2022-2023学年高二数学题型归纳与分阶培优练09椭圆离心率题型归类（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

专题9椭圆离心率题型归类

目录

【题型一】离心率基础...........................................................................1

【题型二】利用椭圆第一定义求离心率............................................................3

【题型三】焦点三角形与余弦定理................................................................5

【题型四】顶角直角三角形型....................................................................7

【题型五】焦半径与第二定义....................................................................10

【题型六】第三定义与中点弦....................................................................12

【题型七】焦点三角形：双底角型...............................................................14

【题型八】焦点三角形：双余弦定理型...........................................................16

【题型九】焦点弦与定比分点....................................................................19

【题型十】焦点圆..............................................................................22

【题型十一】椭圆与圆..........................................................................24

培优第一阶——基础过关练......................................................................27

培优第二阶——能力提升练......................................................................31

培优第三阶——培优拔尖练......................................................................36

综述：

1.椭圆离心率求解方法主要有：

①求出a,c,代入公式e=（；

②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合〃=/一/转化为小。的齐次式,

然后等式（不等式）两边分别除以a或〃转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可

得e（e的取值范围）.

③特殊情况下的不等方程，甚至可以直接设a=l,分别解出c或b的值，c值就是离心率

2.椭圆扁平程度：因为所以e越大，椭圆越扁；e越

小，椭圆越圆

【题型一】离心率基础

【典例分析】

22I

如果椭圆」r一+乙v=1伙>一8）的离心率为0=：,则欠=（）

Z+892

544

A.4B.4或—C.—D.4或—

455

[答案]B

【彳析】分焦点在x轴和在y轴两种情况，分别得到〃力的表达式，进而求得。的表达式,

然后根据离心率得到关于2的方程，求解即可.

【详解】解：因为椭圆上一+二=1伏>-8）的离心率为e=

攵+892

当4+8>9时，椭圆焦点在x轴上，可得：

a=yJk+S,b=3,c=a2—b2=—:.e=,=—,解得&=4,

y/k+82

当0<&+8<9时，椭圆焦点在>轴上，可得：

a=3,h=y/k+8,:.c=y/a2—h2=Jl-e=—="=—>解得k——■-.

a324

Z=4或&=-*.故选：B.

【提分秘籍】

基本规律

椭圆离心率:

2.椭圆扁平程度：因为0=台霏7=匚\11一你,所以e越大，椭圆越扁;

越小，椭圆越圆

【变式训练】

1.已知椭圆会+上=1（山>0）的离心率6=半，则/的值为.

【答案】g或3

【分析】分别对焦点在x轴和y轴讨论，结合离心率求解，“即可.

【详解】已知椭圆方程为片+二=1（机>0且相片5）.当焦点在X轴上，即0<%<5时，有

5m

a=y[^,b=Gt,

则c=^/5二/依题意得涔值=巫，解得胆=3.当焦点在y轴上，即机>5时，有

V55

a=y[m,b=>/5

则c=。仔，依题意有差5=典解得〃?=?,即〃?的值为3或个.

\Jm53J

故答案为：3或g

22

2.方程」一+二一=1表示的曲线是椭圆，则离心率的取值范围是.

m-3ni-4

【答案】（0,1）；

【分析】根据椭圆的标准方程求解.

f/rz-4>0

【详解】由题意《、八且加—3wm—4,解得加>4,所以m-3>m-4,故焦点在x轴上。

［m-3>0

"/=m-3,/?2=m-4

222

c=a—b=1,e=s—y=/1e（0,1）

Va2Jm-3

故答案为：（o,D.

22

3.在平面直角坐标系中，若椭圆E：事+与=15>6>0）的两个焦点和短轴的两个端点恰

ab，

为正方形的四个顶点，则椭圆月的离心率是.

【答案】@

2

【分析】由题易得6=。，再利用〃计算即可.

【详解】由己知，h=c,所以。=后万=J5c，故离心率为e=£=也.

a2

故答案为：］亘.

2

【题型二】利用椭圆第一定义求离心率

【典例分析】

已知耳，鸟分别是椭圆J+/=l（a>6>0）的左、右焦点，尸为椭圆上一点，且尸百,夕入，

若|尸用=石归周，则椭圆的离心率为（）

A.瓜-GB.2-百C.V3-1D.2

2

［答案］C

【3析】利用椭圆定义和勾股定理可构造齐次方程求得离心率.

【详解】设|P闾=加，则忸制=鬲，由椭圆定义知：（6+1）加=2〃；

Pf；_LP6，.•.附「+|尸玛『=懈周2，即4/=4，，•・•〃z=c,

.•.（百+l）c=2a,.•.椭圆的离心率e=；=^^=6_1.故选：C.

【提分秘籍】

基本规律

1.椭圆第一定义：\PFl\+\PF2\=2a

2.一般情况下，见到与一个焦点有关的长度，则利用第一定义转化为与另一个焦点的距离。

|P4|=2a-|尸名|

【变式训练】

r22

1.已知椭圆C:=+二v=1（。＞。＞0）的左、右焦点分别为耳，居，P为椭圆C上一点，且

a-b-

7T

NFFK=',若耳关于/耳尸6平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为

【答案】立【详解】

因为耳关于ZF}PF2的对称点Q在椭圆。上，则

3

PF]=PQ,/6/＞。=60,；.八£尸。为正三角形，.・.片。=[「，又

---F]Q+F2Q=FiP+F2P^2a,:.FQ=F?P，

所以PQLx轴，设尸乙=/,则P4=2/，6E=Gf，即

2c-\[3t2cc四百,故答案为立.

—=e=----=—

2cl—3t2。a3t33

2..已知椭圆C的左、右焦点分别为耳，勺直线AB过"与该椭圆交于A,B两点，当工”

为正三角形时，该椭圆的离心率为（）

A.昱B.JLC.旦D.克

4332

【答案】B

【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆离心率公式进行求解即可.

【详解】设正三角形鸟48的边长为俄，

22

设椭圆的标准方程为：0+与=1(。>匕>0),设左、右焦点分别为片(-c,0),8(c,0),

a.b

设3耳=x，则有人耳=m-x,由椭圆的定义可知:BFX+BF2=2a=>x+m=2a,

42

AFX4-AF2=2a^=>m-x-\-m=2a,解得：m=—a9x=-a,

在。耳耳8中，由余弦定理可知：=BF^+BF^-2BFt-BF2cos^,

.242162c2a4。12r2C、+n

4c~=一—cr—2-----------ci=3c2=>e=—=—故选：B

99332a3

2

3.已知椭圆C：二+yi（4＞b＞0）的左、右焦点分别为B,尸2,点P为C上一点，若

aF

线段p片的中点在y轴上，且NP4K=30",则椭圆C的离心率为（）

【答案】D

【分析】由线段尸片的中点在y轴上，得p玛，x轴，由通径长得卢用|,由直角三角形得忸制,

然后由椭圆定义得”,瓦关系，转化可得离心率.

【详解】由已知可得尸轴，归段=）,又乙%鸟=30知则归用=2归用=当,

22=走■.故选:

2a-1PFt|+1PF21=3b=2a,e=£=D.

aava3

【题型三】焦点三角形与余弦定理

【典例分析】

x2y2

已知尸是椭圆=1（a>b>0）的一个焦点,若直线、=丘与椭圆相交于A,8两点，且

靛+5

ZAFB=6a°,则椭圆离心率的取值范围是（）

A.（争）B.（0,—）C.（0,1）D.（pl）

【答案】A

【分析】将A,B与椭圆的左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到一个平行四边形，利

用椭圆的定义和余弦定理，结合重要不等式可得离心率的范围.

【详解】如图设耳F分别为椭圆的左、右焦点，设直线y=H与椭圆相交于A,B,连接

AFt,AF,BFt,BF.

根据椭圆的对称性可得：四边形尸为平行四边形.

由椭圆的定义有：|州|+|AF|=2a,忻耳|=2c,N£AF=120。

由余弦定理有：忻6-=w片『+卜同2—2|Af；HAF|cosl20。

即府=（|"|+四『_]/.网却/+明）2一F”网）

所以4c2训A用+1-=4a2-a2=3/

【提分秘籍】

基本规律

焦点三角形

（1）焦点三角形面积：

椭圆：=b?tan刍空■

2.顶角

椭圆顶角在短轴顶点处最大。

3.与正余弦定理结合

设椭圆二+与=1（a>0,b>0）的两个焦点为B、F"P（异于长轴端点）为椭圆上任意

ab~

一点，在△PBF2中，记4F\PF?=a,ZPF,F2=/3,ZF}F2P=y,则有

sinac

-----------=—=e.

siny+sin[3a

【变式训练】

22

1.已知厂是椭圆E：夕+/=l（a>/?>0）的左焦点，经过原点。的直线/与椭圆E交于P,

。两点，^\PF\=3\QF\,且NPFQ=120。，则椭圆E的离心率为（）

A.直-B.|C.在D.在

4242

【答案】A

【分析】根据题意设椭圆的右焦点，根据正弦定理即可求得。和c的关系，即可求得椭圆的

离心率.

【详解】解：设椭圆的右焦点F',连接PF,QF,根据椭圆对称性可知四边形为

平行四边形，

则|QF|=|P产1,且由NPFQ=120。,可得NFPB=60。,

1q

^\PF\+\PF'\=4\PF'\=2a,则|PF[=/a,|PF|=1a

由余弦定理可得

（2C）2=|PF|2+|PF|2-2|PF||PF|COS60°=（|PF|+|PF|）2-3|PF||PF,|,即

椭圆的离心率

22

2.已知椭圆[+2=1（。>。>0）的左、右焦点分别为"，尸2,若椭圆上存在一点尸使得

ab

2

^FxPF2=-n,则该椭圆离心率的取值范围是.

【答案】[^,1）

【分析】根据椭圆定义，结合余弦定理得到尸=4加，再由基本不等式得到4从4后,

转化为关于离心率的不等式，求出取值范围.

【详解】由椭圆的定义可知：PFt+PF2=2a,

在4P6鸟中，由余弦定理得:

S'/日『尸一片尸+吊尸一片用一（月尸+用尸丫―2片尸熊P一耳仅一伤2—2耳尸•鸟1

LOoZ-ziZ2-）-----------------------------------------------------------------,

2F、P•F[P2F、P-F2P2F}PF2P2

所以《小乙尸=4〃，又6P.lP4（」P+.P）=/,即4加442,当且仅当《尸=鸟尸时等

号成立，

故4/—4°24a2,所以3/44c2,e2＞^,解得：e]*」）.故答案为：[#,1）

3.已知椭圆方程为，■+（=1（4＞。＞0）,左、右焦点分别为耳、F”P为椭圆上的动点，

若"PF?的最大值为夸,则椭圆的离心率为.

【答案】B

2_____

【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理可求得萼，再利用公式e=、15可求得该椭圆的

a'Va2

离心率的值.

【详解】由椭圆的定义可得归耳|+|%|=2%

卅用2+附|2-|即f（/|+|明『-田曰-2|明.|明

由余弦定理可得cos/耳PF

221P用疗用21M.i

2222

---4--a----4--c---I,、--------4-b-2--------,I-，-4b-,I-,lb-,I

一2四H也|-2*（邑赳空1J-2al-标.

因为/百?鸟的最大值为多，则若一i=cos^=—L,可得与=_1,

3/32____a24

因此，该椭圆的离心率为e=3=JR-?=J1一。=.

2

【题型四】顶角直角三角形型

【典例分析】

2

y2

已知椭圆二+=l(tz>/?>0)_h一点A它关于原点的对称点为4,点尸为椭圆右焦点,

aF

且满足W班设=且ae则该椭圆的离心率。的取值范围是)

A.怪砌B.冬孚C

【答案】B

【分析】设椭圆得左焦点为F',连接尸，则四边形4方产为矩形，从而有

\AE\=\FF'\=2c,由NABP=a,可得|所|=|阴sina,|M|=|阴cosa,再根据椭圆的定义

计算即可得解.

【详解】解：如图所示，设椭圆得左焦点为尸'，连接AF'IF',

则四边形AFBP为矩形，则|的=网=2c,网=网,所以忸尸|+忸尸[=忸尸|+|AF|=2a,

在RtABF^,由得|AFj=|ABkina=2csinajBF|=|AB|cosa=2ccosa,

c_1_1「、

所以265皿0+2℃0§0=24,所以〃sina+cosaJ7sin[a+工)，因为fl'W所以

所以&sin(a+m)£坐',0,所以e=£e.故选：B.

I4J2a23

【提分秘籍】

基本规律

焦点三角形定角为直角：

1.点P是椭圆上一动点.B是短轴端点，则有：动点角范围：0WNF1PF2WNF1BF2；

2.利用椭圆的定义和勾股定理

【变式训练】

22

1.设椭圆C:=+3=l（">人>0）的右焦点为F,椭圆C上的两点A,B关于原点对你，且满

ab-

足E4-F8=0，|fB|<|FA|<^|FB|,则椭圆C的离心率的取值范围为（）

【答案】B

【分析】设椭圆的左焦点尸’，由已知条件知四边形A月才''为矩形，利用椭圆的定义和勾股

定理化简得到'+巴=与，再根据网引啊4用FB|,得到竺的范围，然后利用对勾函数

nmb〃

的值域得到耳•的范围，然后由e1-探求解.

a

【详解】如图所示:

由椭圆的对称性可知，四边形

AF39为平行四边形，

乂E47B=0，即E4_LFB,所以四边形A必尸为矩形，.,.|明=忻产'|=2。，

设|AF［=〃，］从目=机，在直角乙459中，机+〃=2々，tn2+n2=4c2,得加=2从，所以

tnn2c2人〃2.4日12c之

—+—=—5-，令一=乙得1+-=^-，

nmb~ntb

)^\FB\<\FA\<\/3\FB\,得g=/w[1,G],所以，+；=*■w2,^^-,所以p-G

即2,2

-4,所以》?4-2^所以椭圆c的离心率的取值范围为

a-

e=—e»\/3-1,故选：B

a

22

2.设椭圆二+与=1(0)的左、右焦点分别为《、死，P是椭圆上一点，|尸耳卜川沙|,

a"b~

IJT

(-<A<2),NKPE=5,则椭圆离心率的取值范围为()

D.华)

A.B.C.

【答案】B

224-1

【解析】设耳(-GO),巴(c,0),运用椭圆的定义和勾股定理,求得e?令根=4+1,

U+1)

可得4=%-］，即有薪=2(5-少2+：,运用二次函数的最值的求法、解不等式可得所求

范围.

【详解】解：设耳(-c,0),K(c,O),由椭圆的定义可得，1尸耳1+1尸耳l=2a,可设|尸石|=匕

可得|刊"=力，

即有Ci+l)f=2n,①由可得|PM+|P8『=4C2,即为(万+记=4C。②

22+1

由②十①2,可得02=^^,令加=4+1,可得4=加一1,即有

(义+1)

Z2+l机2-2机+2111

——=2(力)-+5，

由为儿2,可得1碗3,即《犯I，则当机=2时，取得最小值;；当机=：或3时,

223w322

取得最大值，，

即有:演帖解得：暗取电且,所以椭圆离心率的取值范围为［孝，当］.故选：B.

22

3.设椭圆C:=+与=1（“>10）的两焦点为耳，鸟.若椭圆C上有一点P满足〃柱=90°,

ab

则椭圆C的离心率的最小值为（）

A.—B.昱C.-D.如

2333

【答案】A

【分析】由椭圆的几何性质求解

【详解】由椭圆的几何性质知当点尸在短轴顶点时.，NF,PF]最大,设短轴顶点为B,则

NF；B月*90。，W->sin45°=^,

a2

故选：A

【题型五】焦半径与第二定义

【典例分析】

22

已知椭圆C：0+《=1（4>方>0）的左，右焦点耳，鸟，过原点的直线/与椭圆C相交于M,

ab-

N两点.其中M在第一象限.|MN|=忻用，耦2等，则椭圆C的离心率的取值范围为（）

A.（0,^1]B.（0,76-2]

c.D.（乎,6-1]

【答案】D

【分析】由题设易知四边形”隼鸣为矩形，可得|gF-2alM舄|+2^=0,结合已知条件

有卜>|华但”-1）4即可求椭圆0的离心率的取值范围.

【详解】由桶圆的对称性知：|N£|二|"|,而|g|+|"GI=2a,

乂|MN|=|耳闾，即四边形与为矩形，

所以|ME『+|M"F=4C2,则21M-4a|Mg|+4/=4,2且M在第一象限，整理得

222

\MF2^-2a\MF2\+2b=0,A=a-2b>0

所以|M6|=a-，/一抄2,乂摺=耨=^^之当即adMAlNl百—1）。，

2用IM/^I2a-\MF2\3-

22

心।\\MF.\=a-yicr-lb>（y/3-l）aMrazo1,cr--亚r

综上，，整理得—</==W4-2>/i,所以——

a2>2a2-2c22a~2

故选：D.

【提分秘籍】

基本规律

点P是椭圆上一动点，则有:

1.焦半径范围：a—cW|PFlWa+c（长轴顶点到焦点最近和最远，即远、近地点）;

2Poi范围：bW|P0|Wa（长、短轴顶点到原点最远、最近;

3.椭圆焦半径：忸尸|=用士a

【变式训练】

222

1.设6,鸟分别为椭圆二+5=1（。＞匕＞0）的左、右焦点，若在直线x=-2（c为半焦距）

a~b~c

上存在点P,使|尸用的长度恰好为椭圆的焦距，则椭圆离心率的取值范围为（）

【答案】B

【分析】根据题意得到|岬隹2c,得到C_a42c,求得正，进而求得椭圆离心率的

ca3

范围.

【详解】如图所示，椭圆三+2=1,可得焦距w间=2c,

ab

2

因为在直线x=-土上存在点P,使|p制的长度恰好为椭圆的焦距，

C

可得4区2c,即且-c42c,可得a243c2,即解得£之@

ca~3a3

是底角为30。的等腰三角形，则E的离心率为（）

A.-B.在C.-D.；

4242

【答案】C

【分析】由AF2PB是底角为30。的等腰三角形，把|尸鸟|=|耳闻用表示出来后可求得离心

率.

【详解】由题意可得|尸闾=|耳闾，6（。,0）,|「用=2|E用=2§叱c）,如图，

3

/3玛=/月?耳=30。，则/尸工七=60。，/工尸£=30。所以2（］Q—C）=2C,，3a=4c,

3

e=：.故选：C.

4

【题型六】第三定义与中点弦

【典例分析】

若椭圆侬2+期2=1（m>0,〃>0）与直线丫=1-%交于人，8两点，过原点与线段AB中点的

连线的斜率为3,则椭圆的离心率为（）

A.|B.—C.BD.—

2222

【答案】B

【分析】把'=1-》代入椭圆/?+犯2=1得蛆2+〃。一力2=1,由根与系数的关系可以推出

线段A8中点坐标为再由原点与线段A3中点的连线的斜率为：，能够算出

\m+ntn-k-nj2

，进而利用离心率的计算公式求出即可.

n2

【详解】解：把y=i-x代入用用圆如2+〃y2=］得/加2+41—x）~=1,

整理得（机+〃）/-2/1X4-71-1=0.设B（苍,%），则,y+y=2

m+nt2nz+〃

，线段4?中点坐标为］,

——，，原点与线段AB中点的连线的斜率

\m-\-nm+nJ

m

k^rn±n-=-=-

nn2

m+n

•>）

x-x

由椭圆1・1一，可知。？=•b2=~,则。2=。2-〃=1-［则椭圆的离心率

mnmn

tnn

，书=浒=旧］/2

Im

故选:B.

【提分秘籍】

基本规律

第三定义，又叫中点弦定理

2,

—+7V-1

1.AB是椭圆a~b-的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则

k（）M，kAB=-4=『-1.

a

丫2

土+2_=1

2.AB是椭圆/方的关于原点对称的两点，P椭圆上异于A、B的任一点，若斜率

存在，则kpA,kpB=----

a

【变式训练】

丫22

1.•已知椭圆C东+%=l（a>b>0）上关于原点对称的两点为A,8,点M为椭圆C上异于A,

B的一点，直线AM和直线8M的斜率之积为-!，则椭圆C的离心率为（）

A.-B.yC.BD.巫

4224

【答案】C

11.2

【分析】设”（/,九）,代入椭圆的方程，表示出W，由原的•原即可得冬，据此即

4a~

可求出离心率.

【详解】由已知可设A（-a,0）,8（a,0）.

设"（/，几），由题设可得，与■+/=1,所以£=4（/-引.

因为女,k=』____%l£_/（〃一跖），也［

AMBM222

~xa+ax0-a~x^-a~x1-a-a~4

所以《△，则/=q=《^=1-1=3,所以e=3.

a14a2a2a242

故选：C.

2.已知直线x+y-l=O与椭圆C：b2x2+a2y2^a2b2（。>匕>0）相交于A,B两点，且线

段A5的中点M在直线/：x-2y=0上，则椭圆C的离心率为（）

A.—B.@C.0D.；

222

［答案］A

【3析】将宜线》+»-1=0代入椭圆方程整理得关于彳的方程，运用韦达定理，求出中点坐

标，再由条件得到储=劝2,再由。，b,c的关系和离心率公式，即可求出离心率.

【详解】解：将宜线x+y—1=0代入椭圆方程得，

b2x2+a2（l-x）2=a2h2,即（b2+a2）x2-2a2x+a2-a2h2=0,

设A（X，y）,B（x,,%），则X+、2=「2，

-a~+b2

2.2

即A3中点的横坐标是「J,纵坐标是二J,

cr+tra~+h

由于线段A3的中点在直线/：x-2y=0上，则/=劝2,又从=/—。2,

则片=2/,。=叵,即椭圆的离心率为也.

a22

故选：A

3.若A,8分别是椭圆E:/+f=1,短轴上的两个顶点，点尸是椭圆上异于A,B

m

4

的任意一点，若直线AP与BP的斜率之积为-上，则椭圆的离心率为.

m

【答案】也

2

4

【分析】点P(X。，")，利用直线AP与直线BP的斜率之积为结合点P在椭圆

m

£炉+汇=1上，求出用利用离心率公式即得解.

m

【详解】设直线AP、8P的方程为丁=心.(x—1),y=k“(x+l),点尸(xo,加)，北"=七，

则怎"=缶=-：①,

22

又点P在椭圆E:x?+L=l上，/2-1=-迎②,

mm

'：m>\,即离心率6=£=—二=也

由①②得，m2=4,

ay/22

故答案为：去

【题型七】焦点三角形：双底角型

【典例分析】设P为椭圆上一点，且4＞丹心=30。,/尸鸟耳=45。，其中几K为椭圆的两个

焦点，则椭圆的离心率e的值等于()

A(2+万(1+石)B（2-夜）（1+拘

-2,,2

C(2+&)(6-1)D（2-0）（百-1）

-T~,2

【答案】B

【分析】设|尸制=见归周=〃，利用正弦定理，求得与c的关系,进而求得椭圆的离心

率，得到答案.

【详解】设|P£|=闻尸闾=〃，忻段=2%

n_2c

在△叼2中，由正弦定理得砧

sin30sin105

―,口m+n2c

可\、于=,

sin45+sin30sin105

又由|户制+归闾=机+〃=20所以.4、?.m=广仁

sin45+sin30sin105

3x变+k变

所以e——sgsin（60+45）2222

asin45+sin30sin45+sin30y/21

-----H—

22

G6（2-&）（I+G）

.故选：B.

2（>/2+l）-2

【提分秘籍】

基本规律

设椭圆=1(a>0,b>0)的两个焦点为R、F,P(异于长轴端点)为椭圆上任意

/十32

一点，在△PF1F2中，记ZFiPF2=a,ZPF1F2=/3,/F]F?P=y,则有

sinac

-------=—=e

sin/+sin/?a

【变式训练】

1.设椭圆5+，=1(“>"0)的左、右焦点分别为耳、K，且昭I=2c,若椭圆上存在点

M使得在△"月心中，包工竺三=包卫竺近，则该椭圆离心率的取值范围为.

ac

【答案】V2-1<e<\

【分析】设NM耳片=a,/照耳=夕，|峥卜机，|"闾="，根据题意由正弦定理化简可

得”=等，再根据a-c<|g|<a+c列式，结合离心率公式求解即可.

【详解】设^MF2F^/3,\MFt\=m,\MF2\=n.

十*m〃ZMF^F.cm2a-n

在中，由i正弦定理有二二二--，且□-s-in-Z--M-E」R■=-s-i-n-----」，贝|」—=一=-----,

sin/ysinaacann

解得〃=2a.由于a—c<|M居|<a+c,即(a+c)(a-c)v2a2<(tz+c)2.

a+c

又a?-/v2/恒成立，则右及〃<〃+(:，得0—lve<l.

故答案为：>/2-1<e<]

2.已知椭圆E的两个焦点分别为冗,K，点尸为椭圆上一点，且tanPFtF2=1,tanPF2FX=-3,

则椭圆E的离心率为

【答案】眄

4

6c.2c

【分析】由题意得到tan/T^tan尸鸟耳=-1,即尸耳，尸鸟，进而求得归用=)区,归周=y

V1VA/1。

结合|P£|+|P闾=2%得到矗=2%即可求得椭圆的离心率.

【详解】因为tanP耳心=g,tan?心耳=-3,则tan尸片心tanP心耳=-1,所以尸耳，尸鸟,

31

且cos尸耳居=7jw，sin尸耳工=旃，所以

|尸周=恒用cosN尸耳/=篇,|尸闾=|耳闻sinNP">盍,

又由|P制+|P段=2a,即胎+击=2%即靠=2"，所以e=2=乎.故答案为：乎

-）2

3.设P为椭圆二+《=1（。＞8＞。）上一点，两焦点分别为K，尸2,如果NP6月=75。，

ab~

/尸工耳=15。，则椭圆的离心率为（）

A瓜R6「瓜pj百

（----D.----V-•----U•--

3322

【答案】A

归用+归国

【分析】利用正弦定理可求的值，此值即为椭圆的离心率的倒数，故可求椭圆

的离心率.

【详解】设椭圆的半焦距为c,则归国=2c.

明归国/打

在APKK中，由正弦定理有I

sin/P/^f；-sin/尸耳乙—sin/^Pg

所以凶_此__也心I呐+1叫怩小

'sin15°sin75°sin90°sin15°+sin75°sin90°

整理得到呷晔1=sink+sin75。=四$&+45。）=逅,

内国sin900''2

故网=避即e=^.故选:A.

2c23

【题型八】焦点三角形：双余弦定理型

【典例分析】

己知椭圆C的焦点为%K，过的的直线与C交于A,B两点，若|A段=|耳目=三8用，

则C的离心率为（）

A.—B.立C.；D.-

2323

【答案】C

【解析】由题意可表示出做、8巴、B片,在在AA耳耳和AB耳玛中利用余弦定理，再根据

cosNAE^+cosNAf；g=0,得到方程，解得.

【详解】解：M闾=闺用=］忸制=2c；.Af；=2a-2c,Bf；=|c,BF2=2a^c

在根斗鸟和ABKK中利用余弦定理可得

2

AF^=AF-+FlF7-2AFt-FXF2cosZAFtF2oBF^=BF^+FXF^-2BFt■^F2cosZBFtF2

222

BP（2c）=（2a-2c）+（2c）-2（2a-2c）•2c♦cosZAF}F2

2

=（4C）+（2C）-2-C-2C-COSZAF}F2

.COSZ^F2+COS^^