2022-2023学年山东省东营市高二年级下册学期开学摸底检测数学试题含答案

2022-2023学年山东省东营市高二下学期开学摸底检测数学试题

一、单选题

1.已知："（°,9,8（0,-4）,C（4,0）；E（°，2）,尸（0,-2）,一束光线从尸点出发射到8c上的。

点经2C反射后，再经/C反射，落到线段NE上（不含端点），则户7）斜率的取值范围是（）

【分析】根据光线的入射光线和反射光线之间的规律，可先求尸点关于直线8c的对称点P,再求

P关于直线AC的对称点M由此可确定动点D在直线BC上的变动范围，进而求的其斜率的取值范

围.

"-1

a

b-2ci

设厂（0,-2）关于直线8c的对称点为尸（a,b）,贝一亍一5

fa=2

解得"=-4,故尸GT）,

同理可求,G"4）关于直线NC的对称点为"（8,2）,

连接交/C于汽，

（y=2

而施V方程为尸2,联立卜=-X+4得N点坐标为N（2,2）,

连接尸分别交BC于H，G,

尸/方程为：N=-4X+4,和直线8c方程夕=x-4联立，

雇，乌

解得，点坐标为M5,

PN的方程为尸2,和直线8c方程y=x-4联立解得G（2,-2）,

连接尸G,尸"，则”,G之间即为动点D点的变动范围，

工+2]

kfG=kpH=-

而5,

（一二,0）

故ED斜率的取值范围是4,

故选B.

2.己知点尸32）,点加是圆G：（x-1）2+V=l上的动点，点%是。2：/+（k2）2=1上的动点，则

|/WH尸"I的最大值是（）

A.5-2&B.5+2及c.2>/2-2D.3-272

【答案】A

【解析】由圆外的点和圆上的点的连线长度的最值关系，转化为求归M-TPML,

【详解】由条件可知IPNHPMI的最大值是|PNLT尸Mmi„,

|PNL=KI+1=J（3-0T+（2-2）2+1=4,

22

I户闸mm=IPC11=7（3-l）+（2-0）-1=272-1

9

所以冲|一|PW的最大值是4-（2&-1）=5-2夜

故选：A

【点睛】结论点睛：本题第二问考查与圆的几何性质有关的最值，具体结论如下:

（1）设°为圆的圆心，半径为「，圆外一点A到圆上的距离的最小值为

\A°\-r,最大值为陷+:

（2）过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；

（3）记圆的半径为『，圆心到直线的距离为〃，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为

d+r,最小值为

3.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成

抛物线，该桥的高度为〃，跨径为。，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为

【答案】A

【分析】根据题意，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为夕轴建立直角坐标系X。7,则抛物线的顶

点坐标是（0,0）,并且过［2）,利用待定系数法求P即可.

【详解】以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为卜轴建立直角坐标系X。,，

2/、I_,-7z"=2hpp=a

结合题意可知，该抛物线k二-24（。＞0）经过点（2'人则4-，解得一8〃，故桥形对应

_a2

的抛物线的焦点到准线的距离为'一还.故选A.

【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，注意建立

数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般.

4.抛物线有一条重要的性质：平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线上的一点反射后经过它的焦

点.反之，从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知抛

物线V=8x,从点"（4,必）发出一条平行于X轴的光线，经过抛物线两次反射后，穿过点8（4，%）,

则光线从A出发到达B所走过的路程为（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【分析】利用抛物线的定义求解.

焦点为/口，。），设光线第一次交抛物线于点第二次交抛物线于点",

4E过焦点F,准线方程为：》=-2,

作AA"垂直于准线于点A",作BB"垂直于准线于点B”,

则⑷1+MM+忸到，

=\AA'\+\A'F\+\B'F\+\B'B\

=\AA'\+\A'A"\+\B'B"\+\B'B\

=阳1+网=6+6=12

故选：C

5.对于一切实数X,令国为不大于x的最大整数，则函数/（x）=b］称为高斯函数或取整函数.若

〃eN*,为数列也｝的前"项和，则$3,=（）

1

%——n%+一〃

A.22B.22

,—9n2——3n

C.3"-2"D.22

【答案】A

【分析】根据高斯函数的性质以及数列求和公式进行计算.

【详解】解：由题意，当〃=3々，〃=3&+1,〃=3"2(%eN+)时，均有一15广5

故可知：

Sin=0+0+1+1+1+2+2+2+3+3+3+・—1)+(〃-1)+(〃-l)+"=3x-------x(〃-1)+〃

=­3n2—1n

22.

故选：A

1q+a,+-----卜a”=一(aa4)

6.若正项数列f佃/中，2%,nwN*,则%以的值是()

A.72021-72020B.V2021+V2020

cV2022-V202TDV2022+V202T

【答案】A

2S“--a“4----

【分析】设％+电+%+•••+%=*,则％,利用《,=5,,-5"〃22)变形，可得数列

｛S；｝是首项为5；=1,公差为1的等差数列，求出5,,=6，由此再求出见，可得七以.

2S〃=Q“4----

【详解】设4+02+/+,一+。”=5”，则%,

C1

2〃]=qH----2

当〃=i时，％,得q=1,因为所以囚=1,

2sli=S„-S,i+---S"+S”_]=---

当〃22时，¥得工fl,

得s：-s3=i,所以数列BN是首项为s：=i,公差为1的等差数列，

所以S：=l+(〃-l)xl=〃，因为数列口｝是正项数列，所以邑＞°,所以S”=6,

所以当“22时，a“=S“-S.T=4-V^T,

又〃=1时，％=1也适合上式，

所以%=G7n-l(4wN*),

所以a2O2i=J2021-V2020

故选：A

【点睛】关键点点睛：利用%=’—S，，T("22)变形，得到数列｛S：｝是首项为W=1,公差为1的等

差数列，求出S，是解题关键.

/(x)=4"(I

7.函数/在点12J处的切线与坐标轴围成的图形面积是()

39

A.12B.9C.4D.2

【答案】D

【分析】先利用/G)的导函数求出切线的斜率，即可求出解析式，即可求出截距，最后求出面积.

f-U-16j；-4=-16-|x--|

【详解】由题，'V,V2J，所以切线为I2九整理得

3139

__x_x12=_

y=-16x+12(易得切线的截距为4和12,围成的图形为直角三角形，故所求面积为24-2,

故选：D

8.设函数l-U-l)\x<l)若关于x的方程［〃x)『+W(x)T-机=°恰好有4个不相等的实

数解，则实数”的取值范围是()

【答案】B

【分析】方程化为〃x)=l或〃x)=一机-1,由导数确定函数/(')的单调性、极值，结合函数图象

可得参数范围.

【详解】因为凶幻「+切口)-1-〃7=°恰好有4个不相等的实数解，

所以(/(x)+机+l)(/(x)-1)=0恰好有4个不相等的实数解，

所以〃x)=l或〃X)=-"L1共有4个解,

设心)=4(x>l)则如)=审

所以xe(l,e)时，h\x)>0；〃(x)单调递增,

xe(e,+oo)时，以x)<0,例x)单调递减，

M⑴=0,

,,、门〃(x)e°」；

当xf+8时，〃(x)->0,所以Lej

设g(x)=-(xT)\(x<l),

则g'(x)=-3(x-<0,g(x)为单调减函数，

且x--8时，g(x)->+8,g⑴=0,g(x)e(0,+oo)

作出函数/(X)的图象如图所示：

由图可知〃x）=l只有-一解，

要（/（尤）+机+1）（/（、）-1）=0恰好有4个不相等的实数解，

即要=恰有3解，

0<-m-1<—

所以e,

,1,

-1—<m<-1

即e,

故选：B.

【点睛】方法点睛：利用导数研究方程解的个数问题的方法是方程转化为〃外="的形式，然后利

用导数确定函数的性质（单调性、极值、函数的变化趋势），作出函数的大致图象及直线y二。观察

图象可得解的个数的结论.

二、多选题

9.已知过点尸,2）的直线/与圆C：（x-3）、（y-3）2=4交于48两点，0为坐标原点，则（）

A.恒川的最大值为4

B""四的最小值为0

C.点°到直线/的距离的最大值为26

376

D.△产℃的面积为〒

【答案】AC

【分析】求得圆C的圆心坐标为C（3,3）,半径为『=2,结合圆的性质和圆的弦长公式，准线判定,

即可求解.

【详解】由题意，圆。：口-3）2+3-3）2=4的圆心坐标为0（3,3）,半径为『=2,

又由点P（4,2）在圆C内部，

因为过点尸G2）的直线/与圆C：&-3）2+（y-3『=4交于48两点，

所以的最大值为2r=4,所以A正确；

因为|PC|=7（4-3）2+（2-3）2=及,

当直线/与PC垂直时，此时弦以田取得最小值，

最小值为।冽=2用一（扬2=2近,所以B错误；

当直线/与。尸垂直时，点°到直线/的距离有最大值，

且最大值为冲=J（4-0y+（2-0）2=2色所以c正确；

3-02-3

由自'=口=1'即°=口=_1,可得坛C.即c=_l,即0C_LPC,

-|OC|-|PC|=-x3>/2xV2=3

所以△「℃的面积为2，所以口错误.

故选：AC.

C-=1

10.已知双曲线，84的左、右顶点分别为48,点p是c上的任意一点，则下列结论正确

的是（）

,网>也

A.若直线y=.与双曲线C无交点，贝〃2

B.焦点到渐近线的距离为2

8

c.点尸到两条渐近线的距离之积为§

D.当户与"，8不重合时，直线尸4尸8的斜率之积为2

【答案】BC

【分析】由双曲线的渐近线可以判断A；

求出双曲线的渐近线和焦点，进而根据点到直线的距离判断B；

设点p（x'y）,进而求出该点到两条渐近线的距离之积，并结合点在双曲线上进行化简，然后判断

c；

求出尸4尸8的斜率之积，并结合点在双曲线上进行化简，然后判断D.

V=i--x,川之--

【详解】对A,双曲线的渐近线方程为2,若直线夕=船与双曲线C无交点，贝『2.A

错误；

对B,由A渐近线方程为x土及卜=°,焦点为62退，°）,则焦点到渐近线的距离

P(-----=1x~—2y2=8

对C,设点Y刃，则84，点。到两条渐近线的距离之积为

卜+同IXk一与I_|X2-2/|_8

M⑸3§

•v-zJLL.Tvtj,

(2\

/r\/r\/、y2=41——&工±2及)

对D,易得"»&，0)B(2a,0),由c点尸GM满足I8),所以直线尸/，尸8的

(x2}

yyzy=I8J=_j_

22

斜率之积为x+2&x-141x-Sx-85.D错误.

故选：BC.

±

11.已知数列｛""｝是公差为d的等差数列，若存在实数d,使得数列NJ满足：可以从中取出无

限多项，并按原来的先后次序排成一个等差数列，则下列结论正确的是（）

A.符合题意的数列｛“"｝有无数多个

B.符合题意的实数”有无数多个

C.符合题意的数列｛%｝仅有一个

D.符合题意的实数〃仅有一个

【答案】AD

【分析】设从数列抽出的无限多项按原来的先后次序构成数列｛a｝,分别在d=。，d>°,

d<0时探究数列也J是否为等差数列，由此判断各选项的对错.

【详解】设抽出的无限多项按原来的先后次序构成等差数列｛"｝,

①若”=。：此时只需｛“"｝为任意非零常数列即可；

②若1>0：则也｝中只存在有限负数项，即存在MWN',当">乂时，a„>Ot则当〃时，

也，｝中均为正项，而另一方面，由上可知心/中公差"'<0,因此存在MwN,当">代时，

也｝中均为负项，取〃=max｛M，M｝,可知此时矛盾，故d>0舍去；

③若〃<°：同②可知需舍去.

综上，符合题意的数列｛%｝为任意非零常数列，〃=。,

故选：AD.

12.已知函数［0）=^一加8黄，/'（x）为/（x）的导函数，则下列说法正确的是（）

A.当机=1时，/（X）在（°'+8）单调递增

B.当加=1时，/。）在（°J（°））处的切线方程为了=》

C.当，"=T时，/'（X）在（°，4*00）上至少有一个零点

JJ

D.当切=-1时，/（X）在（2J上不单调

【答案】ABD

【分析】A.代入机=1,求/'（X）,根据指数函数和正弦函数在（Q+8）上的值域即可判断,‘（X）的

正负，由此可判断/（X）在+8）上的单调性；

B1代入加=1,求./（0）和/'（°）,根据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求切线方程：

C代入皿=一1,求/"）,令9（x）=/'（x）,求“（X）,根据。'（X）在（°，+8）上的正负判断

/‘（X）的单调性，根据/'（X）单调性可判断其在［°，内）上是否有零点；

,3乃,,3万

DU判断“（X）在一彳，一万）上的正负，由此判断/'（X）的单调性，由此可判断/'（X）在一万，

（-四

一万）上有零点，故可判断.危）在2,一幻上不单调.

［详解］①当m=1时，/（x）=e'-cosx,/'（x）=e、+sinx.

当x>0时，e，>1,一IWsinxWl,.,./'（x）>0,Mx）在（Q+8）上单调递增，故A正确;

•・・/（0）=0,.•./,（X）在（°J（°））处的切线方程为尸X,故B正确；

②当用=_］时，/（x）=e、+cosx,7'（x）=e'-sinx,

令e（x）=7'（x）,贝［jd（x）=e、-cosx,

当x>0时，ev>1,—1<COSLT<1,"（x）>0,・・・e（x）=7'（x）在（0，+8）上单调递增，

.,.当QO时，/'（x）y（°）=i,在［。，的）上无零点，：.c错误:

当•，一幻时，8殳<0,e、>0,.♦.d（x）=e、-cosx>0,

,3汽

...9（x）=7'（x）在（一万，-为单调递增，

又〔2J,而f（F）=e>0,

xu（3.

...由零点存在定理可知，存在唯一2,一幻，使得/'（/）=°,

3乃

当E,%）时，/'。。）<°,/（X）单调递减，

当xe（x0,-乃）时，/（%）>0,/（x）单调递增，

3冗

.../（X）在一万，-7）上不单调，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13.若不等式-显的解集为［“向，且b-=2,贝必=

【答案】2+贬制亚+2

【分析】设/（"）,g（x）-%（x+l）-0,则可根据两个函数的图象的位置关系求得上的值.

【详解】设丁=/。）="-》2,P（x,y）

y>0

则［），+/=4,故|尸。『=4即|尸0|=2,

结合）2。可得尸在以原点为圆心，半径为2的半圆上（如图所示），

所以的图象为如图所示的半圆，其中8（0,2）

而g(x)=Hx+D—&的图象为过'(id)的动直线，

因为不等式J4--<k(x+\)-y/2的解集为[a,b],

故/(x)的图象不在gG)图象上方的点的横坐标的集合为{Xi""》"},

若4>0,结合图象可得人=2,故”=0,故且々)的图象过B,

故此时2=k-V2即4=2+V2,

若左<0,结合图象可得此时“一"7一(一2)=1,这与bi=2矛盾，

若“=°,结合图象可得故/(X)的图象不在g(')图象上方的点的横坐标的集合为空集,

故答案为：2+0

【点睛】思路点睛：对于含参数的不等式的解的问题，可根据不等式的形式将解的问题转化为熟悉

函数图象的位置关系问题，结合动态讨论求出参数满足的要求.

~2+=I("l>b]>0)

14.已知离心率为弓的椭圆a：qb;和离心率为,的双曲线。2：

?皆=1（%>0也>0）

有公共的焦点，其中片为左焦点，尸是G与a在第一象限的公共点.线段

PR的垂直平分线经过坐标原点，则4<+•的最小值为.

9

【答案】2##4.5

【分析】设名为右焦点，半焦距为。，PF\=x,PF1=y,由题意，PKg,则

J_+J__2

/+/=犷"+二？％"-%?々，所以Q"j+(2%)一=24?,从而有,最后利用均

值不等式即可求解.

【详解】解：设名为右焦点，半焦距为c,PK=x,PF]=y,由题意，PF,lPF2t则

222

x+y=4c,x+y=2a^x—y=2a2

1J_

所以（2%）+（2aj=2-4?,即片说,

（4e：+e；G+!=5+苔+225+2^^^=9e=^=—

故I。e2Je2e,\e2q，当且仅当-2时取等，

4e；+e；》一

所以一2,

9

故答案为：2.

S〃+2-%+1=3

15.设数列,J满足4=2,%=6,%=12,数列｛%｝前八项和为S“，且，—,+1（

“wV且"22）.若团表示不超过X的最大整数，”14」，数列也｝的前〃项和为北，则

芍叱的值为.

【答案】2023

【分析】根据递推公式，可知｛%「4｝从第2项起是等差数列，可得°川-勺=2〃+2,再根据累加

'=[妇斗1[=四=2

法，可得《LNG+D,由此可得当〃N2时，L/」，又‘q，由此即可求出

与022

【详解】当"22时，S,,「S“+1

..%+2+4，m+/+1=3

｛。向-见｝从第2项起是等差数列.

乂••,q=2a2=6a3=12/.(a3-a2)-(a2-^)=2

aM+]-an=4+2(w-l)=2/7+2

当〃22时,

an--an-\)+(%-%-2)+…+(。2-％)+T

=2/14-2(/2-1)+•••+2x2+2=2x〃？1)=/?(/?+l)

(〃+l)2_〃+l

an〃(/?>2),

%=[一]="[

.■.当〃N2时，La"」L"-.

••6-0+1)2-2

•<./]——乙

又a<,

20232

,•,T12022+…+—=2+2021=2023

,。2022_

故答案为：2023

16.已知函数兀0=欠3+312_6以+6在尸2处取得极值9,贝ija+2A.

【答案】-24

【分析】根据/0)=°和八2)=9列式可解得结果.

【详解】/。)=3收+6片6。，

因为负x)在x=2处取得极值9,

J/X2)=0J12a+12-6Q=0[a=-2

所以伍2)=9,即卜+12—12a+b=9,解得上T

所以a+2b=—2—22=—24,

故答案为：-24

四、解答题

17.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形"8CO的长为2,宽为1,AB,边分别在x轴、

P轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A点落在线段℃上，设此点为力.

(1)若折痕的斜率为-1,求折痕所在的直线的方程；

(2)若折痕所在直线的斜率为人,(人为常数)，试用左表示点/的坐标，并求折痕所在的直线的方

程；

(3)当-2+"(k<0时，求折痕长的最大值.

D----------1

I

■fflao-------

［答案］（1），=-x+l；（2）'-N万+耳；（3）2（V6-V2）

【详解】试题分析：（1）若折痕的斜率为-1时;由于A点落在线段0C上，可得折痕必过点

1

y=一

即可得出：（2）当左=°时，此时A点与。点重合，折痕所在的直线方程2,当

左时，将矩形折叠后A点落在线段℃上的点记为GO，1），可知A与G关于折痕所在的直线对

称，有限・卜=-1,故G点坐标为G（-%，1）,从而折痕所在的直线与°G的交点坐标即线段°G的

中点为"，即可得出；（3）当左=°时，折痕为2,当-2+Qsk<°时，折痕所在直线交8c于点

J.〜k21）A2+l）

E\2,2k+-+-F0,

12s,交了轴于i2A利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得

出.

试题解析：（1）•.♦折痕的斜率为-1时，A点落在线段OC上

二折痕必过点0（°」）

・•.直线方程为y=-x+i

1

y——

（2）①当上=°时，此时A点与。点重合，折痕所在的直线方程.2.

②当心°时，将矩形折叠后A点落在线段比上的点记为G0』），（0<八2）

则A与G关于折痕所在的直线对称，有勺G.%=T,即“=-k.

・•.G点坐标为G（F1），（-24X。）

从而折痕所在的直线与°G的交点坐标即线段°G的中点为I22人折痕所在的直线方程

1Vkyk21、

，一5=个+或/=依+万+5（z_2"<O）.

2

b1

y=kx\-----F—（-2<Z:<0）

综上所述，由①②得折痕所在的直线方程为：.22、7.

（3）当斤=°时，折痕长为2.

r-E2,2k-\H—F\0,-------

当-2+j34%<0时，折痕所在直线交8c于点I22人交y轴于12）.

.21(J2<\

^=|£F|2=22+--2k+^2+l\=4+4左244+4。一46)=32-16g

L」，

叱心i/1Vlet..732-1673=278-2712=2(76-V2)>2

.,.折痕长的最大值为').

・••综上所述，折痕长度的最大值为2心一&)

点睛：本题考查了关于折叠问题转化为轴对称问题，考查了直线的方程、中点坐标公式、相互垂直

的直线斜率之间的关系、两点之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，

属于难题

18.滴水湖又名芦潮湖，呈圆形，是上海浦东新区南汇新城的中心湖泊，半径约为&千米.一“直

角型''公路4-8-C(即N818C)关于对称且与滴水湖圆0相切，如图建立平面直角坐标系.

(1)求直线8c的方程；

(2)现欲在湖边和“直角型”公路4-8-C围成的封闭区域内修建圆形旅游集散中心，如何设计才能使得

旅游集散中心面积最大？求出此时圆心Q到湖中心。的距离.

［答案］(1)^=一工+2

(2)设计见解析，此时圆心Q到湖中心O的距离G向4K

【分析】(1)根据图象设直线方程，根据直线与圆相切求解参数：

(2)计算圆Q与湖相切，与直角公路相切时的长度即可.

【详解】(1)由题可得直线8c的倾斜角135。，设直线8c的方程V=-x+8力与圆相切,

4=&,6=2

亚

所以直线8c的方程V=-x+2

（2）若要使旅游集散中心面积最大，则应设计为圆&与湖相切，且与直角公路相切,

设此时1。。1=＜。＜2,则圆。i半径"-"忸q|=2-a,

a—y/2=-^-（2-a）厂

由NC8O=45”可得2'’，解得。=4&-4,

所以此时圆心到湖中心O的距离为G及一9km.

19.已知抛物线E的顶点在原点，焦点为尸（2，°）,过焦点且斜率为人的直线交抛物线于尸，2两点,

（1）求抛物线方程；

⑵若阀=2性|,求人的值；

（3）过点76°）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于4凤C,。四点，且“，N分别为线段

"8,8的中点，求△丽的面积最小值.

【答案】（1）V=8x

（2）±20

⑶16

【分析】（1）根据焦点坐标可直接得到抛物线方程；

（2）由归刊=2|尸。|可得力,设0°”一7）+2,与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，由

5+及）2=J及+2=一

M%%%/可构造方程求得J

（3）设"8：x="9+f,m-，与抛物线方程联立，结合韦达定理可得中点M，N坐标,

进而表示出皿网，由工2复研叫利用基本不等式可求得最小直

【详解】（1）.•・抛物线£的顶点在原点，焦点为“（2，°）,••.抛物线方程为：）'2=8x；

⑵由题意知：心0,可设直线。（占*）,OH，%）,

A_

:附=2|尸0|,乂=-2为，即力=2，

1r8

x=-y+2必+%二

,k8

v2_oy2y_]6=0

由j一取得：kNM=T6

.（必+%）24+2乂％+只=M।%।2=4」

必力乂乃必Mk?,即一庐

解得：k2=8,：.k=±2y/2.

(3)由题意知：直线“民CD的斜率均存在,

不妨设"8：x="沙+，，4&凹）,。（七，%），“小，%），

CD:x=---y+t

则加；

[x=my-¥t

由[y，=8x得：y2-Smy-St=0,则A=64〃尸+32/〉0,gp2m2+r>0.

...y}+y2=8my1y2=-8/x]+x2=〃?（y+y2）+2t=8〃/+2t

(当且仅当

，，&-,

",即，”=±1时取等号),

，A7A，N面积的最小值为16.

20.在①邑=6,55=15；②公差为1,且生，%，6成等比数列；③6=1,%+%+%+&=16,

三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.

问题：己知等差数列｛“"｝的前〃项和为s”，且满足

(1)求数列"J的通项公式；

⑵令C,=[lg"J其中㈤表示不超过X的最大整数，求0+。2+…+，2。22.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1严=〃

(2)4959

J3q+3d=6

【分析】(1)选①，设等差数列｛“"｝中，公差为“，进而得上外+崎^二匕，解方程得4="=[,再

求通项公式即可；

选②，由题知=进而解得丹=1,再求通项公式即可；

选③，由题知4％+12”=16,即4+121=16,解得d=1,再求通项公式即可；

(2)由题知J叩再结合9=®]=。，R)=[lglO]=l,0Mgi00]=2,

qooo=Rgi°°°]=3求解即可

【详解】(1)解：选①

设等差数列血｝中，公差为/因为$3=6,£=15,

所以15%+10d=15,解得q="=1,

所以为=%+(〃-1)”=〃，

选②

因为等差数列｛""｝中，公差为1,且出，4，仆成等比数列，

所以。2a8=3,即(q+1)(4+7)=(%+3)；解得q=l

所以%=q+(〃T)d=“

选③

因为等差数列｛""｝中，％=1,+%+6+&=16,

所以4q+12d=16,即4+12"=16,解得1=1

所以《，=q+(〃-1)”=〃

(2)解:由⑴知c"=[lga“Hlg〃],

因为C1=[lgl]=°,%=[lgio]=l,qoo=[lgl00]=2,clow=[lglOOO]=3>

所以当1WW9时，%=0,

当10«〃W99时，。〃=1,

当100。(999时，c〃2

当1000<n<2022时，=3,

所以9+G+…+C2022=0+90x1+900x2+（2022-999）x3=4959

21,设函数/6）=/+（0-2）x_°lnx（aeR）

（1）若〃=1,求/（*）的极值：

（2）讨论函数/（'）的单调性：

123n।

合+铲+不+■••+而y<m(〃+i)

(3)若〃eN*,证明:

【答案】（1）0,无极大值；（2）详见解析；（3）详见解析.

f、（、=?-1=（2x+l）（x-l）

【解析】⑴由。=1得到”、一一=X,然后分别令/再根

据极值的定义求解.

(2x+a)(x-1)aa

f'(x)=2x--+(tz-2)=(/x>0八)、八0n<—<1i—=1s—>1A

(2)由、/x、)x'),分20,2,2,2,由

/(x)<0求解.

⑶根据（1）知/（x）=』-x-/"x在（0,1）上为减函数，得到x2-x-/〃x>/（l）=0,即x2-x>/〃x,

然后令”-〃+1,得到"+1（"+1y，再利用不等式的性质求解.

【详解】（1）/G）的定义域为（°'+“）,

a)=21」=妇31

当"1时,XX

若/则X>1,

若/'(x)<0,则0<》<1

'/（x）在（0,1）上单调递减，在（1，+8）上单调递增.

•・/。）极小值=/（1）=0,没有极大值.

⑵/'（x）=2x-^+（a-2）=>0）

r当时，若/'（x）>0,则x>l,

若/'（x）<。，则0<x<l,

/（x）在（°/）上单调递减，在（1，+°°）上单调递增,

0<—<1

20当2,即-2<〃<0时，

na

若/'（x）>0,则<、<一5或x>l,

若尸（x）<。，则一>“

f£］）a

'«、）在12,J上单调递减，在9一5）,0，+8）上单调递增

3。当2-,即°=-2时，/'（X）*°恒成立，

'/（x）在（°，+00）上单调递增.

_£>1

4°当2,即“<-2时，

若/则0<x<l或"一5；

若小）<。,则KM

'在2上单调递减，在'八2上单调递增

综上所述：「当。<-2时，/（'）在。'-5）上单调递减，在（0'"-5'+⑹上单调递墙

2。当4=-2时，/、%）在（0，+8）上单调递增；

3。当-2<"0时，"x）在l2J上单调递减，在I21上单调递增

4。当。20时，"x）在（0,1）上单调递减，在（1，廿°）上单调递增；

（3）由⑴知/（x）=--x-/"x在（°』）上为减函数，

•*-X£(0,1)时.x2-X-Inx>/(1)=0

/.x2-x>Inx

2

x=_2?_X-X=--^4

令〃+l,得(〃+l)

n.n.n+\

>tn-----=-In------

■■(—)2〃+1n

.n+\n

In----->--------

即"(〃+l)-7

.n4-1n

13243In----->

n("+1)2,

将以上各式左右两边相加得:

In2