高等数学教学教学教案（同济六版）10-2 二重积分在直角坐标系下地计算

第二讲二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算一、计算公式二、计算方法三、小结二重积分在直角坐标系下的计算一、计算公式二、计算方法三、小结积分区域的表示X-型区域:Y-型区域:xoyabxoyabyxodcyxodc设曲顶柱体的底为任取平面故曲顶柱体体积为截柱体的截面积为公式推导若f(x,y)≥0,同样,曲顶柱体的底为则其体积可按如下两次积分计算二重积分在直角坐标系下的计算一、计算公式二、计算方法三、小结二重积分在直角坐标系下的计算一、计算公式二、计算方法三、小结例1计算其中是由直线及围成的闭区域xyo例1计算其中是由直线及围成的闭区域xyo法一：先对y积分后对x积分1．先定x的积分限后积者，先定限，在区域D的左侧作x轴的垂线，向右移动，开始与区域D相交时，垂足的横坐标为x的下限.xyo法一：先对y积分后对x积分1．先定x的积分限后积者，先定限，在区域D的左侧作x轴的垂线，向右移动，开始与区域D相交时，垂足的横坐标为x的下限.xyo11继续向右移动，最后与区域D相交时，垂足的横坐标为x的上限.法一：先对y积分后对x积分1．先定x的积分限后积者，先定限，在区域D的左侧作x轴的垂线，向右移动，开始与区域D相交时，垂足的横坐标为x的下限.xyo11继续向右移动，最后与区域D相交时，垂足的横坐标为x的上限.法一：先对y积分后对x积分1．先定x的积分限后积者，先定限，在区域D的左侧作x轴的垂线，向右移动，开始与区域D相交时，垂足的横坐标为x的下限.xyo1212限为数法一：先对y积分后对x积分1．先定x的积分限后积者，先定限，12xyo122．再定y的积分限先积者，后定限，在x的上下限之间作x轴垂线，由下向上，穿入区域时，其边界曲线为y的下限.穿出区域时，其边界曲线为y的上限.限为数法一：先对y积分后对x积分1．先定x的积分限后积者，先定限，12xyo12y=11y=xx限为线(函数)2．再定y的积分限先积者，后定限，限为数法一：先对y积分后对x积分1．先定x的积分限后积者，先定限，121xxyo12y=1y=x法二：先对x积分后对y积分1．先定y的积分限后积者，先定限，限为数在区域D的下侧作y轴的垂线，向上移动，开始与区域D相交时，垂足的纵坐标为y的下限.xyo法二：先对x积分后对y积分1．先定y的积分限后积者，先定限，限为数在区域D的下侧作y轴的垂线，向上移动，开始与区域D相交时，垂足的纵坐标为y的下限.xyo11继续向上移动，最后与区域D相交时，垂足的纵坐标为y的上限.法二：先对x积分后对y积分1．先定y的积分限后积者，先定限，限为数在区域D的下侧作y轴的垂线，向上移动，开始与区域D相交时，垂足的纵坐标为y的下限.1xyo1继续向上移动，最后与区域D相交时，垂足的纵坐标为y的上限.法二：先对x积分后对y积分1．先定y的积分限后积者，先定限，限为数在区域D的下侧作y轴的垂线，向上移动，开始与区域D相交时，垂足的纵坐标为y的下限.1xyo122先积者，后定限，限为线2．再定x的积分限在y的上下限之间作x轴垂线，由左向右，穿入区域时，其边界曲线为y的下限.穿出区域时，其边界曲线为y的上限.法二：先对x积分后对y积分1．先定y的积分限后积者，先定限，限为数12xyo12x=yx=2y2例2计算其中是由抛物线及直线围成的闭区域.xyo选择积分次序先对y积分,后对x积分1．比较麻烦！xyo142．先对x积分,后对y积分比较简单！原则之一：根据区域形状，易定限；选择积分次序先对y积分,后对x积分1．比较麻烦！xyo1-12例3计算同例2xyo1-12不是初等函数原则之二：兼顾被积函数，好积分；二重积分在直角坐标系下的计算一、计算公式二、计算方法三、小结二重积分在直角坐标系下的计算一、计算公式二、计算方法三、小结利用直角坐标计算二重积分的步骤画出区域的草图选择积分次序原则根据区域形状，易定限兼顾被积函数，好积分确