第六周二三阶行列式与阶行列式定义

教学基本要求基本要求：掌握：二阶、三阶行列式的计算公式，行列式的性质。熟悉：应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算高阶行列式。理解：余子式、代数余子式的概念了解：

n阶行列式的概念。重点：行列式的性质，应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算高阶行列式难点：n阶行列式的概念，克莱姆（Cramer）法则目前一页\总数一百二十一页\编于七点第一节

二阶与三阶行列式一、二阶行列式四、三元线性方程组五、小结思考题二、二元线性方程组三、三阶行列式目前二页\总数一百二十一页\编于七点其中，称为元素.i为行标，表明元素位于第i行；j为列标，表明元素位于第j

列.一、二阶行列式定义1记号表示代数和

称为二阶行列式，即由上述定义可知，二阶行列式是由4个数按一定规律运算所得的代数和目前三页\总数一百二十一页\编于七点主对角线副对角线-----对角线法则二阶行列式的计算即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积例目前四页\总数一百二十一页\编于七点用消元法解线性方程组得当时，该方程组有唯一解二、二元线性方程组目前五页\总数一百二十一页\编于七点二元线性方程组若令(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为目前六页\总数一百二十一页\编于七点例1求解二元线性方程组解因为所以目前七页\总数一百二十一页\编于七点三、三阶行列式定义2记号表示代数和称为三阶行列式目前八页\总数一百二十一页\编于七点(1)沙路法三阶行列式的计算.列标行标目前九页\总数一百二十一页\编于七点三阶行列式的计算——对角线法则说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.说明2三阶行列式包含3!项，每一项都是位于不同行不同列三个元素的乘积，其中三项为正，三项为负.目前十页\总数一百二十一页\编于七点例2

计算行列式解按对角线法则，有目前十一页\总数一百二十一页\编于七点例3

求解方程解按对角线法则，有目前十二页\总数一百二十一页\编于七点

如果三元线性方程组的系数行列式四、三元线性方程组利用消元法求解，则可得解为目前十三页\总数一百二十一页\编于七点为书写方便，将之记为其中是用常数项替换D中的第j列所得的三阶行列式，即目前十四页\总数一百二十一页\编于七点例4求解三元线性方程组解由于方程组的系数行列式目前十五页\总数一百二十一页\编于七点同理可得故方程组的解为:目前十六页\总数一百二十一页\编于七点

二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.对角线法则二阶与三阶行列式的计算五、小结目前十七页\总数一百二十一页\编于七点思考:三元线性方程组推广到n元线性方程组n元线性方程组目前十八页\总数一百二十一页\编于七点构造系数行列式三个问题：

(n阶行列式定义的问题)方程组是否有唯一解方程组有唯一解，目前十九页\总数一百二十一页\编于七点第二节n阶行列式二、n阶行列式的定义四、小结一、排列及逆序三、对换目前二十页\总数一百二十一页\编于七点例如，2431是一个四级排列，45321是一个五级排列.显然定义1由组成的一个有序数组称为一个n级排列，也叫做这n个元素的全排列.n个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn表示.即n个不同的元素一共有n!种不同的排法.一、排列与逆序目前二十一页\总数一百二十一页\编于七点

也是一个n级排列，这个排列具有自然顺序，就是按照递增的顺序排起来的.我们称为自然排列（或标准排列).其他排列或多或少地破坏自然顺序定义2在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么他们就称为一个逆序.

在一个排列中，若数则称这两个数组成一个逆序.例如排列32514中，定义32514逆序逆序逆序目前二十二页\总数一百二十一页\编于七点奇排列：逆序数为奇数的排列.偶排列：逆序数为偶数的排列.思考题：自然排列是奇排列还是偶排列？答：自然排列（例如：123）的逆序数等于零，因而是偶排列.定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.目前二十三页\总数一百二十一页\编于七点计算排列的逆序数的方法1则此排列的逆序数为设为1,2,…,n的一个排列，先看有多少个比大的数排在前面，记为；再看有多少个比大的数排在前面，记为;……最后看有多少个比大的数排在前面，记为;目前二十四页\总数一百二十一页\编于七点方法2分别计算出排在前面比它大的数码之和即分别算出这个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.解在排列45321中,4排在首位,逆序数为0;5是最大数,其逆序数为0;3的前面比3大的数有2个:4,5,故逆序数为2;2的前面比2大的数有3个:3,4,5,故逆序数为3;例1求排列45321的逆序数.1的前面比1大的数有4个:2,3,4,5,故逆序数为4;目前二十五页\总数一百二十一页\编于七点于是排列54321的逆序数为故排列54321是一个奇数排列目前二十六页\总数一百二十一页\编于七点二、n阶行列式的定义规律：三阶行列式共有6项，即3!项，每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积每一项可以写成（正负号除外），这里第一个下标排成自然顺序1,2,3，而第二个下标排成，是1、2、3的某个排列.带正号的排列是：123,231,312，带负号的是：132,213,321当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号.目前二十七页\总数一百二十一页\编于七点所以，三阶行列式可以写成

其中表示对1、2、3的所有排列求和.二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形.目前二十八页\总数一百二十一页\编于七点称为n阶行列式，其中横排表示行，竖排表示列，定义4由个元素组成的记号目前二十九页\总数一百二十一页\编于七点其中表示对1,2,…,n这n个数所有排列求和.目前三十页\总数一百二十一页\编于七点说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、阶行列式是项的代数和;3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;4、每一项可以写成(正负号除外)，其中是1,2,…,n的某个排列.5

当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号.目前三十一页\总数一百二十一页\编于七点思考题：成立吗？答：符号可以有两种理解：若理解成绝对值，则；若理解成一阶行列式，则.注意：当n=1时，一阶行列式|a|=a，注意不要与绝对值的记号相混淆.例如：一阶行列式.目前三十二页\总数一百二十一页\编于七点四个结论：(1)对角行列式(2)目前三十三页\总数一百二十一页\编于七点(3)上三角形行列式（主对角线下侧元素都为0）(4)下三角形行列式（主对角线上侧元素都为0）目前三十四页\总数一百二十一页\编于七点例目前三十五页\总数一百二十一页\编于七点思考题已知

，求的系数.目前三十六页\总数一百二十一页\编于七点故的系数为－1.解含的项有两项，即对应于目前三十七页\总数一百二十一页\编于七点三、对换定义在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对换，叫做相邻对换．例如目前三十八页\总数一百二十一页\编于七点定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．推论1奇排列调成自然排列的对换次数为奇数，偶排列调成自然排列的对换次数为偶数.在全部n级排列中，奇、偶排列的个数相等，各占一半.推论2目前三十九页\总数一百二十一页\编于七点定理1n阶行列式也可定义为目前四十页\总数一百二十一页\编于七点注：

n阶行列式也可定义为目前四十一页\总数一百二十一页\编于七点例

用行列式的定义计算目前四十二页\总数一百二十一页\编于七点解目前四十三页\总数一百二十一页\编于七点1个不同的元素的所有排列种数为四、小结2.行列式的三种表示方法目前四十四页\总数一百二十一页\编于七点第三节

行列式的性质二、利用“三角化”计算行列式三、小结一、行列式的性质目前四十五页\总数一百二十一页\编于七点一、行列式的性质行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很复杂的问题.n阶行列式一共有n！项，每一项计算需要n-1次乘法，计算它需要n!(n-1)个乘法.行列式称为行列式的转置行列式.若记，则.记性质1行列式与它的转置行列式相等.

目前四十六页\总数一百二十一页\编于七点性质1

行列式与它的转置行列式相等.证明根据行列式的定义，有若记，则行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.目前四十七页\总数一百二十一页\编于七点目前四十八页\总数一百二十一页\编于七点性质2

互换行列式的两行（列）,行列式变号.验证于是推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有，所以.

备注：交换第行（列）和第行（列），记作.目前四十九页\总数一百二十一页\编于七点性质3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数，等于用数乘以此行列式.目前五十页\总数一百二十一页\编于七点证明由行列式定义，有推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．目前五十一页\总数一百二十一页\编于七点推论2如果行列式的某一行（列）中所有元素的为零，则行列式等于零．推论3行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．证明备注1：第行（列）乘以，记作.备注2：第行（列）提出公因子，记作.目前五十二页\总数一百二十一页\编于七点例1设目前五十三页\总数一百二十一页\编于七点为对称行列式例为反对称行列式例是反对称行列式不是反对称行列式目前五十四页\总数一百二十一页\编于七点例2证明奇数阶反对称行列式的值为零。证当n为奇数时有目前五十五页\总数一百二十一页\编于七点性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.例如则D等于下列两个行列式之和：目前五十六页\总数一百二十一页\编于七点验证我们以三阶行列式为例.目前五十七页\总数一百二十一页\编于七点性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例如备注：以数乘第行（列）加到第行（列）上，记作.目前五十八页\总数一百二十一页\编于七点二、利用“三角化”计算行列式【总结】

化上三角形行列式的基本步骤：如果第一行第一个元素为0，先将第一行（列）与其他行（列）交换，使得第一行第一个元素不为0，注意符号；然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使得第一列的元素除了第一个元素外其余元素全为0；再用同样的方法处理除去第一行第一列后余下的低一阶行列式，依次做下去，直到化成上三角形行列式，此时主对角线上元素乘积就是行列式的值。59目前五十九页\总数一百二十一页\编于七点例3计算如何用行列式的性质化行列式为三角形行列式，然后进行计算.常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．解目前六十页\总数一百二十一页\编于七点目前六十一页\总数一百二十一页\编于七点目前六十二页\总数一百二十一页\编于七点目前六十三页\总数一百二十一页\编于七点练习计算行列式64目前六十四页\总数一百二十一页\编于七点解65目前六十五页\总数一百二十一页\编于七点66目前六十六页\总数一百二十一页\编于七点67目前六十七页\总数一百二十一页\编于七点68目前六十八页\总数一百二十一页\编于七点

利用性质计算行列式2.手段：观察行列式的特点，元素的规律，利用行列式性质，植树造“0”，化简行列式。1.目标：化为三角形行列式；0*0*0*0*,,,69目前六十九页\总数一百二十一页\编于七点例4计算解

D目前七十页\总数一百二十一页\编于七点目前七十一页\总数一百二十一页\编于七点例4计算阶行列式解将第列都加到第一列得目前七十二页\总数一百二十一页\编于七点目前七十三页\总数一百二十一页\编于七点例5计算4阶行列式目前七十四页\总数一百二十一页\编于七点例7证明目前七十五页\总数一百二十一页\编于七点(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).

计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．三、小结行列式的6个性质目前七十六页\总数一百二十一页\编于七点思考题目前七十七页\总数一百二十一页\编于七点思考题解答解目前七十八页\总数一百二十一页\编于七点目前七十九页\总数一百二十一页\编于七点一、行列式按行（列）展开法则二、用降阶法计算行列式四、小结第四节

行列式按行列展开三、拉普拉斯定理对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式.目前八十页\总数一百二十一页\编于七点例如一、行列式按行（列）展开法则结论三阶行列式可以用二阶行列式表示.思考题任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？目前八十一页\总数一百二十一页\编于七点例如在n阶行列式中，把元素所在的第行和第列划后，留下来的n－1阶行列式叫做元素的余子式，记作.结论因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.定义1称为元素的代数余子式．中元的余子式和代数余子式分别为目前八十二页\总数一百二十一页\编于七点目前八十三页\总数一百二十一页\编于七点例如引理

一个n阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．目前八十四页\总数一百二十一页\编于七点即有又从而下面再讨论一般情形.证当位于第1行第1列时,目前八十五页\总数一百二十一页\编于七点得目前八十六页\总数一百二十一页\编于七点得目前八十七页\总数一百二十一页\编于七点目前八十八页\总数一百二十一页\编于七点中的余子式目前八十九页\总数一百二十一页\编于七点故得于是有目前九十页\总数一百二十一页\编于七点定理1行列式等于它的任一行（列）的各元与其对应的代数余子式乘积之和，即证或目前九十一页\总数一百二十一页\编于七点类似地，若按列证明，可得备注：这个定理叫做行列式按行(列)展开法则目前九十二页\总数一百二十一页\编于七点例

计算行列式解这个行列式的第一行只有一个元不为零，故可按第一行展开而降阶计算目前九十三页\总数一百二十一页\编于七点目前九十四页\总数一百二十一页\编于七点由定理1，还可得如下重要推论目前九十五页\总数一百二十一页\编于七点证推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即或目前九十六页\总数一百二十一页\编于七点同理相同目前九十七页\总数一百二十一页\编于七点关于代数余子式的重要性质目前九十八页\总数一百二十一页\编于七点仿照上述推论证明中所用的方法，在行列式按第i行展开的展开式中，用依次代替，可得类似地，用依次代替中的第j列，可得目前九十九页\总数一百二十一页\编于七点例1按第三列展开计算行列式目前一百页\总数一百二十一页\编于七点例2二、用降阶法计算行列式目前一百零一页\总数一百二十一页\编于七点目前一百零二页\总数一百二十一页\编于七点例

3计算行列式解目前一百零三页\总数一百二十一页\编于七点目前一百零四页\总数一百二十一页\编于七点

证明用数学归纳法例5证明范德蒙德(Vandermonde)行列式所以n=2时(1)式成立.

这里记号“”表示全体同类因子的乘积目前一百零五页\总数一百二十一页\编于七点假设(1)对于n－1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行减去前行的倍：按照第1列展开，并提出每列的公因子，就有目前一百零六页\总数一百二十一页\编于七点n−1阶范德蒙德行列式目前一百零七页\总数一百二十一页\编于七点例6设

分析利用及求目前一百零八页\总数一百二十一页\编于七点解目前一百零九页\总数一百二十一页\编于七点目前一百一十页\总数一百二十一页\编于七点1.计算行列式利用行列式的定义(通常含有很多零)行列式的计算2.计算行列式的一种方法是利用性质2,3,5化成三角形行列式3.计算行列式的一种方法是利用行列式的展开将行列式降阶后进行计算4.递推法、数学归纳法、因子分解、加边法、拆行（列）法目前一百一十一页\总数一百二十一页\编于七点1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.四、小结目前一百一十二页\总数一百二十一页\编于七点思考题求第一行各元素的代数余子式之和目前一百一十三