弹性力学之平面问题的极坐标解答

第四章平面问题的极坐标解答第一节极坐标中的平衡微分方程第二节极坐标中的几何方程及物理方程第三节极坐标中的应力函数与相容方程第四节应力分量的坐标变换式第五节轴对称应力和相应的位移第四章平面问题的极坐标解答第六节圆环或圆筒受均布压力第八节圆孔的孔口应力集中第九节半平面体在边界上受集中力第十节半平面体在边界上受分布力例题第七节压力隧洞区别:直角坐标中,

x和y坐标线都是直线,有固定的方向,x和y的量纲均为L。

极坐标中,坐标线（=常数）和坐标线（=常数）在不同点有不同的方向;相同:两者都是正交坐标系。直角坐标(x,y)与极坐标比较：坐标线为直线,坐标线为圆弧曲线;的量纲为L,的量纲为1。这些区别将引起弹性力学基本方程的区别。对于圆形，弧形，扇形及由径向线和环向围成的物体，宜用极坐标求解。用极坐标表示边界简单，使边界条件简化。应用§4－1极坐标中的平衡微分方程在A内任一点（，）取出一个微分体，考虑其平衡条件。微分体--由夹角为的两径向线和距离为的两环向线围成。两面不平行，夹角为；两面面积不等，分别为，。从原点出发为正，从x

轴向y轴方向转动为正。注意：平衡条件：平衡条件考虑通过微分体形心C的向及矩的平衡，列出3个平衡条件:注意：

--通过形心C的力矩为0，当考虑到二阶微量时，得--通过形心C的向合力为0，整理，略去三阶微量，得同理，由通过形心C的向合力为0可得：极坐标下的平衡微分方程：

几何方程--表示微分线段上形变和位移之间的几何关系式。§4－2几何方程及物理方程极坐标系中的几何方程可以通过微元变形分析直接推得，也可以采用坐标变换的方法得到。下面讨论后一种方法。根据直角坐标与极坐标之间的关系，有注意：可求得根据张量的坐标变换公式对平面问题：几何方程由此可得比较可知极坐标中的物理方程直角坐标中的物理方程是代数方程，且x与y为正交，故物理方程形式相似。物理方程极坐标中的物理方程也是代数方程,且与为正交，

平面应力问题的物理方程：物理方程对于平面应变问题，只须作如下同样变换，边界银条件--应用黑极坐悉标时旺，弹云性体尿的边菠界面未通常拘均为值坐标屑面，呈即：边界姓条件故边睬界条化件形限式简篇单。以下初建立瞒直角堪坐标鼠系与义极坐赠标系等的变醉换关插系，哗用于话：§4垮－3极坐蓝标中扑的应秤力函勺数丛与相嫌容方董程1、悦物魂理量脂的转类换;2、拆从直饭角坐沿标系厚中的啄方程计导出第极坐身标系中诱的方遵程。函数的变筑换：将式帝或惊代锋入，坐标驱变量的变略换：反之1.诵从直流角坐龙标系尖到极耽坐标赞系的巨变换坐标冠变换或矢量的变群换：位移坐标询变换将对造的导雪数，筝变换中为对汉的提导数游：可看钥成是编，踩而柴又滩是饲的眨函数纸，即阶是通所过中远间变屠量徒，怎为坑的复烤合函嘴数。有:坐标取变换导数的变华换：而代入盯，即茄得一阶题导数抗的变病换公笛式,一阶择导数，。展开气即得犯：二阶纹导数的变升换公简式，可扁以从称式(e)导出科。例悄如二阶费导数拉普醒拉斯谁算子的变滑换：由式召（f）得二阶增导数3.孟极坐吊标中肥应力骗用应顷力函撇数蒸表示可考血虑几增种导乐出方剖法：2.术极坐搬标中慕的相艘容方融程从平岗衡微肚分方押程直稼接导蚕出（点类似喇于直角沾坐标岸系中阿方法朵）。相容壮方程应力胞公式(2)柏应用障特殊驻关系位式，耻即当x轴转点动到徒与轴重须合时乌，有炊:(3安)逼应扭用应悲力变聋换公到式（怎下节港）应力仍公式(4准)骗应拉用应矛力变之换公孝式（怠下节摸），而代入详式弊(f)室，得出贞的惠公式惨。比较秃两式仔的均的系都数，扬便得往出肥的公那式。应力猪公式当不邮计体肿力时突应力启用应寄力函烈数表商示的筋公式应力绒公式4.附极坐旦标系姓中按之应力票函数柔求解走，应以满足：(1虑)A内相茧容方卧程(2狡)主上的板应力土边界啦条件米（设他全部倍为应力边开界条态件）益。(3盈)多连围体中沾的位再移单辜值条纹件。按邪求爆解应力娱分量恢不仅主具有盯方向敬性，铸还与史其作叔用面歼有关涂。应力救分量的坐望标变级换关馒系：§4谣－4刘应巷力分清量的浩坐标凤变换告式1、黑已知杠，求老。（含愉）的三角朝形微呼分体，厚慰度为民1，绣如下阅图A，考虑旧其平渣衡条巷件。取出盏一个纯包含x、疾y面(含风)烧和面得同理售，由得类似间地取卡出包烟含x面,y面和轮面的苍三角欲形微机分体轻，厚锁度为剂1，带如图B，考虑亡其平绍衡条宋件，得应用造相似敲的方钥法，乔可得位到2、已知周，种求3、扎可以粉用前迎面得遥到的劈燕求一哈点应搅力状更态的镇公式尼推出所。也可凡以用德应力勺坐标泛变换薪公式更得到轴对跨称，即任绕轴厚对称季，凡挣通过县此轴乘的任胖何面闲均为陆对称榆面。轴对摔称应庄力问摧题：§4饶－5息轴杆对称磁应力看和相院应的半位移轴对鬼称应去力问皆题应力圆数值耐轴对程称--仅为惑的晌函数羊，应力盾方向夕轴对映称--展开叔为相应垦的应录力函扫数郊，艰所以应力机公式钥为：（1春）相容染方程的通盟解这是一个典型的欧拉方程，引入变量，则。则原方程变为

此方程解的形式为代入整理得特征方程为

由此可得应力函数的通解为

（4-10）(2)

应力通解：（4-11）将应变代入几何方程，对应第一、二式分别积分，应变通解：将应力代入物理方程，得对应的应变分量的通解。应变也为轴对称。(4)求对应的位移：分开掏变量安，两祸边均院应等兼于同一搂常量F,将饱代钢入第三坐式，由两期个常允微分揪方程趋，其中代入猜，得轴对名称应阻力对浅应的杀位移测通解虏，I，罩K—为x、倡y向的读刚体摊平移乐，H—为绕o点的巨刚体班转动亲角度相。位移咐通解（4让-1代2）说明（2兰）在查轴对钉称应力毙条件脖下，帆形变移也是兔轴对们称的,般但位泳移不螺是轴哥对称滔的。（3长）实粥现轴复对称善应力市的条堤件是买，物最体形同状、体力惩和面患力应纹为轴肚对称吗。（1挑）在元轴对贴称应力庄条件讲下，叠(4辜-1斧0、另11湿、1俱2),为应喉力函伞数、趣应力淡和位羡移的另通解黎，适用哨于任课何轴古对称炉应力氏问题白。说明(4劈燕)粉轴对傅称应采力及凯对应祥的位痒移的替通解慈已满浸足相温容方点程，葬它们捏还必肯须满梦足边傅界条抖件及角多连瞧体中西的位琴移单摄值条化件，侄并由当此求庙出其灯系数A、B及C。说明(5湾)挠轴对闷称应忍力及腹位移暴的通折解，昂可以浑用于仰求解随应力挨或位满移边纯界条鄙件下右的任繁何轴奸对称束问题援。(6逃)鬼对于优平面活应变忠问题境，只考须将创换为圆环幻玉(平伯面应刺力问任题)贿和圆肾筒(员平面茅应变份问题级)受轿内外挤均布窄压力鹿，属侮于轴对但称应辽力问题喷，可以点引用发轴对使称应脚力问涝题的液通解留。§4墙－6窗圆环枝或圆未筒受巴均布突压力问题问题边界宿条件焦是边界绒条件考察多连份体中沟的位骡移单织值条劈燕件：圆环西或圆你筒，冷是有绳两个抵连续记边界何的多犹连体景。而保在位足移解北答中彻，式(b)中的都条销件是赌自然爬满足涂的，资而其站余两璃个条历件还罗不足薄以完路全确疑定应冰力解工答(a)燥。单值闻条件是一阀个多塌值函贤数：搏对于祸和交是同水一点仍，但赔式(c)却得葛出两朴个位赌移值所。由源于同嘱一点点的位垮移只烂能为航单值我，因舌此B=密0。单值骑条件由B=棵0和边敢界条卧件怖(b)惭，便可娃得出拉梅寒解答狠，单值工条件(4过-1健3)解答缸的应极用：（1晴）只避有内容压力（2匙）只河有内近压力暴且炊，成察为具有变圆孔还的无泊限大盈薄板终（弹筒性体砌）。（3摧）只说有外尾压力单值慰条件单值无条件泄的说顺明：（1烂）多所连体秧中的割位移焦单值名条件灾，实质明上就是物体拳的连督续性遍条件（即宅位移骑连续铁性条件膊）。（2维）在宅连续拿体中斗，应拆力、艺形变士和位菜移都应为客单值废。单值棉条件按位废移求报解时棒：取蝇位移忠为单弟值，龙求形录变（装几何慨方程惹）也拿为单虾值，宽求应悬力（箱物理朋方程菌）也恭为单忽值。按应腿力求遵解时：取赌应力纪为单真值，省求形急变（难物理厅方程源）也恐为单翠值，译求位考移（独由几鸭何方姥程积能分）马，常林常会坚出现腊多值目项。所以耽，按者应力桨求解砌时，的对于使多连哥体须焦要校究核位裤移的添单值绍条件撒。单值蚀条件对于扇单连驻体，律通过宗校核坏边界刑条件浊等，称位移我单值沸条件箱往往棕已自旗然满骄足；对于爽多连颂体，顷应校樱核位讲移单离值条宫件，眉并使恭之满漂足。§4杂－7炸压力泥隧洞本题鄙是两宾个圆站筒的接触桃问题，两虚个均垫为轴个对称顿问题途（平袖面应匀变问观题）凤。1.鼓压力位隧洞--圆筒杯埋在洞无限等大弹架性体乓中，逆受有泳均布胞内压油力。羊圆筒魄和无遣限大践弹性再体的查弹性彼常数爪分别炭为压力愈隧洞因为默不符同合均寒匀性诱假定泥，必行须分弯别采浅用两抛个轴戴对称拦解答户：圆筒无限令大弹捡性体压力猫隧洞应考擦虑的拼条件巾：（1袍）位患移单里值条慎件：（2晓）圆撤筒内议边界械条件静：（3摆）无吓限远喂处条惭件，章由圣敌维南于原理,压力绞隧洞由（只1）缠—（唤4）钞条件奋，解乳出解百答（店书中狗式（冒4埋-1挪6）栏）。（4强）费的接触臂条件，当哀变形窜后两度弹性卡体保持谜连续驴时，稀有压力党隧洞2.束一般山的接赞触问似题。(1唐)完全敢接触：变形岸后两哈弹性葱体在s上仍镜然保须持连砍续。讨这时泽的接岔触条筋件为愈：在s上当两趁个弹订性体普，变经形前瓜在s上互缘瑞相接袋触，狼变形调后的接触迎条件可分劈燕为几泻种情恢况：接触俱问题(2开)有摩送阻力感的滑扯动接崭触：变棍形后武在S上法佩向保册持连拨续，兆而切背向产雷生有颗摩阻座力的昆相对浊滑移障，则麻在S上的移接触令条件分为其中C为凝群聚力残。接触吼问题(4耐)局部卷脱离：变狭形后岂某一坏部分冈边界炎上两花弹性脱体脱里开，秒则原歌接触貌面成毕了自族由面煎。在合此部规分脱疫开的背边界普上，胶有(3滚)光滑艘接触：变宜形后净法向乡丰保持叹连续棚，但稳切向凳产生议无摩医阻力劫的光葛滑移借动，羞则在s上的坝接触督条件架为接触冶问题在工水程上费，有穿许多哄接触异问题大的实爬际例慰子。忙如机流械中数轴与咱轴承挺的接颂触，罗基础苗结构扫与地维基的迎接触袜，坝集体分筐缝处屠的接滨触等娘等。市一般福在接瓣触边赞界的蝇各部场分，众常常倒有不处同的相接触纽奉条件跪，难拌以用品理论洞解表滚示。息我们晋可以掩应用犬有限恢单元展法进杰行仔奸细和谣深入漠的分殿析。接触害问题3.洁有攻限值龟条件图（a）设图愤（a）中半芒径为r的圆次盘受卷法向纹均布喇压力q作用，试求执其解漆答。有限怒值条嚼件引用猫轴对木称问健题的担解答朱，并节考虑摩边界须上亲的条脆件，疲上述师问题权还是容难以拘得出赌解答作。这肃时，赚我们尾可以仗考虑所谓有限晌值条居件，即桶除了倘应力冠集中盟点外胶，弹餐性体吗上的僻应力蛛应为鸽有限判值。而书揭中式羞(4反-1灭1)牲的应科力表域达式掌中，闷当柴时，彩和古中的蚊第一充、二嫂项均想趋于额无限染大，旦这是库不可模能的性。按诱照有题限值首条件荡，辞当声时，劳必须派有A=荷B=0。有限起值条绍件在弹筋性力测学问爆题中哭，我悲们是统在区组域内表和边腐界上帆分别仍考虑北静力派条件悲、几投何条蓝件和爸物理勺条件异后，垄建立摧基本减方程嗽及其鄙边界变条件外来进扔行求垮解的肃。一般城地说畜，单裹值条宫件和滥有限谱值条法件也膝是应浙该满村足的拌，但允是这搜些条悄件常拳常是师自然榴满足撕的。咬而在下列尽的情鄙形下须门要进行遇校核：(1蒙)按应步力求雄解时克，多林连体呢中的丈位移亿单值炊条件。有限避值条请件在弹络性力毕学的助复变迫函数连解法体中，扑首先慌排除对不符创合单对值条漏件和沈有限刚值条酿件的冷复变守函数叼，从皱而缩兽小求朋解函最数的产范围亏，然胸后再众根据戏其他峰条件杜进行范求解便。(2语)无应徒力集梅中现貌象时，乘和允，或处的应力游的有嘉限值填条件(因雅为正柄、负己幂函纲数在窗这些碍点会馅成为亏无限闪大)趁。有限骄值条弦件工程映结构事中常指开设灶孔口豪最简环单的刑为圆禾孔。本节秃研究允‘小孔络口问秤题’，师应符生合（1壤）孔剪口尺馋寸＜绣＜弹针性体捆尺寸胶，孔口守引起粮的应茎力扰达动局威限于久小范乐围内不。§4臣－8煮圆丙孔的吵孔口枝应力垄集中小孔敢口问痕题（2范）孔否边距木边界葛较远（＞样1.曾5倍脑孔口箭尺寸城）孔口吉与边奥界不慌相互刷干扰捷。当弹求性体贵开孔港时，凭在小墨孔口妇附近烤，将发生应力千集中倍现象。小孔纽奉口问院题1.呢带小抵圆孔芝的矩爸形板墓，四边摘受均稍布拉树力q，图(a)霉。双向嚷受拉内边外界条齿件为沙，将外脉边界气改造赏成为当圆边脏界，黎作则有利用效圆环使的轴华对称个解答，取且R＞＞r，得应力绣解答秤：双向甲受拉（4描-1侵7）2.清带暖小圆障孔的零矩形谣板，x,谈y向分偷别受皱拉压傲力，图发(b)。所以六应力词集中托系数霸为2从。内边的界条絮件为最大计应力奋发生双在孔培边，作掩圆子，求令出外虽边界葬条件限为双向象受拉尾压应用半逆榨解法求解蛋（非但轴对祝称问籍题）育:由边衰界条伪件，借假设代入翻相容荐方程玩，由展~贞关系挠，假番设垒，所伸以设双向飘受拉剧压除去乔，狂为典通型欧太拉方耀程，陷通过缘瑞与前镰面§4悠－5相同辜的处翁理方夸式，贤可以得解然后雕代回都式（d)臂,即可味求出把应力睬。双向岗受拉筋压校核拥边界雄条件打(b)考,店(丧c)俊，求出A,B,C,D，得应力桑解答：在孔圈边餐，倡，最名大、歌最小炮应力滋为吃，应之力集明中系扑数为耳。双向掏受拉泄压（4涛-1察8）3.桨带小乓圆孔夺的矩跳形板它，只受x向均折布拉录力q。单向火受拉应用绪图示士叠加欲原理变（此击时令像）得应力懒解答:单向羊受拉（4聋-1帜9）讨论薄：（1凑）孔绩边应至力，最大鹅应力妨3q，最小串应力哥-q。单向锤受拉（2坝)y轴锣上应蜻力，可见筹，距市孔边炕1.朴5D处刻，芝由于体孔口君引起吓的应蜓力扰承动<预5%甚。单向妻受拉（3影）x轴雅上页应力，同样夸，距欠孔边迈1.云5D处拐，扩由于胡孔口倒引起慕的应倦力扰暖动<伏5%侦。单向鹊受拉4.而小孔迹口的帆应力鸟集中萌现象（1洋）集中轰性--孔口葡附近堪应力桌>>尸远处暗的应肿力，孔口凯附近守应力谎>>膝无孔练时的坚应力苍。（2胀）局部棒性--应力鲜集中什区域墓很小伍，约婆在距努孔边1.猾5倍伟孔径摇（D）范围沸内。蛛此区驱域外勤的应兆力扰讨动，跨一般损<5倡%。应力通集中宗现象（3应）凹角刷的角扇点应霉力高铁度集计中，曲伐率半侮径愈宁小，肢应力邻愈大胳。因此歪，工饶程上尤应尽常量避从免接拐近直垫交的笔凹角宰出现争。如正享方孔统的壳角点自，角点逆曲率顿半径应力巡寿集中哀现象5.芳一般掉小孔举口问纹题的扯分析结：（1女）假晴设无动孔，圆求出肠结构鲁在孔习心处醋的离、、杰。（2蜜）求痒出孔晃心处困主应剧力（3柜）在票远处至的均挎匀应描力场响作用边下，求出嗽孔口狂附近堪的应喜力。小孔绑口解纲法当然溜，对孝于左太右边如界受扮均匀兆拉力摔作用唯带孔线平板棵的应榴力集敏中问零题，等还可迅以用醉如下铸方法悼求解单向晨受拉对于何无孔可板，老板中朽的应奶力为与之益相应派的应春力函施数为转为接极坐柿标表己示为单向垒受拉现参轰照上箭述无挎孔板禾的应嘉力函授数来叼选取慎一个纷应力眼函数棚，使薄它适寻用于妄有孔基板。四即代入缠相容榴方程拐得：解得朵：单向精受拉由此克求得愤应力婚分量笼为：解得眼：单向蜂受拉应力峡分量尖为：应用销弹性浮力学知问题率的复变队函数站解法，已答经解出类许多物各种梅形状罗的小饮孔口路问题腔的解糟答。复变函数田解法扎是一嗓种求笋解弹番性力菌学解撒答的眉解析房诚方法，它将仿复变终函数谈的实祝部和细虚部绵(均咏为实稍函数线)分萌别表示仙弹性迹力学缩慧的物醒理量悠，将旱弹性隙力学初的相爽容方程(攻重调暮和方撒程述)也玻化为培复变废函数卧方程负，并雅结合边界叹条件得进行慰求解镜。6.津其授他小寄孔口桥问题饮的解雄答为了节了解苦小孔筛口应滴力集柏中现墨象的题特性葡和便于工芳程上葱的应谁用，燥我们志把远慰处为课(昏压应力场旗)作岭用下唇，椭饿圆类盈孔口夹、矩黎形类徒孔口世和廊苏道孔口凶的应秃力解幼答表夺示在柜下图沙中，钳它们帅的应祸力分布情攻况如究下。-43/吸2ba11-2绪.2划312/捎3-1101-311.奴00-2幅.5-1冤.3武5（1喉）在字(压乔应力伸场)提下，用孔口恳的最大拉应暂力发生涨于孔火顶和饼孔底订。椭芽圆类台孔口之均为,矩恭形类极孔口薯的~,标怨准廊道辅孔口覆为0.乱90和0.晒92q。1.挺8r-1饭.7(c)标准叙廊道豆孔口r0.圣900.宾92（2极）在秧（压缺应力明场）榆下，脑孔口吉的最大峡压应盗力发生晃在孔得侧。桨椭圆简类孔公口（低垂直觉半轴稿为b，水平撞半轴洽为a）中，竖当杏成为考一条倒裂缝时殖，到；当除；则当霸，~。矩形劳类孔刊口藏从贵，越小挠，则溉压应桑力集贴中系仙数越塔接近抚1。另标准矮廊道僻左右阀。半平社面体期在边备界上犬受集逃中力政作用食如图察。它是航下图胡所示问题环当的特已殊情鄙况。§4拆－9半平患面体颗在边件界上眯受集殿中力半逆数解法用半逆乎解法求解丘。（1低）假弊设应政力：F为单趟位宽俱度上均的力闯，按布量纲城分析救，应每力每应为搁:半逆欢解法（2损）推颠测椒应位为（3值）代奋入血，耳得求出f之解鼓，代族入弃，其中淘前两且项即Ax吐+B茫y，与应谊力无胁关，伏删去阵。则取厨应力垄函数惑为（5裳）考丽虑边葬界条栋件,因有锐集中检力作泽用于钞原点午，故边变界条而件应疼考虑狱两部禾分：（4筹）由租求应腔力,(b)在原做点O附近叹，我壁们可向以看脚成是估一段小边顿界。巨在此太小边矿界附姐近，亏有面即力的饿作用,而面紧力可办以向唐原点o简化造为作逃用于O点的饰主矢教量F，和主液矩为0的情镇形。将小慨边界溪上的肯应力让边界寒条件毒应用圣维抱南原理来进申行处伤理。圣维狭南原披理的陷应用可以有很两种厕方式齿：(a)不包债含原脂点O，则在显然端这条态件是赵满足量的。即,(1谜)在同斧一小嚷边界魄上，使充应力栗的主黑矢量古和主嫂矩,狡分别彩等于瓣对应须面力不的主钞矢量象和主恩矩(数梢值相垒等，探方向劣一致翅)，致共有3个条眉件。(2胖)取出师包含甲小边星界的一部描分脱辞离体，并姻考虑使此脱读离体难的平瞧衡条丙件，同样