中级宏观经济学戴蒙德模型专题培训课件

第三节代际交叠中的两期寿命戴蒙德模型也称为代际交叠模型，它与拉姆齐模型一起被称为是以微观为基础的两个宏观经济学基本模型。这是戴蒙德(Damond，1965)在阿莱(Allais，1947)和萨缪尔森(Sanuelson，1958)早期研究成果基础上建立的。戴蒙德模型与拉姆齐-卡斯-库普曼模型之间的主要差异是存在着人口的新老交替，而不是一个数量固定的永久性生存的家庭【他们的效用函数也是相同的】。在这一模型中，新的人口不断出生，老的人口不断消亡。为了简化分析，模型假设每个人只活两期，即年轻期与老年期。Lt代表t时期出生的人。如果人口以速率n增长，则Lt＝(1+n)Lt-1。由于个人只生活两个时期，因此在t时期，存在Lt个正处在他们生命第一时期的个人，并且存在个正处在其生命的第二时期的个人。每个人在其年轻时供给一单位的劳动，并且将所得到的劳动收入在第一期的消费与储蓄之间进行分配。在第二时期，个人只是简单地消费其获得的储蓄与利息。戴蒙德模型的设计第三节代际交叠中的两期寿命设C1t与C2t代表年轻与年老两代人在t时期的消费。这样，在t时期出生的人的效用依存于C1t与C2t+1【指t+1时期年老者的消费，不是2乘以t+1】。再次假设不变相对风险厌恶效用函数为：这个函数是为了平衡增长所需要的。由于生命是有限的，不再假设ρ>n+(1-θ)g以确保终生效用不再发散。ρ代表权重【分析上的意义相当于贴现率】，如果ρ>0，则个人给第一时期的权重大于第二消费时期，如果ρ<0，则情形相反。同时需要假设ρ>-1，以确保第二消费时期的权数为正。戴蒙德模型的设计（续）第三节代际交叠中的两期寿命对厂商来说，生产的假设与前面相同。一个社会中存在着众多厂商，每个厂商具有生产函数Yt=F(Kt,AtLt)。F(•)具有不变的规模报酬并满足稻田(Inada)条件，并且A再次以外生速率g增长。市场是竞争性的，因此劳动与资本可获得其边际产出，厂商获得零利润。不存在折旧。真实利率与每单位有效劳动的工资由和确定。最后，存在一些初始的资本存量k0，它们由一切老年个人均等地持有。在初始时期内，由老年人拥有的资本与年轻人供给的劳动被结合起来生产产出。老年人消费其资本收入与现存财富，然后他们在模型中消失。年轻人则把他们的劳动收入wtAt分配在消费和储蓄上。他们把其储蓄带入下一时期，因此在t+1时期内资本存量Kt+1等于t时期年轻人的数量Lt乘以这些个人的储蓄wtAt-C1t。这种资本与下一代的年轻人供给的劳动相结合，这个过程不断延续。戴蒙德模型的设定（续）第三节代际交叠中的两期寿命根据上述假设，可以分析戴蒙德模型中的家庭行为。可知在t时刻出生的人的第二期消费如下列公式所示：当上式的两边同时除以(1+rt+1)并把C1t移到左边，可以得到如下的预算约束：这个条件表明，终生消费的现值等于其初始财富(为零)加上终生劳动收入的现值(即wtAt)【模型开始时刻有初始财富，以使老年者有消费能力(更符合实际)，其后任意时刻t没有初始财富，老年者的消费能力来自自己年轻时的储蓄】。在式(5-27)的预算约束下，个人按式(5-25)最大化其效用。求解这个最大化问题有两种方式：第一种方式是沿用拉姆齐模型中的欧拉方程式进行推导。第二种方式是构造拉格朗日函数求解最大化问题。家庭行为第三节代际交叠中的两期寿命方式一：欧拉方程由于戴蒙德模型是关于离散时间的，因此欧拉方程的推导较之拉姆齐模型更为容易。设想如果个人将消费C1t减少了较小的数量ΔC，接着利用新增的储蓄与资本收入把C2t+1提高了(1+rt+1)ΔC。这种改变并不影响个人终生消费流的现值【即新增部分的贴现值等于当前减少值】。因此，如果个人正在进行最优化，效用成本与变动的收益必定是相等的。如果成本小于收益，个人会通过作出改变而增加其终生效用；如果成本大于收益，个人则通过作出相反的改变而增加效用。第三节代际交叠中的两期寿命方式一：欧拉方程（续）C1t与C2t+1对终生效用的边际贡献分别是与。设ΔC趋于零，变动的边际成本就趋于，并且效用收益接近。当个人正在进行最优化时，它们是相等的。因此，最优化要求：两边同时消去ΔC可得：这个条件与预算约束描述了家庭中个人的行为。式(5-30)与拉姆齐模型中的欧拉方程类似，它意味着个人消费是否随着时间的变化递增或递减---这取决于实际报酬大于还是小于贴现率【即权重】。公式中的θ决定了个人如何对r和ρ之间的差异作出反应，这种反应直接造成了消费行为的变化。第三节代际交叠中的两期寿命方式二：拉格朗日函数构造拉格朗日函数去求解这个的最大化问题：上式中C1t与C2t+1的一阶条件是：把式（5-32）代入式（5-33）得：将式(5-34)整理后也就可以得到式(5-30)相同结果。第三节代际交叠中的两期寿命方式二：拉格朗日函数（续）可以利用欧拉方程与预算约束写出用劳动收入与实际利率表达的C1t。将式（5-30）两边乘以C1t，并代人预算方程可以得到下式：将上式变型后，得到：方程(5-36)表明利率决定了第一时期的单个消费者的收入份额。设s(r)表示收入被储蓄的部分，那么式(5-36)则意味着：第三节代际交叠中的两期寿命方式二：拉格朗日函数（续）

式(5-37)意味着，年轻人的储蓄是随着的递增而递增的。由于关于r的导数是，因此如果θ<1，s关于r是递增的；如果θ>1，s关于r是递减的。r的上升具有收入与替代双重效应。如果两个时期消费之间的替代对第二时期的消费而言是有利的【跨期替代弹性较大】，将使人们趋向于增加储蓄(替代效应)。如果既定的储蓄量会带来第二时期的更大消费，这将使人们倾向于减少储蓄(收入效应)。因此，当人们十分乐于【富有弹性意味着偏好于跨期替代】在两个时期进行消费替代以利用报酬率（上升）的激励(即θ低)，替代效应相对占优。当个人对两个时期内的相似消费水平有强有力的偏好时(即θ高)，收人效应相对占优。θ＝1是对数效用的特殊情况【即边际效用递减速率与θ无关】，储蓄率是常数，仅取决于贴现率或权重。第四节戴蒙德模型的动态分析从动态角度看，戴蒙德模型中的k的运动和演化可以说明很多问题。由于t+1时期的资本存量等于t时刻年轻人的储蓄量，因此有：这里，t时刻的储蓄依存于该时刻对下个时期资本报酬的预期。这便是t时期的w与t+1时期的r进入t+1时期的资本存量的表达式。将式(5-38)两边除以Lt+1At+1，得到一个关于每单位有效劳动的表达式：代换rt+1和wt可以获得：第四节戴蒙德模型的动态分析为了直觉上理解的方便，把式(5-40)改写如下：式（5-41）把t+1时期的单位有效劳动的资本表示为四个子项的乘积。从右至左，这四个子项的内容如下：在t时期单位有效劳动的产出；支付给劳动的产出份额；劳动收入中被储蓄的部分；以及t时期有效劳动量与t+1时期的有效劳动量之比。第四节戴蒙德模型的动态分析图5-4a表明了存在k的多个值的情形。很显然，k1*和k3*是稳定的，k2*是不稳定的。如果产量占劳动收入的比重与劳动收入中储蓄所占的比重不变，则不可能出现多个k*。例如服从柯布-道格拉斯生产函数和对数效用，则k*是惟一的【附录】。附录：平衡增长路径(对数效用和柯布-道格拉斯生产函数)第四节戴蒙德模型的动态分析图5-4b表明了一个kt+1总是小于kt的情景。在这种情况下，无论k的初始值如何，k都会收敛于零。这种情景发生的必要条件是，随着k趋于零，或者劳动的收入份额或劳动收入中被储蓄的份额趋于零。第四节戴蒙德模型的动态分析图5-4c表明如果k的初始值是充分低的，k收敛于零，但如果k的初姑值充分高，k收敛于一个严格为正的水平。如果k0<k1*，那么k趋于零，如果k0>k1*，则k收敛于k2*。第四节戴蒙德模型的动态分析图5-4d表明在kt+1并不是唯一地由kt决定的情景：当kt处在ka和kb之间时，总会存在kt+1的三个可能值：如果储蓄是利率的一个减函数，这种情景就可能发生。当储蓄关于r是递减的时候，如果个人预期一个较高的kt+1的值，并因此预期r是较低的，那么储蓄将很高。当个人预期一个较低的kt+1值时，储蓄就很低。如果储蓄对r作出充分的反应，并且如果r对k作出充分的反应，那么必然存在一个以上的同既定水平的kt相一致的kt+1值。因此，这时经济的路径是不确定的，即使没有外部冲击，经济也会波动。第四节戴蒙德模型的动态分析假设存在代际交叠而非永久生存的家庭，这一点对动态经济具有重要含义。例如，由上述分析可知，可持续增长可能是不可行的，或者它可能依存于某种初始条件。戴蒙德模型与拉姆齐－卡斯－库普曼模型的平衡增长路径之间的主要差异涉及到社会福利最大化问题。拉姆齐－卡斯－库普曼模型的均衡使代表性家庭的福利达到了最大化【由于所有家庭是相同的，社会计划者的任何调整都是非帕累托改进】。而在戴蒙德模型中，不同时间出生的个人获得的效用水平是不同的，并且估价社会福利的方式也不很清楚。即使简单的把福利界定为不同代人效用的加权和，那么就很难预期分散型经济的均衡会达到福利最大化，因为给不同代人的权重分配是很随意的【从公式(5-30)可以看出，不同时期出生的个人的消费路径随着权重的变化而变化】。第四节戴蒙德模型的动态分析小结效率的最低标准是均衡的帕累托有效。如果以这个标准衡量，戴蒙德模型很难满足【即使是完全竞争的条件下（但是存在无限个体的情况）】。对这一现象的解释是：代际的无限性赋予计划者给老年人提供消费的工具-它是市场所不能利用的【市场经济中的个人想在年老时消费，唯一的选择是持有资本（储蓄），即使资本的报酬率较低】。社会计划不必根据资本存量及其报酬率决定老年人的消费。相反，其能用任何方式把可以利用于消费的资源在年轻人与老年人之间进行配置。例如，计划者只关心把来自每个年轻人的1单位劳动收入转移给老年人。由于对应每个老年人，存在着1+n个年轻人，这便会给每一个老年人增加数量为(1+n)单位的消费【此时年轻人受损】。计划者通过要求年轻人的下一代在随后的时期内去做同样的事【此时原来受损的年轻人成为了老年人，获得1+n】，以阻止这种使其他人处境恶化的变动【任何时间出生的人从其一生来看可以没有净损失(比如当r<n的条件下)】，并因而会在每个时期继续这个过程。如果资本的边际产品小于n，即资本存且大于黄金律水平，则把资源在老一代与新一代之间进行转移的方法比储蓄更为有效【储蓄的增值比小于n，而年轻时损失1将来年老时能获得1+n(增值比相当与n)】，计划者可以在分散配