2022-2023学年四川省仁寿校南校区高一年级上册学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年四川省仁寿校南校区高一上学期期末考试数学试题

一、单选题

1.sin240的值是（）

A.；B.--C.BD,-西

2222

【答案】D

【分析】根据诱导公式sin（7t+a）=-sina即可求得结果.

【详解】由题意可知,sin240=sin（180+60）,

利用诱导公式sin（7t+a尸-sina可得sin（180+60）=-sin60=一与

即sin240=

2

故选：D

2.已知集合知={乂、=幺产土45,%€2},尸={闻》=勺詈±90,%€2卜.则集合用，P之间的关

系为（）

A.M=PB.MPC.PMD.McP=0

【答案】B

【分析】化简集合，根据集合的关系即得.

【详解】因为=-±45，/ez1=k」x=（2&±1）-45«wZ},

尸二卜口J：。±90,keZ卜{x|x=（k±2>45/eZ},

所以MP.

故选：B.

3.设角6>的终边经过点「（［，-：），那么2sin夕+cos6等于（）

22

A.—B.—C.1D.—1

55

【答案】D

【分析】利用任意角的三角函数的定义可求出sinRcos。的值，从而可求得答案

【详解】解：因为角。的终边经过点

43

所以sin〃=-w，cos〃=二，

所以2sinO+cos9=2x[-1)+W=-l,

故选：D

4.若月一(。+1)》+》<0的解集是(—5,2),则a+b等于()

A.-14B.-6C.6D.14

【答案】A

【分析】由一元二次不等式的解集，结合根与系数关系求参数八b,即可得a+6.

【详解】•.•/-(4+1)》+6<0的解集为(-5,2),

-5和2为方程x2—(a+l)x+b=O的两根,

—5+2=Q+1a=-4

,解得

一5x2=6b=-\0,

+Z?=-14.

故选：A.

5.对于任意实数mb,c,d,下列命题中正确的是()

A.若a>b,/0,则〃c>AcB.若a>b,贝lj〃/乂22

C.若a^bc2,贝lja>bD.若a>b,则!<£

【答案】C

【分析】根据不等式性质逐一判断选项，即得结果.

【详解】若曲也c<0,则w>bc,所以A错误;

若a>b,c=0则a/=历2,所以B错误；

若则QoQb,所以C正确;

若。=14=-1满足°泌，但工>:，所以D错误：

ab

故选：C

【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.

6.已知/(口=占，则函数f(x)的解析式是()

YX

A./(x)=J—(x^-1)B./(x)=j—(xw-1且xwO)

c.=D./(x)=l+x

【答案】B

【分析】根据换元法求解析式即可.

【详解】解：由题知xxO且XH-1,令r=1，则x=l(rxO且

xt

八,,1r+iCx-1且，wo),

t

：.=(xw-l且XHO).

x+1

故选：B.

7.己知函数/(x)=[："*0,、,g(x)=/(x)-a.若g(x)存在2个零点，则“的取值范围是()

[Inx,x>0

A.(-1,0)B.[-1,0)C.(0,1)D.(0,1]

【答案】D

【分析】利用数形结合的方法，作出函数/(x)的图象，由y=f(x)与直线y="有两个交点，可得。

的取值范围.

【详解】依题意，函数y=/(x)的图象与直线y=a有两个交点，

作出函数图象如下图所示，

由图可知，要使函数y=f(x)的图象与直线y=a有两个交点，则

故选：D

8.已知g(x)为定义在R上的奇函数，且对任意实数出b,有如士百©<0,若g(加)+g(m-2)>(),

a-b

则实数加的取值范围是()

A.(3,+oo)B.(YO,3)C.(l,+=o)D.(-co』)

【答案】D

【分析】由四二皿<0可得函数在定义域内单调递减，用奇偶性可将关系式g（，"）+g（，”2）>0

a-b

变形为g（m）>g（2-m）,根据单调性就可以求出.

【详解】对任意实数〃b,有g（“）-g（'<0,所以函数g（x）在R上单调递减,

a-b

又因为函数g（x）为定义在R上的奇函数，且g（m）+g（帆-2）>0,则g（m）>g（2-,〃），所以

m<2-m,2m<2,得加<1.

故选：D

二、多选题

9.以下各式化简结果为sina的有()

A.cosatanaB.Jl-cos2a

,.32sinasina

C.sina+sincrcosa+sincrcosaD.-----；------------；---

1+sina1-sina

【答案】AC

【分析】分别对每个选项式子进行化简即可判断.

cinry

【详解】对A,原式=cosa•上第=sina,故A正确；

cosa

对B,原式=Jsin2a=卜in蜀,故B错误；

对C,原式=sin，a+sinacos2a(cos2a+sin2a)

=sin3a+sinacos2a=sina(sin2a4-cos2a)=sina,故C正确；

sina(1-sina)-sina(1+sina)-2sin2a-2sin2a

对D,=-2tan2a,故D错误.

(l+sina)(l-sina)1-sin2acos-a

故选：AC.

10.下列说法正确的是（）

A.uac2>6<?”是"”>b”的充分不必要条件

B.“个>0”是“x+y>0”的必要不充分条件

C.命题“HxeR,/+1=。”的否定是“玄€区，C+1H0”

D.D.已知”,b,ceR,方程ar2+/?x+c=0有一个根为1的充要条件是a+%+c=0

【答案】AD

【分析】A.由不等式的性质求解判断；B,由不等式的性质求解判断；C.由含有一个量词的命题

的否定的定义求解判断；D.将1代入方程求解判断.

【详解】A.由a。?>hc2，得/("〃)>(),则>0,a-b>0,即a>A>,故充分；由a>b,得a-b>0,

ljllJc2(a-&)>0,故不必要；故正确；

B.由->0,得x>0,y>0或x<0,y<0,则x+y>0或x+y<0,故不充分；当x=T,y=2时，

满足x+y>0,但外<0,故不必要，故错误；

C.命题"xeR,x2+1=0”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，即“VxeR,x2+10",故

错误；

D.当a+b+c=0时，1为方程or?+法+c=0的一个根，故充分；当方程or?+法+°=。有•一个根为

1时，代入得a+b+c=0,故必要，故正确；

故选：AD

11.下列不等式成立的是()

90302

A.0.2">0.2°-B.log032>log033C.log,32<log,22D.O.2<O.3-

【答案】BCD

【分析】A.利用指数函数的单调性判断得解；B.利用对数函数的单调性判断得解；C.先利用对数运

算化简，再利用对数函数的性质判断得解；D.利用事函数和指数函数的单调性判断得解.

【详解】A.因为指数函数y=0.2*单调递减，1.1>0.9,所以0.2“<0.203,所以该选项错误；

B.因为对数函数y=log0.3X在定义域内单调递减，2<3,所以logo.32>logo.33,所以该选项正确；

1。2la2

c.log2=---,log2=——,因为lg2>0,lgl.2>0,Ig23>0,又lgl.3>lg22,;.log[32<log122,

13lgl-312lgl.2

所以该选项正确；

D.由暴函数y=在(0,+8)上单调递增得0.2a3<0.303,由指数函数y=03单调递减得

O.303<0.302,所以0.2°3<0.302.所以该选项正确.

故选：BCD

12.关于函数.f(x)=1g=，下列命题正确的是()

A.对于任意x意-1,1),都有，(x)+f(—x)=0；

B./(x)在(T1)上是增函数；

C.对于任意%,%w(-1,1),都有/于)+f(1)=/1(口：,都

D.〃(x)=/(x)—x存在唯一的零点.

【答案】ACD

【分析】根据函数的奇偶性、单调性、对数运算、零点等知识确定正确答案.

【详解】A选项，三>O,(x-I)(x+l)<O,-l<x<l,所以/(x)的定义域是(-1,1),

〃_x)=lgg=Ig(Ej=_lg*=_〃x),所以/(x)+/(-x)=O,所以A选项正确.

]_

B选项，/(O)=lgl=Oj[gJ=lg!=lgg<O,所以B选项错误.

2

•/■(玉)+/(々)=电三+怛宏=lgf_1gl+x,x2-(^+x2)

C选项,

1"T"人|JLI*人2U+51+X2J1+玉/+(%]+工2)

]%+W

f(百+々]=lg1+中2=lg1+%%一(%+%),

-U+XINJ:1十+W。1+取2+(为+%2)'

l+xtx2

所以c选项正确.

1—x—(x+l)+2(2、

D选项，/(x)=lg----=lg-^---=lg-1+--,

\+x1+x[x+1)

所以f(x)在(-1,1)上单调递减.

y=x在(T,I)上单调递增,

所以力(x)=〃x)-X,在上单调递减,

由于〃(0)=0,所以/7(x)=/(x)-x存在唯一的零点，D选项正确.

故选：ACD

三、填空题

13.计算lgS]+21g2-(1?晦4+8-三-=.

【答案】1

【分析】利用指数基和对数的运算性质化简即可得到结果.

[详解]lg|+21g2-(?吗4+/=1g|+1g2?-3—+⑵#=lg(|x4)-+2以=1.

故答案为：1.

sin(-3K+a)+cos(a-71)

14.已知tan(5?t+a)=2,则(11兀).(9TT)的值为.

cosa-+sin+a

I2)I2J

【答案】3

sin(-37t+a)+cos(a-n)tana+1

【分析】利用诱导公式得tana=2,对原式化简得―7—11兀］.(9兀―『tana-l，代入数据

I2)I2)

即可.

【详解】因为tan(5?r+a)=tana=2,

所以

sin(-37i+a)+cos(a-7i)sin(7t+a)+cos(7r-a)-sina-cosa

虫与卜喂+0|一叩+j+sing+asina+cosatana+1.

一sina+cosa=--------=3

sina-cosalana-1

故答案为：3.

15.函数/(x)=logcoslV2sinx-1的增区间为.

【答案】上也+g,2也+斗化eZ)

【详解】根据对数函数的定义，结合复合函数的单调性进行求解即可.

【点睛】因为/(x)=log”S|X是减函数,

所以当,汨+5c2E+z(k'Z)时，函数单调递增,

2sinx-l>0

c,兀一，一，J兀

7T57r2Z兀H—KxW24兀H---

2kit+—<x<2kn+—(kGZ)22〃力

由J22u(keZ)

_.7T_D7t

2sinx-l>02攵兀H<X<2攵T兀H---

66

_7T_.37T/.

2lfai+—<x<2lai+—(ZcZ),

26

故答案为：2E+1,2E+¥](kGZ)

L26；

16.已知〃x)=lgx,a>(),b>0,若|/(a)|=|/S)|,则£+》+*的最小值是.

【答案】8

【分析】先通过已知条件与对数函数性质得出a,b关系ab=l,再通过已知得出a+b>0,化简

士+3+?得到。+人+'J,再通过基本不等式求解即可得出答案.

crbaira+ba+b

【详解】Q/(x)=lgx,若|/(a)|=|/S)|,

b即次?=1,

a

a>01b>0,

:.a+h>0

11\6ah1116a+b16=a+b+-^->S,

+—74--------=—+—+-------------+----

a~bab~a+baba+baba+ba+b

当且仅当。+匕=」当时取等号，

a+b

1116ab日［，上口c

，+-77----的取小值是8.

crbaba+b

故答案为：8

四、解答题

17.已知p：函数_/U)=(a-/n)x在R上单调递减，q：关于x的方程x?-Zot+H-1=0的两根都

大于1.

(1)当机=5时，p是真命题，求a的取值范围；

(2)若p为真命题是q为真命题的充分不必要条件，求〃?的取值范围.

【答案】(1)(5,6)；(2)m>2.

【分析】(1)由〃?=5,得到人x)=(«-5)x,再根据指数函数的单调性求解；

(2)先根据命题为真，化简命题p,q,然后根据p为真命题是q为真命题的充分不必要条件求解.

【详解】(1)因为机=5,所以./(x)=(a-5)x

因为P是真命题，

所以0<a-5<l,

解得5<a<6.

故。的取值范围是(5,6)

(2)若p是真命题，则0<a-〃7<l,解得,"VaV〃?+l.

关于x的方程x2-2ar+a2-1=0的两根分别为a-1和a+1.

若q是真命题，则a-1>1,解得a>2.

因为。为真命题是q为真命题的充分不必要条件，

所以m>2.

18.已知函数/(x)=『7；+l(a>0)为奇函数,且方程〃x)=2有且仅有一个实根.

(1)求函数/")的解析式；

(2)设函数g(x)=lnf(e)求证：函数y=g(x)为偶函数.

【答案】(1)/(x)=±U;(2)证明见解析.

【分析】(1)由函数/(X)为奇函数可得〃值，再由方程/(X)=2有唯一实根即可得解；

⑵利用⑴的结论求出g(x)的解析式并求出其定义域，再由奇偶函数定义讨论即得.

【详解】(1)因函数〃"=.+二+1为奇函数,则/(x)=—〃x),

ax

即X»X+]=_(T)2*X)+1,化简得2fax=0,得匕=0,

axa\-x)

f(x\=£±L,且方程〃x)=2有且仅有一个实根，得二tl=2,即/—2办+1=0,

axax

所以(一U)2-4x4=0,得/=1,而a>0,解得a=l,即有=x+1,

所以函数/(x)的解析式为了(同=一；

⑵由(1)知g(x)=Inf(ex)=ln(=l)=皿炉+e),g(x)的定义域为R,

e

则g(r)=ln(e-*+e*)=g(x),

所以函数y=g(x)为偶函数.

19.已知函数f(x)=log“(x-l)+2(a>0,且"1),过点(3,3).

(1)求实数。的值；

(2)解关于x的不等式/(2"-3)</(12-2川).

【答案】(1)2(2){x|2<r<k)g25}

【解析】(1)将点(3,3)代入函数计算得到答案.

(2)根据函数的单调性和定义域得到1<2-3<12-2前,解得答案.

【详解】(1)/(3)=log„(3-1)+2=3,loga2=1,:.a=2：./(x)=log2(x-l)+2.

(2)/(力=嚏2。一1)+2的定义域为卜以>1},并在其定义域内单调递增，

/./(2'-3)</(12-2t+l),/.l<2*-3<12-2㈤,不等式的解集为<1(^5}.

【点睛】本题考查了函数解析式，利用函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数知识的综合应

用.

20.设函数/(x)=Asin(2x+s)(A>0,0<e<]],函数/(x)的最小值为一2,且x=g为函数/(x)

的一个零点.

⑴求函数“X)的单调递增区间；

⑵若对任意的X€0,(,不等式/(x)>加-3恒成立，求实数机的取值范围.

57r7T

【答案】⑴-法+及m万+"乃(AeZ)

⑵(-4)

【分析】(1)利用最小值和零点可求得〃x)的解析式，令—春+2&万42x+g/+2版■(4"),解

不等式即可求得单调递增区间；

rr

(2)利用正弦型函数值域的求法可求得了(x)在0,-上的最小值，由加-3〈/(力讪可求得机的取

值范围.

【详解】⑴f[x)^n=-A=-2,...A=2；

x=?为的一个零点，+e=解得：.“:舰一苛(ZeZ),

又0<夕<?”=?,.,./(x)=2sin(2x+?)；

令一■^•+2%万42x+g4、+2«万(％eZ),解得：-^-+^<x<-^+^(A:eZ),

5rrjr

\/(X)的单调递增区间为-甘+&肛丘+丘(kwz).

(2)当天£0，Y时,+5,苧»sin1<2x4-G-^-,1,/./(X)G[1,2]；

_4J31_36」V3J[_2」

rr

对任意的xe0,-,〃力>加一3恒成立，.•.机一3<〃4而=1,解得：m<4；

即实数”的取值范围为(F，4).

21.兴泉铁路起于江西，途经三明，最后抵达泉州(途经站点如图所示).这条“客货共用''铁路是开

发沿线资源、服务革命老区的重要铁路干线，是打通泉州港通往内陆铁路货运的重要方式，将进一

步促进山海协作，同时也将结束多个山区县不通客货铁路的历史.目前，江西兴国至清流段已于2021

年9月底开通运营，清流至泉州段也具备了开通运营条件，即将全线通车.预期该路线通车后，列

车的发车时间间隔，(单位：分钟)满足24V20.经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔r

相关，当1()</<20时列车为满载状态，载客量为720人；当2Wf<10时，载客量会减少，减少的人

数与(12-f)的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人.记列车载客量为P«).

兴泉铁路线路图：

江西4,注

宁都县福建

兴:县，•、石城县明溪县三明市

”兴泉铁路

、大田县

德化县

永春县.

安溪县政瞥市

泉州市

(1)求p(f)的表达式;

(2)若该线路每分钟的净收益为。1)=型乎丝-60(元)，问当发车时间间隔为多少时，该线路

每分钟的净收益最大，并求出最大值.

-4/2+96r+144,2<r<10

【答案】(l)PQ)=,

720,10<r<20

(2)时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元

【分析】⑴当10孕<20时,M，)=720,当2«f<10时，可设p(f)=720—-12—1)2,由题可求出3

即可得到答案.

72

132-8/--,2<r<10

(2)由(1)知：e(0=inQn',结合基本不等式和函数单调性即可求出的净收益

咽-60,104/20

.t

最大值.

【详解】(1)由题知，当104r<20时，p(f)=720

当24yo时，可设p(f)=720-Z(12T)2,

又发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人，

以3)=720-«(12-3)2=396,解得％=4.

此时p(r)=720-4x(12-4=-4/+967+144,24r<10

-4/2+96r+144,2</<IO

，pQ)="

720/04f420

132-81——,2<Z<10

（2）由（1）知:。⑴=，

1080

一60,10W20

V2<r<10U^,。⑺4132-2,8小一=84,

当且仅当，=3等号成立,

2W0时，。⑺1rax=03)=84,

当10VY20上,QQ）单调递减，则0（%=Q（10）=48,

综上，时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元.

22.已知函数，（力=/+3次一4（4€/?）.

⑴若/（x）在上的最大值和最小值分别记为M（a）,m（a）,求M（a）一,〃（a）；

（2）设beR,若V（x）+443对xe[—1』恒成立，求3a+人的取值范围.