高中数学第一章集合与函数课件

06六月20231高中函数知识精要制作：包头市第十五中学牵手第一章《集合与函数》06六月20232〖知识网络〗集合映射方程子集、空集、全集交集、并集、补集反函数函数基本函数图象性质不等式y取定值y＞0y＜006六月20233§1.1集合的概念1、集合的概念：(1)把一些确定的对象看成一个整体，就形成一个集合。集合里的各个对象叫做集合的元素，元素与集合的关系用∈或∈表示。(2)集合分为：有限集、无限集、空集。(3)集合的三大特性：确定性、互异性、无序性。(4)集合可用列举法、描述法、图示法表示。(5)注意N、Z、Q、Q+、R、R+等所表示的数集。06六月202342、集合之间的关系(1)子集：若x∈A，则x∈B，集合A叫做集合B的子集。表示为或。∩AB∩AB性质：①②③若，则∩ΦA∩AC∩BC∩AB∩AA∩AB(2)若，且至少有一个x∈B，但x∈A，集合A叫做集合B的真子集。表示为或。∩AB∩AB(3)若且，那么这两个集合相等。表示为A＝B。∩BA∩AB∩AC∩BC∩φA∩AB性质：①若A≠φ则；②若，，则06六月20235〖方法小结〗1、明确集合中元素的确定性、互异性和无序性，并注意此性质在解题中的应用。2、熟练掌握集合图形表示（韦恩图）、数轴表示等基本方法。3、理解集合的基本概念、相互关系、术语符号等，能正确地表示出一些较简单的集合。4、空集φ是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解题中，若未指明集合非空时要考虑到空集的可能性。06六月202365、常用的集合元素：①对于集合A={x|x2+x－1=0}中，A即为方程的解。②对于集合A={x|x+1≤3－x}中，A即为不等式的解。③对于集合A={y|y=x2－2x+5}中，A为函数的值域。④对于集合A={(x,y)|y=x2－2x+5}中，A为函数上所有点组成的集合，即为抛物线上所有点组成的集合。6、识记以下重要的结论：∩AB∩AB①A∩B=A，A∪B=A②A∩B=A∪BA∪B=A∩B，06六月20237§1.2集合的运算1、交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}2、并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}3、全集：在研究集合与集合之间的关系时这些集合都是某个集合的子集，这个给定的集合叫做全集。4、补集：A={x|x∈I且x∈A}性质：A∩A=A，A∩φ=φ，A∩B=B∩A性质：A∪A=A，A∪φ=A，A∪B=B∪A性质：A∪A=I，A∩A=φ,A=A06六月20238〖方法小结〗解集合问题的基本思路是：读懂集合，弄清关系，依据概念，结合图形，分步解决：1、对于集合问题，要首先确定属于哪一类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法。2、关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，再进行运算。3、含参数的集合问题，多根据集合的互异性来处理有时需进行讨论。4、集合的问题常与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通。06六月20239§1.3映射与函数1、映射：对于集合A、B，存在某种对应法则f，使得集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的一个元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记为f：A→B2、函数：(1)在某种变化过程中存在两个变量x，y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数。(2)设A、B都是非空数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)3、函数的“三要素”：对应法则、定义域、值域。只有“三要素”完全相同的两个函数才是同一函数。06六月202310〖方法小结〗1、理解映射的概念①A、B为非空数集；②A中的元素必有象，但B中的元素不一定有原象；③A中的任一元素的象是唯一的，因此对应是“一对一或多对一”。2、理解函数与映射的关系。函数的“三要素”是对应法则、定义域、值域。只有“三要素”完全相同的两个函数才是同一函数。3、若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。4、若y是u的函数，u又是x的函数即y=f(u)，u=g(x)，x∈(a，b)，u∈(m，n)，那么y关于x的函数y=f(g(x))，叫做f和g的复合函数。06六月202311§1.4函数的定义域3、如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是各基本函数定义域的交集。2、求函数的定义域的主要依据是：①分式的分母不为0；②偶次方根的被开方数非负；③对数的真数大于0；④指数、对数函数的底数大于0且不等于1；⑤指数为0或负数时，底数不为0；⑥实际问题的函数除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑有实际意义。1、函数的定义域是指自变量的取值范围。06六月202312〖方法小结〗1、求解函数的定义域实际上是转化为求解不等式或不等式组。2、已知f(x)的定义域为D，求f[g(x)]的定义域时，可令g(x)∈D解得x的范围C，即为f[g(x)]的定义域；已知f[g(x)]的定义域为D，求f(x)定义域时，可先由x∈D，求出g(x)的范围C，即为f(x)定义域。06六月202313§1.5函数的值域函数的值域就是在对应法则f的作用下，自变量x的值对应的y值的集合。〖方法小结〗1、求函数值域的常用方法有：①配方法：求形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数值域问题,要注意f(x)的取值范围对值域的影响.②真分式法:求式函数f(x)=形函数的值域，如f(x)=转化为f(x)=1－求值域;2x＋12x＋3ax＋bcx＋d5x＋306六月202314③反函数法:求式函数f(x)=形函数的值域，均可使用反函数法.ax＋bcx＋d④判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0,通过方程有实根,判别式Δ≥0,从而求得原函数的值域.形如y=(a1,a2不同时为0)的函数的值域常用此法但要注意函数的定义域不是R时还需要用二次方程根的分布来求解.a1x2+b1x+c2a2x2+b2x+c2⑤单调性法:利用函数在其定义域或定义域的子集上的单调性求出函数的值域.⑥换元法:运用代数或三角代换,将所给函数化成值域容易求出的另一类函数06六月2023153、求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要告自己积累经验，掌握规律。2、求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。⑧不等式法:利用基本不等式求函数值域,但要注意其使用的条件“一正、二定、三相等”。⑦数形结合法:利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法求出函数值域.06六月202316§1.6函数的奇偶性1、定义：如果对于函数f(x)的定义域内的任一个x,都有f(－x)=f(x)(或f(－x)=－f(x)），那么f(x)是偶函数（或奇函数）。2、图象特征：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。3、奇偶函数的定义域一定关于原点对称。4、函数可分为：奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数又是偶函数（f(x)=0）。06六月202317〖方法小结〗1、判断函数的奇偶性必须先考虑定义域是否关于原点对称。2、函数奇偶性的可用如下变形判定：奇函数：f(－x)+f(x)=0或f(－x)f(x)=－1偶函数：f(－x)－f(x)=0或f(－x)f(x)=13、求函数中字母参数满足什么条件能使函数是奇函数或偶函数的方法有：①根据恒等式性质，利用待定系数法；②利用特殊值法。特别是当奇函数在x=0时有意义必有f(0)=0。（f(x)≠0）06六月202318§1.7函数的单调性1、定义：设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)（f(x1)＞f(x2)），那么就说f(x)在这个区间上是增（减）函数。2、注意定义的变形：设x1、x2∈[a，b]f(x1)－f(x2)x1－x2＞0或(x1－x2)(

f(x1)－f(x2))＞0f(x)为偶函数f(x1)－f(x2)x1－x2＜0或(x1－x2)(

f(x1)－f(x2))＜0f(x)为奇函数06六月202319几何意义：增（减）函数图象上任意两点连线的斜率都大于（小于）零。3、熟练掌握一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的单调性。①两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；②奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上有相反的单调性；③y=f(x)与y=－f(x)有相反的单调性；④当y=f(x)恒为正或恒为负时，y=f(x)与y=1/f(x)有相反的单调性。4、了解以下结论，对直接判定函数的单调性有好处：06六月202320〖方法小结〗1、函数的单调性必须在定义域内进行，在定义域内的不同区间上可能有不同的单调性，因此必须说明在哪个区间上递增或递减。2、根据定义证明函数单调性的方法：①设x1、x2∈A，且设x1＜x2

；②作差：f(x1)－f(x2)，并变形（分解、配方、通分等）；③判断差的符号，并作结论。3、复合函数单调性的判断方法：设y=f(u)，u=g(x)，x∈(a,b),u∈(m,n)，都是单调函数，则y=f(g(x))在[a,b]上也是单调函数。若y=f(u)是(m,n)上的增（减）函数，则y=f(g(x))的增减性与u=g(x)的增减性相同（相反）。也可概括为“同增、同减为增，一增一减为减”。06六月202321§1.8反函数3、反函数的求法：①由y=f（x）解出x=f－1（y）；②将x=f－1（y）中的x、y互换，得y=f－1（x）；③由y=f（x）的值域，写出y=f－1（x）的定义域。1、定义：函数y=f(x)(x∈A)中，设它的值域为C，由y=f(x)解出x=f－1(y)，如果对于y在C中的任何一个值，由x=f－1(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么x=f－1(y)就表示x是y的函数，则函数x=f－1(y)就叫做y=f(x)的反函数。习惯上把y看成函数，将x、y调换，y=f(x)的反函数表示为y=f－1(x)。2、反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域。互为反函数的两个图象关于直线y=x对称。06六月202322〖方法小结〗1、只有从定义域到值域上的一一映射所确定的函数才有反函数。因此，定义域上的单调函数必有反函数；偶函数一般不存在反函数，但偶函数f(x)=1(x=0)有反函数；奇函数不一定存在反函数；周期函数不存在反函数。2、若原函数是奇函数，则反函数也一定是奇函数。3、若原函数过点(a,b)，则反函数过点(b,a)，即若f（a）=b，则f－1（b）=a。4、互为反函数的两个函数具有相同的单调性。06六月202323§1.9正、反比例函数、一次、二次函数1、正比例函数：y=kx（k≠0）xyok＞0xyok＜0图象性质:1、定义域为R；

2、值域为R；

3、是奇函数；

4、单调性：

k＞0时为增函数,

K＜0时为减函数。06六月202324图象2、反比例函数：y=（k≠0）kxxyok＞0xyok＜0性质:

1、定义域：(－∞,0)∪(0,＋∞);

2、值域：(－∞,0)∪(0,＋∞)；

3、是奇函数；

4、k＞0时，在(－∞,0)或(0,＋∞)上是增函数；k＜0在(－∞,0)或(0,＋∞)上是减函数。

06六月2023253、一次函数：y=kx＋b（k≠0）xyok＞0xyok＜0图象性质:

1、定义域为R；

2、值域为R；

3、b=0是奇函数；b≠0时为非奇非偶函数；

4、k＞0时为增函数,

K＜0时为减函数。06六月2023264、二次函数：y=ax2+bx+c（a≠0）oxy4、图象开口往上，对称轴为x=－，有最小值，在（－∞，－]为减函数，在[－，+∞)为增函数。b2ab2ab2a4ac－b24a性质：

1、定义域：R；

2、值域：[，+∞);

3、当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数。a＞0时的图象与性质06六月202327oxy4、图象开口往下，对称轴为x=－，有最大值，在（－∞，－]为增函数，在[－，+∞)为减函数。b2ab2ab2a4ac－b24a性质：

1、定义域：R；

2、值域：（—∞，];

3、当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数。a＜0时的图象与性质06六月202328Δ＞0Δ＜0Δ=0图象xx1=x2yoxx1x2yoyxoax2+bx+c=0(a>0)ax2+bx+c>0(a>0)ax2+bx+c<0(a>0)x=x1或x=x2x=x1=x2=－b2a{x|x<x1或x>x2}{x|x1<x<x2}b2a{x|x≠－}OOR无实根5、二次函数与二次不等式06六月202329〖方法与小结〗1、解决分式函数f(x)=，可转化为反比例函数来解决。如f(x)=转化为f(x)=2－;2x＋1x＋3ax＋bcx＋d5x＋32、解决二次函数有关问题关键是通过配方，得出顶点(－,)，由此可知函数的图象、对称轴、单调区间、判别式、最值等。4ac－b24ab2a3、二次函数的解析式除了一般式外还有顶点式：f(x)=a(x－k)2＋m，零点式：f(x)=a(x－x1)(x－x2)。06六月2023304、二次函数f(x)=ax2+bx+c当Δ=b2－4ac＞0时,图象与x轴有两个交点M(x1,0),N(x2,0),并且|MN|=|x1－x2|=。|a|√Δ5、二次函数隐含着二次项系数不为0的条件，但如果题中没有指明是二次函数，则要分二次项系数为0和不为0两种情况进行讨论。6、二次方程根的分布问题一般情况下从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴与区间端点的关系。7、二次函数在区间[m，n]上的最值一般分＜m，m≤≤n和＞n三种情况进行讨论。－b2a－b2a－b2a06六月202331§1.10幂函数1、定义：形如y=xn（n是常数）叫做幂函数。2、在高考中n限于在集合{－２，－1，－，，，1，2，3}中取值。1212133、图象与性质：n＜0n＞1n＝10＜n＜1xyo①定义域、值域、奇偶性：视n的情况而定；②当n＞0时在(0,＋∞)为增函数，当n＜0时在(0,＋∞)为减函数；③当n＞0时图象都过(0,0)和(1,1)点;当n＜0时过(1,1)点.06六月202332〖方法小结〗1、根据奇偶性及第一象限的图象可以得到幂函数的图象；2、当x＞1时，幂函数的指数越大，图象越高，当0＜x＜1时，幂函数的指数越大，图象越低；3、应用幂函数知识解题时，要重视数形结合，由条件及幂函数性质作出示意图，再出图形得出进一步结论，使问题得到解决。06六月202333§1.11指数式与对数式1、各种有理数指数的定义：①正整数指数幂：an=a·a···a（n∈N）；②零指数幂：a0=1（a≠0）③负整数指数幂：a－n=（a≠0，n∈N）④正分数指数幂：a=（a≥0，n＞1，m、n∈N）⑤负分数指数幂：a－

=（a＞0，n＞1，m、n∈N）1anmnmn√nam√nam12、幂的运算法则：①am．an=am＋n②am÷an=am－n

（a≠0）③（am）n=amn④（ab）m=ambm06六月2023343、对数：如果ab=N，那么b叫做以a为底N的对数，记为b=logaN。ab=Nb=logaN。（a＞0且a≠1）logaN4、对数恒等式：a=N（a＞0且a≠1，N＞0）5、对数的性质：①0和1没有对数；②loga1=0；③logaa=1。6、对数的运算法则：①loga(MN)=logaM＋logaN（M，N＞0）③logaMn=nlogaM（M＞0）②

loga=logaM－logaN（M，N＞0）MN06六月2023357、对数的换底公式：logaN=logbNlogba重要推论：

logab·logba=1，logabn=logabmmn8、常用对数：②lgx·10n=n＋lgx=n＋正的纯小数(1≤x＜10，n是整数)①以10为底的对数叫做常用对数。③以e为底的对数叫做自然对数。06六月202336〖方法小结〗1、根式的运算常常化成幂的运算来进行。2、对数运算中出现不同底数时，应考虑同换底公式统一底，再进行运算，运算中注意逆用运算法则。3、指数、对数的互相转化是解决指数、对数问题常用方法。4、在式的变形、求值过程中，要注意动用方程观点处理问题。通过方程（组）来求值，用换元法转化方程求解等。06六月202337§1.12指数函数与对数函数1、指数函数y=ax(a＞0且a≠1)的图象和性质：a＞10＜a＜1图象性质①x∈R；②y∈(0,+∞);③过定点(0,1)④当x＞0时,y＞1,x＜0时,0＜y＜1④当x＞0时,0＜y＜1,x＜0时,y＞1⑤在R上是增函数.⑤在R上是减函数.xoyxoy06六月202338xoyxoy2、对数函数y=logax(a＞0且a≠1)的图象和性质：a＞10＜a＜1图象性质①x∈(0,+∞)；②y∈R;③过定点(1,0)④当x＞1时,y＞0,0＜x＜1时,y＜0④当x＞1时,y＜0,0＜x＜1时,y＞0⑤在R上是增函数.⑤在R上是减函数.06六月202339〖方法小结〗1、指数函数与对数函数是互为反函数的两个重要函数，其函数性质受底数a的影响，所以分类讨论思想表现得更为突出，同时两类函数的函数值变化情况，充分反映了函数的代数特征与几何特征。2、在给定的条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用。3、熟记以下几个结论：logab＞0(a－1)(b－1)＞0;logab＜0(a－1)(b－1)＜0当0＜a＜1时，m＞n＞0logam＜logan当a＞1时，m＞n＞0logam＞logan06六月202340§1.13指数方程与对数方程1、定义：在指数里含有未知数的方程叫做指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程。2、解指数方程、对数方程的基本思想方法是：利用指数函数、对数函数的性质，将它们化为代数方程来解。3、解对数方程一定要注意验根。06六月202341〖方法小结〗1、指数方程主要类型及其解法：①化为同底：af(x)=ag(x)，化为f(x)=g(x),再求解。②指、对数互化：af(x)=b，化为f(x)=logab。③换元法：a2f(x)+baf(x)+c=0,设y=af(x)化为二次方程求解。af(x)=bg(x),两边取对数,化为f(x)logca=g(x)logcb④图象法:含有指数、对数的混合型方程，常用图象法求近似解或求解的个数。06六月2023422、对数方程主要类型及其解法：①化为同底：logaf(x)=logag(x)，化为f(x)=g(x),再求解,要注意验根。②指、对数互化：logaf(x)=b，化为f