线mx-"y-2=0上（加>0,〃>0）,则"，"的最大值是（）

3H1

1

---

42-C84

A.D.

【分析】根据圆G和G的方程得到公共弦所在的直线方程，可得点尸（2,-2）,进而可得机+〃=1,

再利用基本不等式即可得到机〃的最大值.

[详解]由圆£d+y2_%x+2y=0,圆C?：V+,+上,一4=0,

得圆G与圆。2的公共弦所在直线方程为:“（x+y）-2y-4=0,

[x+y=O（x=2

由j-2y-4=0,解得日=-2,即尸（2,-2）,

又P（2，-2）在直线蛆“-2=0上，

.=2/w+2/?-2=0,即〃？+〃=],

J加+〃Y11

工----~7m=n=—

所以1214,当且仅当2时等号成立，

的最大值为联

故选:D.

5.记正项等比数列匕"｝的前〃项和为S"，若%=4,邑=5S?,则S„=（）

A.2B.-21C.32D.63

【答案】D

【解析】先设正项等比数列"J的公比为q,根据题中条件，列出方程求出首项和公比，再由求和

公式，即可得出结果.

（详解】设正项等比数列包｝的公比为式＞°）,

因为%=4,S4=5S2>

产d=4'/=4p=2

所以l(%+aH+a/+*)=5(q+qg),即卬八州+叱解得［=1

lx(l-26)

6

S6==2-1=63

所以1-2

故选：D.

%3

y=—

6.函数e、（其中e为自然对数的底数）的大致图象是（）

y——

【分析】分析函数.e,的定义域、函数值的符号变化以及函数的单调性，结合排除法可得出合适

的选项.

x3

y=—

【详解】对任意的xeR,ev>0,故函数-e'的定义域为R,排除C选项；

x3x3

y=—<0y=——>0

当xvO时，’ex.当x>。时，ex,排除A选项；

,_3.2_工3_.2(37)_X3

因为一有一一£一,当x<3时，了飞°且V不恒为零，此时函数单调递增，

X3

,y=——

当x>3时，y<0；此时函数.e*单调递减，排除D选项.

故选：B.

7.己知等差数列也｝的前〃项和为S，，几<0,凡>0,则当£取得最小值时，”的值为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】由等差数列｛“"｝的性质和前〃项和公式，求得为殁>°,进而得到当

14〃47,〃wN*时,。“<0,当〃28,〃wN*时,%>0,即可求解.

【详解】由等差数列｛""｝的性质和前〃项和公式,

二四产…。

品

可得,所以四<0

九=此产2=7(%+%)>0

,所以%+%>°

则等差数列｛"”｝中满足％<°，%>°，可得"=%-%>0

数列也｝为递增数列，且当14〃47,〃eN*时，。“<0,当〃时，见>0,

所以当S"取得最小值时，"的值为7.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的前〃项和公式公式的应用，其中解答中

熟练应用等差数列的性质和求和公式，得到数列的单调性是解答是解答的关键，着重考查推理与运

算能力.

8.在平面直角坐标系中，已知点止⑼，/2,0）,圆J°一2）+"一〃'）=小”°）,在圆上

存在点尸满足PH=2|P8],则实数机的取值范围是（）

【答案】D

【分析】根据给定条件，求出点P的轨迹，再利用两圆有公共点的充要条件求解作答.

【详解】设点尸（"），由阳卜2阀得："（x+l）”2=2"（x-2）"2,整理得：

（X-3）2+/=4,

即点P的轨迹是以点G（3，°）为圆心，2为半径的圆，而圆C的圆心C（2，〃?），半径为5,

2-i|<|CC0|<|2+i然1+入纪

依题意,圆C。与圆C有公共点,即有，即44而〃?>0,解得

——<m<-----

22,

-7|叵

~^2~,2

所以实数用的取值范围是L

故选：D

二、多选题

9.豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为。〜10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以

此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字.国庆爱国影片《长津湖》的豆瓣评分情况如

图，假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（）

A.机的值是32%

B.随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星

C.随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56

D.若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”

是互斥且不对立事件

【答案】ACD

【分析】对A选项，由题意参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则二星及以上的频率加

和为97.6%,即可求解；对B选项，由频率只能推出可能有24人符合条件；对C选项，将评价为

三星和五星的频率加和即可；对D选项,“至多1人评价五星”即为无人评价或1人评价五星，依据

互斥事件与对立事件定义判断即可.

【详解】对A选项，参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，

贝1」24.0%+32.9%+机+8.7%=97.6%）,所以机=32%,故A正确；

对B选项，随机抽取100名观众，可能有l°0x24.0%=24人评价五星，但不是一定的，故B错误；

对C选项，由A选项，评价是三星或五星的概率约为32%+24.0%=56%,故c正确；

对D选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知，事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价

五星”是互斥且不对立事件，故D正确；

故选：ACD

10.下列结论错误的是（）

A.过点,（L3）,以-3,1）的直线的倾斜角为30。

__2

B.若直线2x—3y+6=0与直线nx+y+2=0垂直，则“一§

在

C.直线x+2y_4=0与直线2x+4y+l=0之间的距离是1

D.已知火（26）,以-1,1）,点尸在x轴上，则E+阀的最小值是5

【答案】ABC

【分析】由斜率公式求出直线的斜率即可判断A,

根据两条直线垂直求出a,进而判断B,

利用平行线间的距离公式即可求出答案，进而判断C,

作5关于x轴的对称点C,进而利用对称性得到答案，进而判断D.

3-11

k,K=——=—wtan30°

【详解】对A,1+32,故A错误；

3

a=­

对B,若两条直线垂直，则2a-3=0,得2,故错误；

|1+8|975

对C,直线x+2y-4=0可化为2x+4y-8=°,则两条直线间的距离物+下1。，故c错

误；

对D,如图，设点8关于x轴的对称点为C（-1,-1）,

则|P4|+1PB|=|PA\+\PC^\AC\=J32+42=5,当且仅当Apc三点共线时取“=”，故D正确.

故选：ABC.

11.2022年北京冬奥会开幕式精彩纷呈，其中雪花造型惊艳全球.有一个同学为了画出漂亮的雪

花，将一个边长为1的正六边形进行线性分形.如图，图（〃）中每个正六边形的边长是图

（〃7）中每个正六边形的边长的记图（R）中所有正六边形的边长之和为则下列说法正确

的是（）

图（1）图（2）图（3）

A.图（4）中共有294个正六边形

1029

B.

C."J是一个递增的等比数列

D.记⑸｝为数列匕"｝的前〃项和，则对任意的〃eN•且”22,都有a,,〉。-

【答案】BCD

【分析】根据等比数列的通项公式的计算以及等比数列的性质求解即可.

【详解】对于A,由图可知，图0）至图（"）中正六边形的个数构成以1为首项,

7为公比的等比数列，故图G）中共有7?=343个正六边形，A错误；

对于B,由题可知，图（”）中每个正六边形的边长为,

1029

=6x

-nr-r4,B正确;

对于c,•―0是底数大于1的指数型函数,

二｛《,｝是一个递增的等比数列，c正确;

…x({|,.-.a,=67

q=一

对于D,2,

6x

s”=HU

当〃eN*且〃22时,

12+180

”T6X=6X(T+“”0

-6x(3

nr>0

1-25

2

，对任意的〃eN*且“22,都有口正确.

故选：BCD.

12.下列不等关系中正确的是（）

AV3ln2<ln3BV3In2>In3

C.sin3<3sinlcoslD.sin3>3sinlcosl

【答案】BC

【分析】根据函数值的特征，构造函数X,求出其导数，判断函数的单调性，可判断A,B;

/、sinx

g（x）=---

同理构造函数X,判断C,D.

，/Inr,z_1-lnx

【详解】令''一丁，贝/“A一/,令/'（乂）=0得\=6,

/（x）在（0,e）上单调递增，在（e,+00）上单调递减,

ln2In.、sinx

所以/（2）>，3）,即2>石，即0n2>21n石=ln3,故A错误，B正确；令式、）一x

，/、xcosx-sinx

XG(。,*贝产士—?一,

令〃(x)=xcosx-sinx,

则u\x)=cosx-xsinx-cosx=_xsinx<0在(0,1)上恒成立,

所以w(x)在(0,万)上单调递减，H(x)<u(0)=0；所以g'(x)<°在(0,%)上恒成立,

sin2sin3

---->----

所以g（x）在（°，"）上单调递减，所以g（2）>g（3）,即23,即sin3<3sinlcosl,故c正

确，D错误，

故选:BC.

三、填空题

13.曲线y=11在点（T’“）处的切线方程为.

【答案】3x-y+3=o

【分析】利用导数的几何意义可求解.

【详解】由于丁=1+1,所以有4=（一4+1=0,因此切点为（T，。），

由于V=3一,所以曲线y=/+1在点（一［,0）处的切线的斜率k=y'\x^=3,

故所求切线方程为:y=3（x-（T）），即3x-y+3=0

故答案为：3x-y+3=0.

92

c：r,r1(«>0,/>>0)

14.已知双曲线/护的左、右焦点分别为片、F"过耳的直线/与C的左、

右支分别交于4,8两点.若且484鸟的面积为△力片工面积的4倍，则C的离心率为

729

【答案】亍

【分析】由条件可得忸用=4|/4|,设I狗="然后由双曲线定义可得।网=2a+x,

_5

\BF2\=4x-2af然后在^中由勾股定理可求得“一%",然后在△瓦中由勾股定理可得答

案.

【详解】因为△瓦隹的面积为△.占面积的4倍，所以忸用=4|/用，

设|狗=。则网=4x,

由双曲线定义可得幽-回=2。，网明=2”,

所以\AF21=2a+x\BF2\=4x-2a

,,,,_5

在△/明中，由勾股定理可得以用=|叫|+|明，即（2a+x）=（4x-2a）+9x\解得“-石",

犷号0|叫=不

所以3,3,

_16100

所以在△他名中，由勾股定理可得阳周2=忸8『+忸用一，即'22+9"2,

_V29

所以可得联亍

729

故答案为：3

15.设函数/㈤与8⑴是定义在同一区间［"例上的两个函数，若对任意的xeR/］,都有

I/（x）-g（x）区1,则称/（X）与g（x）在上是“密切函数，，，区间例称为“密切区间”,设函数

/（x）=lnx与g（x）=2机+x,在［e'J上是“密切函数,,，则实数机的取值范围是.

【答案】L2」

【分析】由新定义转化为不等式恒成立，再转化为求函数最值可得.

【详解】由题意在［e,e」上|lnx-x-2小1恒成立，2m-\<\nx-x<2m+\,

.v1.1—X1.

设/?(x)=lnx—x,则Mx=1_=丫，当［<x<时，

"'（x）>0,〃（x）递增，当l<x<e时,

力H=.11

-1—A(e)=1-e<-1——

Y(x)<°,〃(x)递减，所以网x)1rax=秋1)=-1,又®e,e,所以

J2/H-1<1-ee

旗X）min=l-e,所以（2机+12-1,解得一"""1一5.

-1,1--

故答案为：L2」

【点睛】本题考查新定义，解题关键是理解新定义，把新定义问题转化为不等式恒成立问题，再变

形后转化为求函数的最值.

四、双空题

a1H±LJL2"

16.设为数列｛“"｝的前〃项和，已知“一=万，=为+，则与=,$100=.

n251

【答案】友一产

W+1nri\n1、

【分析】％两边同除2田，令"2"%,则有八"X'zO且"1)T=°,

_n

则有"")-1=°,即可得°”-f；s”用错位相减法求和即可.

/(n+l)-l=i(/(«)-l)

【详解】〃，用%2"%”22工2,令2%.

则4，

〃1)-1=；-1=0_n

・••又2%

012n—\n112n—1n

S-1r+…H---rH----3“=-7H+…H-------------i---------

n223

〃222"T2〃①，2〃222“2向②，

1c111n«

22222"2"+|

①减②得：

r.12+〃g51

.»“=2一-.»10«=2一齐

22--

故答案为：2"；2

五、解答题

17.已知等差数列也｝的前〃项和为邑，其中％=",'=147；等比数列也｝的前〃项和为4,

22

h.=-h,=—

其中9,243.

⑴求数列也｝的通公式；

(2)记0”=a，，*%求数歹lj匕｝的前〃项和Q.

b-

［答案】⑴…"5,"3-'

3

Q.=2n2+10n+-

Q)23-2

【分析】(1)根据条件分别求出等差数列｛“〃｝的公差为d,等比数列｛4｝的公比为公再利用数列的

通项公式即可求解;

（2）利用等比数列和等差数列的前”项和公式进行分组求和即可得出结果.

【详解】(1)记等差数列包｝的公差为d,等比数列也｝的公比为g,

由题意得，$7=74=147,解得能=21,"==4,

.a”=%+(〃-3)d=17+4(〃-3)=4〃+5

2

66_243_1__3

1

3—q=一

V9，:"3,

仃4〃+5+3-仕『=4〃/1『+8

Q“=4(1+2+…+〃)-[+(；)+(；)+…+

+(8+8+・・・+8)

13

=4-------------+8〃=2/+10〃+--------——

2・3"T2

18.已知,（一丫），以点A为圆心的圆被y轴截得的弦长为26.

⑴求圆A的方程；

（2）若过点80，-2）的直线/与圆A相切，求直线/的方程.

【答案】⑴（“+D+d）=4

⑵x=1或3x+4y+5=°

【分析】（1）根据垂径定理，可直接计算出圆的半径；

（2）根据直线/的斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时，可得到直线方程为、=1的直线满足题

意，斜率存在时，利用直线/与圆相切，即"（T2）到直线/的距离等于半径，然后解出关于斜率的

方程即可.

【详解】（1）不妨设圆的半径为R,根据垂径定理，可得：*=12+呵

解得：R=2

则圆的方程为：G+i）-+d）-=4

（2）当直线/的斜率不存在时，则有：》=1

故此时直线/与圆相切，满足题意

当直线/的斜率存在时，不妨设直线/的斜率为/，点8（L-2）的直线/的距离为“

直线/的方程为：y=〃（xT）-2

J-2"4|=2

则有：

k=_3

解得：4,此时直线’的方程为：3x+4y+5=°

综上可得，直线/的方程为：x=l或3x+4y+5=°

19.已知函数/Oxfalnx.

⑴求函数/（X）的单调区间；

g（x）=-+/（x）r

（2）若函数x\'在［L27Jl上是减函数，求实数a的取值范围.

【答案】（1）答案见解析

【分析】（1）先求出函数/J）的导数，然后讨论和两种情况，从而即可求解;

（2）由题意，g（x）4°在［⑶上恒成立，即"Wrx在口，2］上恒成立,令

,利用

导数求出〃（x）的最小值，从而即可得答案.

f\x)=2x+—=2:「.+2a(x>0)

【详解】（1）解:XX

①当心0时，所以/（X）的单调递增区间为（0,+8）；

2(x+yT-a)(x-4-a)

/'a)=

②当a"时,X

当X变化时，f（x）,"X）的变化情况如下:

X(0,V-a)4-CI(V^,4-oo)

-0+

/（X）递减极小值递增

由上表可知，函数“X）的单调递减区间为（°，。），单调递增区间为（G，”）;

2,，/、2r2a

g(x)=--I-x2+2alnxg(x)=----+2xH---

(2)解：由％，得xx9

因为函数g（x）在口团上的是减函数,

_2_2a_1_2

所以g'（x）@在［1,2］上恒成立，即一丁+“+工、在［，2］上恒成立，也即在口，2］上恒成立，

h（x）----x2,xe［1,21h'（x）-———2x=-（—r+2x）<0

722

令xL」，xx,

所以/?（x）在口，2］上为减函数，

7

〃（X）mm=力（2）=—，

所以2,

——

所以2,

a<--

所以实数。的取值范围为、2.

20.已知数列"J的前〃项和为,〃eN*

（1）求数列｛%｝的通项公式；

b“=--------------7>1-（

⑵记"（%一1）（“"+「1）,4是数列也｝的前〃项和，若对任意的"N*,"7,求实数4的

取值范围.

在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

a.a.a„/+〃

①S〃=2%—2；②222T.③…〃”=2-

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）%2"

⑵*

【分析】(1)选①：根据%与S”的关系即可求解；选②：根据已知有"N2时，

幺+”+...+限=”一1

2222"-',两式相减即可求解；选③：根据己知有"22时，

(7?-1)2+(/>-!)

…“1=22=22,两式相除即可求解；

_J___｝k>(——"——],neN,

(2)利用裂项相消求和法求出12田-1,则原问题等价于12”,-1人"，令

，判断数列£｝的单调性，求出数列£｝的最大值即可得答案.

【详解】(1)解：选①：当"=1时，E=2《-2=q,;.q=2,

•/Snti=2an-2，«〃>二_9乙my-vr,n-1.=2an—\,-2,

二两式相减得."=2%T("22),

数列｛“"｝是以2为首项2为公比的等比数列,

a“=2x2"T=2"

•.•5+勺+•••+"="幺+乌+…+^^=〃-

选②：2222",〃22时，2222向

—=l(n>2)幺=1

二两式相减得2",即4=2"("22),又当〃=1时，2

■-a<=2,满足上式,

.••«„=2";

2

〃2+〃(A-】)2+(〃T)n-n

aaa22

选③：''\23---^n=,〃W2时，4。2a3…勺-|=22=22

二两式相除得q=2"("22),当〃=1时，4=2,满足上式，

.■•«„=2";

b__2"_1______1_

⑵解：J3,7)(%一。&7)(2向7)272J

J"=(2'-1-22-J+(22-l-23-l)+(23-l-24-l)'"+(2,,-l-2,,+1-l)=1-2,,+'-l

rtsN',7；>1--1——p—>1--.

•••对任意的"，即2n+1-l〃对任意的都成立，

,n

k>——：--.

•••2田-1对任意的〃eN都成立，

：.k>\——7——jGN*

12用-人x

n+1n(n-1)2^'+1

〃XT*CI—C-----------------

令C"n=——2"+:l---l-',〃GN，则〃+1〃2,〃+2_12,〃+1(2,,+2-l)(2,,+l-1)

...neN\二%,|-%<0,即q，+i<%,

二数列｛%｝是递减数列I，

•••(%」：

Z:>-

3,

）的取值范围是

。像当x2v2

C:j+彳=1（q>6>0）

21.已知点j在椭圆ab2上，且点0到曲线C的两焦点的距离之和为

2拒.

（1）求C的方程；

0.x2+y2=—

（2）设圆3上任意一点尸处的切线/交c于点"、N,求cos4MON的值.

r2

——+V=1

【答案】⑴2'

（2）cosZ.MON=0

’2。=2五

工j_=]

【分析】（1）根据题意，由[4+4〃一求解；

O:x2+y2=—

（2）当直线/的斜率存在时，设方程为：y=b+〃?.根据直线/与圆-3相切，得到

fy=kx+m

〃?，人的关系，联立Id+2^=2,结合韦达定理，由两•丽求解；直线/的斜率不存在时，根

据对称性得到M,N的坐标求解.

22

C:=+4=l（a>Z>>0）

【详解】（1）解:.••点4号在椭圆成b-上，且点。到C的两焦点的距离

之和为2及.

2a=2yf2

13,

彳+h

1=y/2

b2=l

江+2=1

所以椭圆c的方程为：了+‘一

O:x2+y2=—

（2）当直线/的斜率存在时，设方程为：y="+m.因为直线/与圆3相切,

所以

y=kx+m

x2+2y2=2整理可得.(2^2+1)x2+^kmx+2w2-2=0

联立

4km2m2-2

%+工2二一斤百，再工2~2k2+\

OMON=XjX+(Ax,+m)(Ax+«)=(k2+l)x,x+km(x,+x)+m2

又因为2222

=仁华士)+当出+加2

2k2+\2k2+\

3m2-2k2-2

=0

2k2+\

所以两_L丽;

所以cos/MON=0.

（如如M如_逅］

当直线/的斜率不存在时，根据对称性得“，N的坐标分别为

此时有OMQN=0,所以cosNMOV=0,

综上知cos/"ON=0.

=--aflnx+-j（aeR）

22.已知函数xVx）

（1）若〃=1，求f（x）的单调区间；

（2）若,（X）在@2）上有两个极值点多,X?（再＜%）.

(i)求实数a的取值范围；

(ii)求证：中2<1.

【答案】(1)单调递减区间为(0'2),单调递增区间为Q，+00)

⑵(i)I2人(ii)证明见解析

【分析】(1)利用导数求得/G)的单调区间.

(2)(i)求得/(X),根据/G)在(a2)有两