第五节 矩阵的初等变换

第五节矩阵的初等变换第一页，共二十八页，编辑于2023年，星期一定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:

同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．一、矩阵的初等变换初等行变换与初等列变换统称为初等变换。2第二页，共二十八页，编辑于2023年，星期一初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．逆变换逆变换逆变换注意：3第三页，共二十八页，编辑于2023年，星期一等价关系的性质：

如果矩阵B可以由矩阵A经过有限次初等变换得到，则称矩阵A和B为等价的，记作

定义２4第四页，共二十八页，编辑于2023年，星期一

例15第五页，共二十八页，编辑于2023年，星期一二、矩阵的标准型1、行阶梯形矩阵特点:(1)可画出一条阶梯线，线的下方全是0(2)每个台阶只有一行，台阶数就是非0行的行数(3)阶梯线的竖线后面的第一个元素非0。称为首非零元6第六页，共二十八页，编辑于2023年，星期一7第七页，共二十八页，编辑于2023年，星期一2、行最简形矩阵特点:(1)可画出一条阶梯线，线的下方全是0(2)每个台阶只有一行，台阶数就是非0行的行数(3)阶梯线的竖线后面的第一个元素非0(4)非零行的首非零元为1(5)首非零元所在的列其余元素全为08第八页，共二十八页，编辑于2023年，星期一D称为原矩阵A的标准形3、标准形矩阵9第九页，共二十八页，编辑于2023年，星期一定理1任意一个矩阵A经过有限次初等变换，可以化为下列标准形矩阵推论1若方阵A可逆，则它的标准形必为单位矩阵10第十页，共二十八页，编辑于2023年，星期一将下面矩阵化为标准形.例2解11第十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期一12第十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期一定义３由单位矩阵E经过一次初等变换，得到的矩阵称为初等矩阵。三、初等矩阵初等矩阵有下列3种:13第十三页，共二十八页，编辑于2023年，星期一(1)对E施以第(1)种初等变换得到的矩阵.i行i列j行j列E3(1,2)=如：14第十四页，共二十八页，编辑于2023年，星期一(2)对E施以第(2)种初等变换得到的矩阵.如E3(2(k))=15第十五页，共二十八页，编辑于2023年，星期一(3)对E施以第(3)种初等变换得到的矩阵.如16第十六页，共二十八页，编辑于2023年，星期一(2)对A施以某种初等列变换,相当于用同种的n阶初等矩阵右乘A.(1)对A施以某种初等行变换,相当于用同种的m阶初等矩阵左乘A.定理

设A为阶矩阵，例317第十七页，共二十八页，编辑于2023年，星期一定理3可逆矩阵能表成一些初等矩阵的乘积。

四、求逆矩阵的初等变换法：方法：18第十八页，共二十八页，编辑于2023年，星期一

解例419第十九页，共二十八页，编辑于2023年，星期一20第二十页，共二十八页，编辑于2023年，星期一五、用初等变换法求解矩阵方程.同理：方法：21第二十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期一例5解22第二十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期一23第二十三页，共二十八页，编辑于2023年，星期一24第二十四页，共二十八页，编辑于2023年，星期一例6解假设矩阵A和B满足关系式：

其中

求矩阵B。

25第二十五页，共二十八页，编辑于2023年，星期一26第二十六页，共二十八页，编辑于2023年，星期一于是因此27第二十七页，