第二逻辑代数

第一页，共五十六页，编辑于2023年，星期一2.1逻辑代数的三种基本运算第二页，共五十六页，编辑于2023年，星期一变量的取值：逻辑0、逻辑1。与运算或运算非运算变量的表示：用字母表示1、三种基本逻辑运算一、逻辑变量二、基本逻辑运算与基本逻辑门逻辑0和逻辑1不代表数值大小，仅表示相互矛盾、相互对立的两种逻辑状态下一页前一页退出第三页，共五十六页，编辑于2023年，星期一逻辑表达式F=A

B=AB与逻辑真值表与逻辑关系表1）与逻辑开关A开关B灯F断断断合合断合合灭灭灭亮ABF101101000010ABF逻辑符号只有决定某一事件的所有条件全部具备，这一事件才能发生与逻辑运算符，也有用“”、“∧”、“∩”、“&”表示运算规则：见0为0,全1为1第四页，共五十六页，编辑于2023年，星期一逻辑表达式F=A+B或逻辑真值表2）或逻辑ABF1逻辑符号决定某一事件结果的任意条件成立时候，结果发生发生ABF101101001110N个输入：F=A+

B+...+N或逻辑运算符，也有用“∨”、“∪”表示运算规则：见1为1,全0为0下一页前一页退出第五页，共五十六页，编辑于2023年，星期一3）非逻辑当决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生，非逻辑真值表逻辑符号AF1AF0110逻辑表达式F=A“-”非逻辑运算符2、复合逻辑运算与非逻辑运算F1=AB或非逻辑运算F2=A+B与或非逻辑运算F3=AB+CD第六页，共五十六页，编辑于2023年，星期一1）异或运算ABF101101001100ABF=1逻辑符号ABF1011010000112）同或运算逻辑表达式F=AB=AB

ABF=1逻辑符号3、其他常见运算运算规则：相同为0,相异为1运算规则：相同为1,相异为0下一页前一页退出逻辑表达式F=AB=AB+AB

第七页，共五十六页，编辑于2023年，星期一ABF100100000111ABFVLVLVLVLVHVL0ABF01001011111VLVHVHVLVHVH电平关系正逻辑负逻辑高电平VH用逻辑1表示，低电平VL用逻辑0表示4、正逻辑与负逻辑（与门）（或门）高电平VH用逻辑0表示，低电平VL用逻辑1表示下一页前一页退出第八页，共五十六页，编辑于2023年，星期一逻辑符号：&=1=ABYABYABYABYYBAYBAYBAYBA国外符号：下一页前一页退出第九页，共五十六页，编辑于2023年，星期一2.2逻辑代数的基本公式和常用公式第十页，共五十六页，编辑于2023年，星期一1、基本公式公理交换律结合律分配律00=001=10=011=10+0=00+1=1+0=11+1=1AB=BAA+B=B+A(AB)C=A(BC)(A+B)+C=A+(B+C)A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)第十一页，共五十六页，编辑于2023年，星期一0-1律重叠律互补律自等律A0=0A+1=1A1=AA+0=AAA=0A+A=1AA=AA+A=A

A=A还原律下一页前一页退出第十二页，共五十六页，编辑于2023年，星期一AB=A+BA+B=AB反演律吸收律A+AB=A某乘积项的部分因子恰好是另一乘积项的全部，则该乘积项多余下一页前一页退出A

（A

+B）=A2、常用公式第十三页，共五十六页，编辑于2023年，星期一AB+ABC=AB+C

某乘积项的部分因子恰好是另一乘积项的补，则该部分因子多余例：A+AB=A+B

消因律第十四页，共五十六页，编辑于2023年，星期一AB+AC+BC=AB+AC(A+B)(

A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)包含律若两个乘积项的部分因子恰好互补，而第三个乘积项含有前两项剩余因子之积，则第三个乘积项多余AB+AC+BCD=AB+AC下一页前一页退出第十五页，共五十六页，编辑于2023年，星期一2.3逻辑代数的基本定理第十六页，共五十六页，编辑于2023年，星期一1、代入定理代入规则：任何一个含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立例：

AB=A+BBC替代B得由此反演律能推广到n个变量：利用反演律下一页前一页退出第十七页，共五十六页，编辑于2023年，星期一反演规则：对于任意一个逻辑函数式F，做如下处理：若把式中的运算符“.”换成“+”,“+”

换成“.”;常量“0”换成“1”，“1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量那么得到的新函数式称为原函数式F的反函数式。注：①保持原函数的运算次序--先与后或，必要时适当地加入括号②不属于单个变量上的非号有两种处理方法非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换将非号去掉，而非号下的函数式保留不变例：F(A、B、C)其反函数为或下一页前一页退出2、反演定理第十八页，共五十六页，编辑于2023年，星期一对偶式：对于任意一个逻辑函数，做如下处理：1）若把式中的运算符“.”换成“+”，“+”换成“.”；2）常量“0”换成“1”，“1”换成“0”得到新函数式为原函数式F的对偶式F′，也称对偶函数

对偶规则：如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。即若F1=F2

则F1′=F2′。使公式的数目增加一倍。求对偶式时运算顺序不变，且它只变换运算符和常量，其变量是不变的。注：函数式中有“”和“⊙”运算符，求反函数及对偶函数时，要将运算符“”换成“⊙”，“⊙”换成“”。

例：其对偶式下一页前一页退出3、对偶定理第十九页，共五十六页，编辑于2023年，星期一2.4逻辑函数及其表示方法第二十页，共五十六页，编辑于2023年，星期一F

=f（A、B、C、...）称为逻辑函数。1、逻辑函数式2、逻辑图输入变量输出变量例：F=ABF=A+BABF1下一页前一页退出一、逻辑函数及其表示方法

F=AB+C＆AB≥1CF第二十一页，共五十六页，编辑于2023年，星期一描述逻辑函数各个变量取值组合和函数值对应关系的表格真值表的写法：列出所有变量的取值组合及相应的输出函数值n个变量有2n种组合ABF1011010000113、真值表ABF101101000011下一页前一页退出第二十二页，共五十六页，编辑于2023年，星期一4、波形图反映输入和输出波形变化的图形又叫时序图第二十三页，共五十六页，编辑于2023年，星期一例：ABCF000001001011100110111011断“0”合“1”亮“1”灭“0”C开，F灭0000C合，A、B中有一个合，F亮11C合，A、B均断，F灭0真值表到函数式挑出函数值为1的项1101111101111每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项这些乘积项作逻辑加输入变量取值为1用原变量表示;反之，则用反变量表示ABC、ABC、ABCF=ABC+ABC+ABC下一页前一页退出二、各种表示方法间的相互转换第二十四页，共五十六页，编辑于2023年，星期一F=ABC+ABC+ABC乘积项用与门实现，和项用或门实现下一页前一页退出函数式到逻辑图第二十五页，共五十六页，编辑于2023年，星期一

1

＆＝1≥1ABC逻辑图到函数式CBCA⊕BA⊕B+BCA⊕B+BCF=第二十六页，共五十六页，编辑于2023年，星期一真值表到波形图ABCF00000100101110011011101100001101101111101111CAB第二十七页，共五十六页，编辑于2023年，星期一三、逻辑函数的标准形式1、函数表达式的常用形式

一个逻辑函数可以写成几种不同类型的形式。例如：F(A、B、C)

③“与非―与非”式②“或―与”式④“或非―或非”式⑤“与―或―非”式上述①式为“与-或”表达式，也称“积之和”表达式；②式为“或-与”表达式也称“和之积”表达式；两者为逻辑函数的基本形式①“与―或”式下一页前一页退出第二十八页，共五十六页，编辑于2023年，星期一最小项：n个变量有2n个最小项，记作mi3个变量有23（8）个最小项m0m100000101m2m3m4m5m6m7010011100101110111234567n个变量的逻辑函数中，包括全部n个变量的乘积项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）1）最小项和最大项乘积项和项最小项二进制数十进制数编号最小项编号i-各输入变量取值看成二进制数，对应的十进制数2、逻辑函数的标准形式

下一页前一页退出第二十九页，共五十六页，编辑于2023年，星期一001ABC000m0m1m2m3m4m5m6m7100000000100000011010011100101110111000000000000100000010000001000000100000010000001111111三变量的最小项

最小项的性质：同一组变量取值任意两个不同最小项的乘积为0。即mimj=0(i≠j)全部最小项之和为1，即任意一组变量取值，只有一个最小项的值为1，其它最小项的值均为0具有相邻性的两个最小项之和可合并成一项并消去一个因子。

相邻性：两个最小项仅有一个因子不同

例：ABC+ABC=AB第三十页，共五十六页，编辑于2023年，星期一2）标准积之和(最小项）表达式式中的每一个乘积项均为最小项F(A、B、C、D)例：求函数F(A、B、C)的标准积之和表达式解：F(A、B、C)利用反演律利用互补律，补上所缺变量C下一页前一页退出第三十一页，共五十六页，编辑于2023年，星期一ABC000001010011100101110111mi01234567FMi0123456700010111例：已知函数的真值表，写出该函数的标准积之和表达式

从真值表找出F为1的对应最小项解:011331101551110661111771然后将这些项逻辑加F(A、B、C)下一页前一页退出第三十二页，共五十六页，编辑于2023年，星期一3）最大项n个变量有2n个最大项，记作in个变量的逻辑函数中，包括全部n个变量的和项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）同一组变量取值任意两个不同最大项的和为1。即Mi+Mj=1(i≠j)全部最大项之积为0，即任意一组变量取值，只有一个最大项的值为0，其它最大项的值均为1最大项：最大项的性质：下一页前一页退出第三十三页，共五十六页，编辑于2023年，星期一4）最小项与最大项的关系相同编号的最小项和最大项存在互补关系即:

mi

=Mi

Mi

=mi若干个最小项之和表示的表达式F，其反函数F可用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。

例：m1m3m5m7==下一页前一页退出第三十四页，共五十六页，编辑于2023年，星期一2.5逻辑函数的化简第三十五页，共五十六页，编辑于2023年，星期一函数的简化依据

逻辑电路所用门的数量少

每个门的输入端个数少

逻辑电路构成级数少

逻辑电路保证能可靠地工作降低成本提高电路的工作速度和可靠性下一页前一页退出第三十六页，共五十六页，编辑于2023年，星期一方法：并项：利用将两项并为一项，且消去一个变量B消项：利用A+AB=A消去多余的项AB配项：利用和互补律、重叠律先增添项，再消去多余项BC消元：利用消去多余变量A一、公式法的化简下一页前一页退出第三十七页，共五十六页，编辑于2023年，星期一例：试简化函数解：利用反演律配项加AB消因律消项AB下一页前一页退出第三十八页，共五十六页，编辑于2023年，星期一

k图为矩形图。n个变量的函数--k图有2n个小方格，分别对应2n个最小项；

k图中行、列两组变量取值按循环码规律排列，1、卡诺图（K图）三变量K图二变量K图四变量K图AB1010

m0

m1

m2

m3ABC0100011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m70001111000011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m12

m13

m14

m15

m8

m9

m10

m11ABCD二、图形法的化简第三十九页，共五十六页，编辑于2023年，星期一K图的特点

k图中行、列两组变量取值按循环码规律排列，图中几何相邻的最小项在逻辑上相邻。有三种几何相邻：邻接、相对（行列两端）和对称0001111000011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m12

m13

m14

m15

m8

m9

m10

m11ABCD四变量K图2、卡诺图的特点上下左右几何相邻的方格内，只有一个因子不同下一页前一页退出第四十页，共五十六页，编辑于2023年，星期一1、已知函数为最小项之和表达式(最大项之积表达式），存在的最小（大）项对应的格填1（0），其余格均填0（1）。2、若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为1的那些最小项对应的方格填1，其余格均填0。例子3、函数为一个复杂的运算式，则先将其变成与或式(或与式)，再用直接法填写。例子3、用卡诺图表示逻辑函数下一页前一页退出例子第四十一页，共五十六页，编辑于2023年，星期一4、用卡诺图化简逻辑函数（1）画圈①相邻的1

圈在一起，，圈为矩形。②圈中1的个数为2n个③圈越大越好④所有的1必须圈完⑤1

可以重复圈，但每个圈中至少有一个未被圈过的1下一页前一页退出第四十二页，共五十六页，编辑于2023年，星期一（2）合并最小项每个圈一项保留未变化的因子0100011110001110CDAB例：Y=AB+AC+BC+CDAB1111AC1111

BC1111CD1111Y=C+D+AB

最后将全部积项逻辑加即得最简与或表达式下一页前一页退出第四十三页，共五十六页，编辑于2023年，星期一0100011110001110CDAB例：Y=A+DY=ABC+ABD+CD+ABC+ACD+ACD111111111111例：Y=ABC+AB+AD+C+BD0100011110001110CDAB11111111111111Y=C+D+B下一页前一页退出第四十四页，共五十六页，编辑于2023年，星期一0100011110001110CDAB例：1111111Y=ABCD+ABD+ACD+ABCDY=AC+BD0100011110001110CDAB例：Y=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD1

111

1

1Y=BC+BD下一页前一页退出第四十五页，共五十六页，编辑于2023年，星期一例：Y=∏M(5,7,13,15)下一页前一页退出0100011110001110CDAB0000

1111

11

11

1111Y=b+d第四十六页，共五十六页，编辑于2023年，星期一AB5、具有无关项的逻辑函数的化简（1）约束项约束：对输入变量所加的限制，这组变量叫做具有约束的变量例：水塔中装有两个水位检测传感器，当水位高于传感器时，输出为1，否则为0，当水位高于A时，水位溢出报警器Y1输出为1，当水位低于B时，水位过低报警器Y2输出为1。

A

BY1Y2

00010100101110约束项：不会出现的变量取值所对应的最小项下一页前一页退出第四十七页，共五十六页，编辑于2023年，星期一如果在输入变量的某些取值下，不管函数值是0还是1,都不影响逻辑电路的功能；那末，在这些变量取值下，其值等于1的最小项称为任意项.

约束项和任意项统称为无关项.（2）任意项（3）无关项（4）无关项的表示无关项可用∑d(……）表示。例：∑d(m2，m5，m7）约束项也可表示为m2＋m5＋m7＝0下一页前一页退出或d（m2+m5+m7）第四十八页，共五十六页，编辑于2023年，星期一AB（6）具有无关项的逻辑函数的化简例：水塔中装有两个水位检测传感器，当水位高于传感器时，输出为1，否则为0，当水位高于A时，水位溢出报警器Y1输出为1，当水位低于B时，水位过低报警器Y2输出为1。

A

BY1Y2

00010100101110

在卡诺图和真值表中，无关项对用的取值用×（Φ）表示××AB1010

AB1010

Y1Y200×110×0Y1=AY2=B×可圈可不圈第四十九页，共五十六页，编辑于2023年，星期一例：已知函数：

求其最简与或式0100011110001110CDAB解：填函数的卡诺图111111100000化简不考虑约束条件时：考虑约束条件时：0100011110001110CDAB1111111××××00000下一页前一页退出第五