抛物线的简单几何性质

第二章§2.4抛物线2.4.2抛物线的简单几何性质学习目标1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练知识点一抛物线的范围思考

观察右侧图形，思考以下问题：(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心.答案思考

(2)根据图形及抛物线方程y2＝2px(p>0)如何确定横坐标x的范围？由抛物线y2＝2px(p>0)有

所以x≥0.所以抛物线x的范围为x≥0.抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.答案梳理抛物线y2＝2px(p>0)中，x∈

，y∈

.抛物线y2＝－2px(p>0)中，x∈

，y∈

.抛物线x2＝2py(p>0)中，x∈

，y∈

.抛物线x2＝－2py(p>0)中，x∈

，y∈

.(－∞，0][0，＋∞)(－∞，＋∞)(－∞，0](－∞，＋∞)(－∞，＋∞)[0，＋∞)(－∞，＋∞)知识点二四种形式的抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x轴x轴y轴y轴焦点准线方程顶点坐标O(0，0)离心率e＝1通径长2p知识点三直线与抛物线的位置关系当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有

个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有

个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线

公共点.当k＝0时，直线与抛物线的轴

，此时直线与抛物线有

个公共点.1两一没有平行或重合类型一依据抛物线的几何性质求标准方程∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0).∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程分别为x＝－3或x＝3.例1

抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.解答引申探究将本例改为“若抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4”，求此抛物线的标准方程.解答由题意，设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，所以|AB|＝2|m|.因为△OAB的面积为4，用待定系数法求抛物线方程的步骤反思与感悟跟踪训练1已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝

，求抛物线方程.解答由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上.故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2).∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，∴点A与B关于x轴对称，∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x.类型二抛物线的焦半径和焦点弦问题由抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，得直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x得(x－2)2＝8x即x2－12x＋4＝0.所以x1＋x2＝12，弦长为x1＋x2＋p＝12＋4＝16.例2

(1)过抛物线y2＝8x的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为____.16答案解析(2)直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为_______________________.x＋y－1＝0或x－y－1＝0答案解析∵抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，若l与x轴垂直，则|AB|＝4，不符合题意，∴可设所求直线l的方程为y＝k(x－1).(3)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为___.答案解析(1)抛物线上任一点P(x0，y0)与焦点F的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为：反思与感悟(2)已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：⑤以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.(3)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.跟踪训练2已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；解答因为直线l的倾斜角为60°，若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.解答命题角度1与抛物线有关的最值问题类型三抛物线综合问题解答抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，如图，过点P作PN垂直x＝－1于点N，由抛物线的定义可知|PF|＝|PN|，即∠PAN最小，即∠PAF最大，此时，PA为抛物线的切线，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，所以Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0，解得k＝±1，(1)若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点.(2)以上问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决.反思与感悟

跟踪训练3已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是由题意知，直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线.由抛物线的定义知，点P到直线l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1，0)的距离.故所求最值可转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得点P到点F(1，0)和到直线l1的距离之和最小，最小值为F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即d＝

＝2.答案解析命题角度2定值或定点问题例4抛物线y2＝2px(p>0)上有两动点A，B及一个定点M，F为抛物线的焦点，若|AF|，|MF|，|BF|成等差数列.(1)求证：线段AB的垂直平分线过定点Q.证明设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，即t(x－x0－p)＋yp＝0，可知线段AB的垂直平分线过定点Q(x0＋p，0).(2)若|MF|＝4，|OQ|＝6(O为坐标原点)，求抛物线的方程.解答反思与感悟在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数关系的利用、焦半径的转化等.设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，解得b＝2，故直线过定点(2，0).证明答案解析1.已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为√234512.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为答案解析√234512345123451易知抛物线的准线方程为x＝－1，则线段AB的中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义易得|AB|＝8.3.过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|＝___.8答案解析4.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝___.234512答案解析设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，易知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，∴y1＋y2＝2p，y1y2＝－p2.即(2p)2－4×(－p2)＝32.又p>0，∴p＝2.234515.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且|AK