高三数学(理科)综合内切球和外接球问题(附习题)

2731427314高考数学中内切球和外球问题一有外球问如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接.有多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点。一、直接公式)1、求正方体的外接球的有关问题例若长3的方体的顶点都在同一球面上该的表面积为______________.解析：球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半.故表面积为例一正体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为，该球的体积为___________.2、求长方体的外接球的有关问题例（2007年津高考题）一个方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为

，则此球的表面积为

解析：体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为，故球的表面积为例、已知各顶点都在一球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（C）.

20

C.

24

32解析：长、宽、高分别为2，

8h球2R8h球2R3.求多面体的外接球的有关问题例5.一六棱柱的底面是正六形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同9一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为３，则这个球的体积为x6x解设六棱柱的底面边长为，为，则有

,．∴正六棱柱的底面圆的半径

r

，球心到底面的距离.∴外接球的半径Rr

3

小结本是运用公式

Rr

求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公.二、构造补形)1、构造正方体例若棱的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，其外接球的表面积是解把个三棱锥可以补成一个棱长为的正方体于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.则有

∴

R

2

94

故表面积

S

小结一地，若一个三棱锥的条侧棱两两垂直，且其长度分别为

a、、

，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体长体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径设其外接球的半径为，有

2

a

2

2

2

出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

ABCDAB=2DC=2DAB=60即三棱锥为ABCDAB=2DC=2DAB=60即三棱锥为四面体此这与例例一个四面体的所有棱长都，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（A）

C.

解析联只有正方体中有这么相等的线段以构造一个正方体再找棱长相等的四面体，如图2四面体满足条件，由此可求得正方体的棱长为，体对角线为，而外接球的直径也为

例（2006年东高考题在腰形中，，，为AB的点，将ADE与BEC分沿ED、向折，使A、重于，三棱锥的接球的体积为C）.

4327

62

C.

68

624

解析图）ADAE=EB=BC=DC=DE=CE=1P-DCE就完全相同了

D

C图3

CDCD=3OBCADCDCD=3OBCAD例（2008年江高考题）已知的面上四点AB、、，

面

，AB

，

3

，则球的积等于

解析：

3

，则此长方体为正方体，所以长即为外接球的直径，利用直角三角形解出.故球的积等于

92

（如图）OB

A图4

2、构造长方体例9.知点AB、、D在一个球面上

AB平BCD

，，若AB6,AC=2

，则球的体积是

解析：构造下面的长方体，于是为的直径（如图5）AOB

C

D图5

例正棱的面边长和各侧棱长都为，SO1在中球AC例正棱的面边长和各侧棱长都为，SO1在中球ACABCDBAC球.故三寻轴截面圆径法S、、、C、D

都在同一球面上，则此球的体积为

解球必1所的直线上.

S∴的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就

D

C是外接球的半径.

A

图3

O

B

2，AC

2

2

∴

是C为斜边的t

∴

2

是外接圆的半径，也是外接球的半故

3

五确定球心位置法例在形中，

AB4,

，沿将矩形折一直二面角，则四面体的接球的积为（

C）

D

12512

1259

C.

1256

1253

AO

C解点到面体的四个顶点

、、C、D

的距离相等为

4

B四面体的外接球的球心，

ROA

5426【例题棱锥的四个顶点在球

的球面上，

且，，，

求

的体积。

．．解：

所以知

所以取斜边的中点，即为该四面体的外接球的球心所以该外接球的体积为（陕理•）个三棱锥的四个顶点都在半径为的球上其底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．

34

B．

3334答B直棱柱

BC11

的各顶点都在同一球面上，若AC21

，则此球的表面积等于。解在

ABC

中

ABAC

BAC

可得

3

由正弦定理可

外接圆半径设此圆圆心为为，在RT

中，易得球半径

R

，故此球的表面积为

．正三棱柱

BC11

内接于半径为2的球，若A两点的球距离为，正三棱柱的体积为．答案

表面为23的正八面体的各个顶点都在同一个面上，则此球的体积为A．

B．

C．

23

D．

2

答A

【析此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由a，则此球的直径为，故选A。已知方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（）

a

知，A.2

243C.D.3答D6.（2006山卷正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A.∶

B∶C∶3

D.1∶9答C7.（海南宁理）个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3则这个球的体积为．答

3（天津理12一长方体各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，23则此球的表面积为．答

9.（2007全国理）个正四棱柱的各个顶点在一个直径为的球面上。如果正棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积cm答

（辽宁如图，半径为2半球内有一内接正六棱锥ABCDEF则此正六棱锥的侧面积_．

PC

D答

B

A

F

E（宁抚一2009届三学学第次考棱长为的四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形正面体的截面)的面积.答

（枣庄一模）一几何体的三视图如右图所，则该几何体外接球的表面积为（）

A

B

2C．答案

3

D．上不对13.(林吉市2008届上末)设正方体的棱长为，它的外接球的表面积为（）A

83

Bπ

C．4

D．

43

答C1新课标理知三棱ABC的有顶点都在球的