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第五节矩阵的初等变换第一页,共二十八页,编辑于2023年,星期一定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”).一、矩阵的初等变换初等行变换与初等列变换统称为初等变换。2第二页,共二十八页,编辑于2023年,星期一初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同.逆变换逆变换逆变换注意:3第三页,共二十八页,编辑于2023年,星期一等价关系的性质:
如果矩阵B可以由矩阵A经过有限次初等变换得到,则称矩阵A和B为等价的,记作
定义24第四页,共二十八页,编辑于2023年,星期一
例15第五页,共二十八页,编辑于2023年,星期一二、矩阵的标准型1、行阶梯形矩阵特点:(1)可画出一条阶梯线,线的下方全是0(2)每个台阶只有一行,台阶数就是非0行的行数(3)阶梯线的竖线后面的第一个元素非0。称为首非零元6第六页,共二十八页,编辑于2023年,星期一7第七页,共二十八页,编辑于2023年,星期一2、行最简形矩阵特点:(1)可画出一条阶梯线,线的下方全是0(2)每个台阶只有一行,台阶数就是非0行的行数(3)阶梯线的竖线后面的第一个元素非0(4)非零行的首非零元为1(5)首非零元所在的列其余元素全为08第八页,共二十八页,编辑于2023年,星期一D称为原矩阵A的标准形3、标准形矩阵9第九页,共二十八页,编辑于2023年,星期一定理1任意一个矩阵A经过有限次初等变换,可以化为下列标准形矩阵推论1若方阵A可逆,则它的标准形必为单位矩阵10第十页,共二十八页,编辑于2023年,星期一将下面矩阵化为标准形.例2解11第十一页,共二十八页,编辑于2023年,星期一12第十二页,共二十八页,编辑于2023年,星期一定义3由单位矩阵E经过一次初等变换,得到的矩阵称为初等矩阵。三、初等矩阵初等矩阵有下列3种:13第十三页,共二十八页,编辑于2023年,星期一(1)对E施以第(1)种初等变换得到的矩阵.i行i列j行j列E3(1,2)=如:14第十四页,共二十八页,编辑于2023年,星期一(2)对E施以第(2)种初等变换得到的矩阵.如E3(2(k))=15第十五页,共二十八页,编辑于2023年,星期一(3)对E施以第(3)种初等变换得到的矩阵.如16第十六页,共二十八页,编辑于2023年,星期一(2)对A施以某种初等列变换,相当于用同种的n阶初等矩阵右乘A.(1)对A施以某种初等行变换,相当于用同种的m阶初等矩阵左乘A.定理
设A为阶矩阵,例317第十七页,共二十八页,编辑于2023年,星期一定理3可逆矩阵能表成一些初等矩阵的乘积。
四、求逆矩阵的初等变换法:方法:18第十八页,共二十八页,编辑于2023年,星期一
解例419第十九页,共二十八页,编辑于2023年,星期一20第二十页,共二十八页,编辑于2023年,星期一五、用初等变换法求解矩阵方程.同理:方法:21第二十一页,共二十八页,编辑于2023年,星期一例5解22第二十二页,共二十八页,编辑于2023年,星期一23第二十三页,共二十八页,编辑于2023年,星期一24第二十四页,共二十八页,编辑于2023年,星期一例6解假设矩阵A和B满足关系式:
其中
求矩阵B。
25第二十五页,共二十八页,编辑于2023年,星期一26第二十六页,共二十八页,编辑于2023年,星期一于是因此27第二十七页,
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