2022-2023学年山东省淄博市高一年级上册学期期末数学试题1含答案

2022-2023学年山东省淄博市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1.已知集合11J,则4口8=（）

A.{x|x>0}B.且x*l}

Q{x\x^\}p{x|x>0}

【答案】D

【分析】根据函数定义域和值域求出48,从而求出交集.

【详解】由函数定义域可得："={小"°},

由值域可得8=例"。},故/C8={x|x>o}

故选：D

3

2.下列式子的值为-5的是（）

11

A."B."C.后D."

【答案】D

【分析】根据根式与分数指数募之间的转化，逐一化简即可得到结果.

1

，3414

【详解】行=〃，V?=a2,"，"，

故选:D.

3.著名的物理学家牛顿在17世纪提出了牛顿冷却定律，描述温度高于周围环境的物体向周围媒质

传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.新闻学家发现新闻热度也遵循这样的规律，即随着时间的推移，

新闻热度会逐渐降低，假设一篇新闻的初始热度为乂（>°）,经过时间“天）之后的新闻热度变为

N（f）=N°e”,其中a为冷却系数.假设某篇新闻的冷却系数a=0.3,要使该新闻的热度降到初始热

度的10%以下，需要经过天（参考数据：In10®2,303）（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】根据题意建立不等式求解.

【详解】依题意，NQ）=W<0.1%

e-Qi,<O,l,-O.3z<lnO.l=-lnlO,Z>妙~史奥-7.677

,0.30.3,

即经过8天后，热度下降到初始热度的10%以下；

故选：C.

厂/（x+1）

4.已知函数y=〃2'）的定义域为[1,4],则函数'x-1的定义域为（）

A.[-1,1）B.（1/5]C.[°，3]D,[0,l）o（l,3]

【答案】B

【分析】由函数y=〃2、）的定义域求出函数的定义域，再根据抽象函数的定义域问题即

可得解.

【详解】解：由函数蚱/⑵）的定义域为U，4],得2y2,16],

所以函数>=/（x）的定义域为[216],

尸

由函数4T,

J2<x+l<16

得[x-lHO,解得l<x415,

y=f^l

所以函数‘x-l的定义域为（草5].

故选：B.

x3-2x

y-

5.函数'2,+2T的部分图象大致为（）

【分析】先利用函数的奇偶性排除选项C和D,再利用特殊值排除选项B即可求解.

x，一2x

y=/（X）=-~—

【详解】因为函数.2、+2T的定义域为R,

「,、一+2,X—2,X「,、

J（-X）=----------=------------=-J（X）

且2、+2一、2“+2一、，所以函数为奇函数，故排除选项C和D；

又因为当x=l时，当x=2时，/（2）>0,且当X-+8时，>>°,故排除选项B.

故选：A.

6.一元二次方程以2+5x+4=°（a*0）有一个正根和一个负根的一个充要条件是（）

A."0B.

C.«<-2D.

【答案】A

【分析】根据二次方程有一个正根和一负根可得仆>。以及两根之积小于°,列不等式组即可求解.

【详解】因为一元二次方程"2+5》+4=0（4*0）有一个正根和一负根，设两根为X1和巧，

△=5?-4（?x4>025

a<—

<4,16

x,x2=—<0

所以I~〃解得,故

故选：A.

7.已知a=3°3,V2J,。=1。&而，则下列大小关系正确的是（）

A.a>b>cB.c>b>ac.b>a>cQa>c>h

【答案】D

【解析】根据指数函数与对数函数的性质，先判断凡“。的大致范围，即可得出结果.

【详解】因为"3<”>3°=1,“⑸〈⑸

C=bg5直>抽逐=g且c=bg5指<],

所以”>c>6.

故选：D.

【点睛】本题主要考查比较指数哥与对数的大小，属于基础题型.

8.己知定义域为I'"]的函数"x）的图象是一条连续不断的曲线，且满足/（r）+/G）=°.若

小2））/（一）

VxhX2e（O,7]（当*<X2时，总有mX],则满足（2加-1）/（2加-1）4（机+4）/（加+4）的实

数加的取值范围为（）

-33

A.[T3]B.[一同c.HA]D.[,]

【答案】A

/G）./G）

【解析】根据VXI，X2€（0，7］,当乃<X2,时，总有再X］,转化为VXI，X2G（0,7］,当

Xl<X2,时，总有々/&）>占/（不），令g（x）=V（x）,则g（x）在（0,7］上递增，再根据

/（-x）+/（x）=°,得到g（x）在［-7,7］上是偶函数，将（2〃1）/（2加-1）4（〃7+4）/（,"+4）,转化

为g（2加机+4］）求解

【详解】令g（x）="G）,

/仁）：/（』）

因为%,X2«0,7］,当》<X2时，总有玉%2,

即VXI,X2W（0,7］,当Xl<X2时，总有工2/。2）>%/（占）

即VXI,X2W（0,7］,当》<X2时，总有g（x2）>g（xj,

所以g（x）在（0,7］上递增，

又因为/（-x）+/（x）=°,

所以g（x）在卜7,7］上是偶函数，

又因为Q加-l）"2"Ll）4（m+4）/（m+4）,

所以g（2加T）4g（加+4）,即gQ2m-l|）4g（|m+4|）,

2m-l|<7f-3</w<4

<加+4|47

所以上吁悯掰+4］即［一14旌5,

解得一1〈场3,

所以实数机的取值范围为『I'，］

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题令g（x）=4'G）是关键，利用g（x）在（&7］上递增，结合g（x）在

卜7,7］上是偶函数，将问题转化为gQm-l|）4g3+4|）求解.

二、多选题

9.下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是（）

xx2

A.^=10-10-BJ^=log2（x+1）

1

3y=—

C.…D.X

【答案】AC

【分析】利用奇偶性的定义判断每个选项中函数的奇偶性，对于符合奇函数的选项再接着判断其单

调性即可.

【详解】对于选项A：记“x）=l0'-l°T,函数/（x）=l°'T0T的定义域为（一°°，+8）,定义域关于

原点对称，又/（T）=IOT-IO'=-/（X）,所以函数/（x）=io'-io'是奇函数，又因为y=i0,是增

函数，夕=10'是减函数，所以=是增函数，符合题意，A正确；

对于选项B：记8（R=1°82（/+1）,函数g（x）=l°g式/+1）的定义域为（《，+8）,定义域关于原点对称,

且g（-x）=k>gj（-x）-+f|=g（x）,所以函数g（x）=bgG+l）是偶函数，不符合题意，B错误；

对于选项C：记〃（x）=d,函数"（力=/的定义域为（—00'十°°）,定义域关于原点对称，

且人（一工）=（-》）3=-1=一心），所以函数〃（X）=V是奇函数，根据幕函数的性质，函数僦X）=d是

增函数，符合题意，C正确；

对于选项D：记““一三，函数'°一彳的定义域为（一8'°川（°，+8）,定义域关于原点对称，又

/（—x）—?_=——/（x）Z（x）=—

-XX,所以函数.X为奇函数，当x=-l时，"T）=1,当x=l时，

1

«1）二-1,所以'x在定义域上不是单调递增函数，D错误.

故选：AC.

10.给出下列结论，其中正确的结论是（）

片印入।

A.函数的最大值为2

化2）--

B.若基函数的图象经过点"）,则解析式为卜”

C.函数歹=2'与函数y=bg2X互为反函数

D.^x,y>0,x+y+xy=3t则初的最小值为1

【答案】BC

【分析】根据指数函数，累函数和对数函数的性质即可判断选项A，B，C；利用基本不等式即可判断

选项D.

1

【详解】因为函数-丁+i有最大值i,由指数函数的单调性可知：函数V2；取最小值2,故

选项A错误：

a（1）"=2a=--

设幕函数为y=x,因为基函数的图象经过点18人所以8,则3,

1

所以函数解析式为y=x故选项B正确；

根据指数函数与对数函数的关系可知：函数>=2'与函数y=log2*互为反函数，故选项C正确：

因为》,?>0,》+^+孙=3,所以3_个=工+^22历当且仅当》=>=1时取等，

则（而『+2历-340,解得：°〈历41,则孙,I,所以少有最大值1,故选项D错误，

故选：BC.

11.已知函数/a"%-+'*+。，下列论述中正确的是（）

A.当"=0时，/（X）的定义域为R

B./G）的定义域为R,则实数。的取值范围是（一2,2）

C./（X）的值域为R,则实数。的取值范围是（-%一2卜［2,+"）

D.若/（X）在区间（2，+°°）上单调递增，则实数。的取值范围是［-冬内）

【答案】ABC

【分析】由对数型复合函数的定义域可判断AB；由对数函数的值域判断C；由复合函数的单调性

可判断D

【详解】对于A：当。=°时，/（》）=怆（丁+1）,由/+1>°解得xeR,故A正确；

对于B：/（X）的定义域为R,则X?+G+1>°恒成立，贝ijA=a2-4<°,

解得-2<a<2,故B正确；

对于C：/（X）的值域为R,则/=』+"+1能取完所有正数，此时△=。2-42°,

解得〃«7，一2M2,⑹，故c正确；

对于D：因为复合函数/。）=反（*+办+1）是由y=igf,t=x2+ax+\,复合而成，而y=ig，在

（°，⑹上单调递增，又/㈤=馆（，+⑪+1）在区间（2,+8）上单调递增，

2

所以，=x2+ox+l在（2，+8）上单调递增，则有2~,解得心-4,

a>_5

又》2+6+1>0在（2，+8）上恒成立，则有22+20+12°,解得“-2,

a2—

综上，2,故D错误；

故选：ABC

12.已知函数/（x）=x|x-a|-2有三个不同的零点，则实数。的取值可以为（）

A.0B.20C.3D.4

【答案】CD

q=X2%2_J

【分析】确定x4°时，/（X）在区间（一8,0］上无零点，题目转化为一X或。=x有3个解,

得到/一办+2=0有两个正数解，解得答案.

【详解】当x40时，f（x）<°恒成立，即/（X）在区间（-8,0］上无零点，

22

,I、a-x—xH—

所以当x>0时，Mx-a|=2有三个正根，解得工或〃=X.

222

y_xx—€Ra_x

当X>°时，.X单调递增，且X,则方程X有一个根,

.［A=a*2-8>0

2<

则方程"一"最要有两个根，即/-狈+2=°有两个正数解，则瓜+々=。>°,

解得a>2及，故CD项正确.

故选：CD

三、填空题

13.已知函数/（X）=0'7+X0+2（a>0且"1）的图象恒过定点尸，则点P的坐标为

【答案】（⑷

【解析】结合指数函数和累函数的性质求解.

【详解】x=l时，/（1）=1+1+2=4（所以函数图象恒过定点（L4）.

故答案为：（L4）.

21,

I—+—=1

14.设2"=5'=m，且ab,则"?=.

【答案】20

21।

-T——J

【分析】显然°，用对数式表示出后代入“b，运用对数的运算法则化简可得答案.

【详解】依题意有

ab

2=5=7W,/.a=log2m,b=log5m,

l=­+，

=2log„,2+log„,5=log,,,20,=20

ablog2mlog5m

故答案为：20

15.已知函数八x)=a"("0且"1)的反函数广⑴过点(4,2),设g(x)=〃x)+广(x),则不

等式g(2x-l)-g(4-x)<0的解集是.

化⑶

【答案】〔23；

【分析】根据反函数定义得到反函数解析式/'(x)=log“x,根据题中所给点解出。的取值，得到

g(x)解析式，根据g(x)单调性得到最后解集.

【详解】根据反函数定义可知广(x)=l°g"X,由题可知广(4)=bg“4=2na=2

故/T(x)=log2X,/(x)=2，，即g(x)=2'+bg2,根据解析式可知g(x)在(°，+00)为增函数，

g(2x-l)-g(4-x)<0=>g(2x-1)<g(4-x)

2x-l>0

<4-x>0=^-<x<-

23

可列不等式〔4-x>2x-l

fiq

故答案为：123)

四、双空题

-2x+l,x40

16.已知函数l|10g0.5x[，X>°，若方程/(x)="有四个不同的解网户2户3，匕,且

16

x4-(x,+x2)+,

占<々<》3<相,则a的最小值是,‘12W・无：的最大值是.

【答案】14

/(X)_—X2—2x4-l,x^0

【解析】画出[|嘘"|户>0

的图像，再数形结合分析参数的“的最小值，再根据对称性与函

16

x4-(x1+x2)+-----

数的解析式判断再，Z，与户4中的定量关系化简与*4再求最值即可.

—x?—2x+1,

/(x)=,

|1暇5心＞°的图像有:

【详解】画出

因为方程/G)="有四个不同的解项，々，匕，匕,故/(X)的图像与y=a有四个不同的交点，又由图，

()>()故。的取值范围是口'2),故。的最小值是1.

又由图可知，2A"Jbgo.5%3|=配0.5”,故10go,5=一唯0.514=唾0.5%3%4=°,故

gT

16

X4.(玉+%)+2=-2X4+—

故X3,X4巧.

又当a=1时，Togas丫4=1=匕=2,当q=2时，Togas七=2nx&=4,故匕e[2,4).

£6£616

又v4.在匕42,4)时为减函数，故当乙=2时y4取最大值>2x2+24

故答案为：(1).1(2).4

【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数以及范围的问题,需要根据题意分析交点间的

关系，并结合函数的性质求解.属于难题.

五、解答题

17已知集合力=k|x2-7x+10<0},8={x[(x-a)(x-a-2)<0}

(1)若8U“，求实数。的取值范围；

(2)若用=bg25T0g240，〃=lg40+21g5,求机，〃的值，并从下列所给的三个条件中任选一个，说明

它是8U4的什么条件.(请用“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要

条件”回答)

55

ae心〃j〃27；ae-n.-m

①L6J②3」③6

【答案】⑴[2,3]

55

aem,—naGtn,-n

(2严=-3，"=3,6是的既不充分也不必要条件,L3」是8勺4的必要不充

5

ae—n,-m

分条件,L6」是5="的充分不必要条件.

【分析】（1）解不等式得到48,根据8a1得到不等式组，求出实数”的取值范围;

55

aem,—naem,—n

（2）先利用对数计算公式得到‘〃=一3,〃=3,从而判断出63

5

aG-n,-m

是8勺”的什么条件.

4=-7x+10<01=目2<%<5}

【详解】（1）

B=冏(X-Q)(X-a-2)<0}=囱a<x<〃+2}

p>2

因为所以I"2。，解得：2<a<3.

实数。的取值范围是[2,31

m=log25-log240=log2]=-3

w=lg40+21g5=lg40+lg25=lg1000=3

5

a€m,—n-3'万|由于求出ae[2,3],

选①L6

-3,g)/ae[2,3]ae[2,3]/ae'3怖)

ae

而

aG

故L6J是的既不充分也不必要条件;

=[-3,5]

aG由于8土4求出”[2,3],

选②

而ae[-3,5]/“e[2,3]ae[2,3]=>ae[-3,5]

5

aGm,—n

故3」是8=/的必要不充分条件;

-5二川，由于抬/,求出

aG-n,-mae[2,3]

选③6

5,味，3

ae2,3=>”[2,3]ae[2,3]X<

而

5

ae-ny-m

故6」是8仁/的充分不必要条件.

mx+n

18.已知函数“f1+'2是定义在［T1］上的奇函数,且/°）=L

（1）求/（X）的解析式;

2_//、b

H——8—

(2)已知“>0,40,且ab,若存在。，°使2成立，求实数f的取值范围.

2V

（n）G5

【答案】(I),1+X；

/（o）=o

【解析】（1）根据题意分析可得,解可得〃?、〃的值，则可得出函数/（X）的解析式;

b1〃+平+2

⑵因为%>8Q+-二一

，所以282)yab,展开利用基本不等式可得22,

则只需使2,然后求解不等式即可解得实数，的取值范围.

mx+n

根据题意，函数“X一1K是定义在［T'l］上的奇函数,

【详解】解：（1）

mx

则八。）=0,可得〃=o,则-1+x2,

又由"1）=1得,——=1

则2,可得〃?=2,

♦康

且卜沁

（2）因为。>0,b>09

b112,b

4+—=一----1----2+—+2+2b__2a_

28ab2a

所以,当且仅当2。一方，即

1马时，等号成立,

a=—

4,

2/1

f（t）>a—

若存在。，力使2成立，则2,g|Jl+/

解得：2-石"<2+6,又，€卜1,1］,

所以实数，的取值范围是

【点睛】本题主要考查根据函数奇偶性求解函数的解析式，考查基本不等式的运用，解答本题时注

意以下几点：

（1）当奇函数/（X）在x=0处有意义时，则有

/,（/）>«+-/（，）>，+<[-+-=8

（2）若存在。，6使2成立，只需使V24~然后根据ah,利用基本不

a+2

等式求解2的最小值.

19.已知函数"、）』”，心0,且外）+/（7）=。

（1）证明：/6）在定义域上是奇函数；

（2）判断/（X）在定义域上的单调性，无需证明；

⑶若/（x）+ln9</（-x）,求x的取值集合.

【答案】⑴证明过程见解析

（2）单调递减，理由见解析

⑶{却<》<2}

f（\12-x

【分析】（1）根据求出m=1,'"""“三匚，求出定义域，并利用

/（-x）=-/（x）证明出结论；

g（x）=^^g（x）=^^

（2）设2+x,利用定义法证明出2+x的单调性，从而利用复合函数单调性满足同

增异减，判断出/G）的单调性；

八6-3x1

0<-------<1

（3）利用/G）的奇偶性得到/（x）+ln3<°,从而得到2+x,求出x的取值集合.

//I、12—m12+m_

/(1)+/(-l)=ln-------+ln-------=0

2

【详解】(1)2+12-1,解得:tn=\9

f(x)=In---

因为加>0,所以加=1,・、，2+x,

2〉0

令,解得：-2<x<2,故/（X）的定义域为（一2,2）,关于原点对称,

/（-x）=In六=-In芸=-/（x）

乂£-XZ+X,

所以/,（X）在定义域上是奇函数;

（2）/（X）在定义域上单调递减，理由如下:

任取x”/£(-2,2),石<x2

2-x

人g(x)=

2+x

2-占2-々(2-XJ(2+X2)-(2-X2)(2+XJ4(Z-xj

g(X|)-g(x2)=

2+玉2+X(2+%)(2+x)((

则222+X,)2+X2)

因为看,七€（-2,2）,演<X2

g（xj_g（x2）=/4（x；/xj、>o

所以2+玉>0,2+/>0,%2_%i〉O,故（2+xl）（2+x2）

所以ga）>g（%）,故g3-3在J，2）上单调递减，

根据复合函数单调性满足“同增异减”，

所以,（x）-“二二在（_2,2）上单调递减；

（3）”x）+ln9<.仆）变形为/白）+ln3</（-%）-In3,

因为/(X)在定义域上是奇函数，所以/(r)Tn3=-[/(x)+ln3],

即/(x)+ln3<-[/(x)+ln3]即2]/(x)+ln3]<。/(x)+ln3<0

/(x)=In-——In-~-+In3=In-——<0=In1

因为2+x,所以2+x2+x,

八6-3x,

0<-----<1

故2+x,解得：l<x<2,

故x的取值集合为仲

20.己知二次函数/G）=/+bx+c,不等式/（、）<°的解集为CW）.

⑴求函数/（X）的解析式；

⑵解关于x的不等式（a+l）-—2ax>/（x）+4（其中0eR）.

【答案】（l）/（x）=-—x-2

（2）答案见解析

【分析】（1）根据不等式/。）<°的解集为fl?）,得到/6）=°的根，由韦达定理求出未知数

力和。，即可求出函数/（X）的解析式

（2）将（1）求出的函数/（X）的解析式代入不等式，分类讨论即可求出不等式的解.

【详解】（1）由题意

在/(x)=xFx+c中，"x)<0的解集为(-1,2)

...x~+bx+c=O的根为-L2

...-1+27,-lx2=c,

解得：b=-l,c=-2

2

：f(x)=x-x-2

(2)由题意及(1)得，aeR

在/G)=f_x_2中，(6f+l)x2-2ax>/(x)+4

.(a+l)x~-2ax>x2-x-2+4

即("+l)(x-2)>0

当a=0时，不等式化为：x-2>0,解得：x>2,

当。>0时，-a<0,则不等式（”x+l）（x-2）>0的解为：x<°或》>2,

——>0“(XH—)(x—2)>0(xH—)(x—2)<0

当”0时,。，不等式化为。，即“

若一1一2,即“一一5,则不等式化为：（X-2）~<0,其解集为空集.

__-<2a<（x+—）（x-2）<0\x\--<x<2

若〃，即2,则不等式a的解集为〔〃J,

_■->2--<a<0（x+—）（x-2）<0\x\2<x<一■-

若〃，即2,则不等式。的解集为〔。

综上所述:

（,…11

当a>0时，不等式的解集为f'/

当a=°时，不等式的解集为｛xB>2｝；

—<tz<0x12<x<

当2时，不等式的解集为〔a

当“一一5时，不等式的解集为0；

a<--—<^<2?

当2时•，不等式的解集为〔aJ.

21.已知函数/（x）=2*+2〜（常数aeR）.

⑴若"T,且/O,，求、的值;

⑵当,（X）为奇函数时，存在x«l，2］使得不等式/2（x）-”"（x）+l<°成立，求实数机的取值范围.

【答案】（1产噫（2+旬

停一）

（2严的取值范围为（6）

【分析】（1）解方程/（、）=2'_2T=4即可求解；

（2）由‘（°”。求得。的值，再利用奇函数的定义检验可得/（*）的解析式，分离参数可得

%>""）+忐f（x\"小清

町，根据单调性求出/口）范围，/住）的最小值即可求解.

［详解］（1）当a=T时，/（X）=2'_27,

令/（x）=2"2T=4可得&）2-42-1=0,

所以Q'-2）=5,可得2，一2=±囱，又2，>0,

所以2'=2+区故-脸（2+逐）

⑵若函数/（*）=2』-2一"是奇函数，则/（0）=2°+e2"=l+a=0,可得〃=_］,

所以/（'）=2、-27,经检验/（一）=2-、-2』（2、-2-，）=-小），

所以/0）=2、-2r是奇函数，a=_1符合题意，

因为'=2、在［1,2］上单调递增，y=r在［L2］上单调递减，

所以y=2=2T在［1,2］上单调递增，

/（x）=22-2-2=—/（%）.=2'-2-'=-

所以当X=2时，'八4,当X=］时，J'儿。2,

所以L24」，

因为存在X.L2］使得不等式/"x）-W（x）+l<°成立，

rim>f（x）4——L

所以存在xe［l，2］使得/（X）成立，

1

m>，(x)+

所以

令/（.x）、=，，设g（/）=/（^）+—/7（x^）=/+-t,re|-_2-,4_

'315-

tte—,—

任取}i2L24」，且4<优贝|J

gOgCJr+Jr-9&F）

”2。/

t’,』3竺一

因为4气，,-口4」，所以f2r>0,3-1>0,

'315'

所以gG）>gG）,故函数g（‘）在白'4」单调递增，

）313

所以当‘一=5时，g（’）取最小值，最小值为6,

1

/(x)+——竺

即X=1时,/（X）取最小值，最小值为6

13

m>一

所以6,

所以实数，〃的取值范围为5'+”）

22.近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动

创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现:

该工艺品在过去的一个月内（按