基础物理学第三第章刚体的转动

第一章刚体的转动学习目标1.掌握力矩、转动惯量、转动动能、角动量等概念；并且熟练掌握转动定律、角动量守恒定律及其应用。2.熟悉刚体定轴转动的角量描述。3.了解进动产生的原因。本章主要研究刚体（rigidbody）这一理想模型的定轴转动规律。这一部分内容是以质点运动学和动力学为基础的。质点运动学和动力学的有关知识的简要回顾，请先参考本章最后的附录。更为详细的内容请参考有关教科书。第一章刚体的转动注意！第一节刚体的定轴转动刚体(rigidbody)：在运动过程中形状和大小都不变的物体。研究刚体的运动，可以将刚体看成在运动过程中，任意两质点之间的相对位置保持不变的质点系。刚体的平动(translation)：

刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。这样的运动可以用质点动力学的方法来处理。转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.转动又分定轴转动和非定轴转动.刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动+一、刚体定轴转动的角量描述转动(rotation)：

刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。转动又分定轴转动和非定轴转动。刚体的一般运动：质心的平动绕质心的转动+定轴(fixed-axis)转动：转轴固定不动的转动。第一节刚体的定轴转动OxP角坐标：，单位是弧度，rad角位移：用角量来描写转动：定轴处O点与刚体上任一点P之间的位置矢量处于处，经过t时间后，该矢径转过角度：z第一节刚体的定轴转动角速度(AngularVelocity)角速度的大小：角速度的方向：由右手螺旋法则确定。右手弯曲的四指沿转动方向，伸直的大拇指即为角速度的方向。OxPz第一节刚体的定轴转动角加速度(AngularAcceleration)若，沿Z轴正方向OxPz第一节刚体的定轴转动二、匀变速转动基本公式刚体作匀变速转动时，其运动方程与匀变速直线运动的运动方程相似，其角位移、角速度和角加速度之间有下列关系：第一节刚体的定轴转动对于定轴转动1.角速度与线速度的关系注意！三、角量和线量的关系2.角加速度与线加速度的关系第一节刚体的定轴转动1.刚体定轴转动具有什么特点？2.挂钟表针的角速度方向指向墙里还是墙外？思考第一节刚体的定轴转动

一飞轮作匀变速转动，3s内转过234rad，角速度在3s末达到108rad/s。求角加速度和初角速度。由匀变速转动运动方程：消去0，并代入数值，可得角加速度：进而可求得初角速度：解例第一节刚体的定轴转动要改碍变刚腰体的坝转动始状态缺，不屠仅要纠有力朵，而估且与毕力的渠大小聚、方蹦向和旧作用所点都贱有关责。力矩(m谱om打en天t刮of劳f脖or事ce锡)定义力矩是矢量：单位矮：N·帆mφdP一、力矩第二冒节禁力棵矩鸣转动竟定律注意薄力矩楼的方麦向！如果敌力F的方收向不雪在转侄动平翻面内嚷，可朗以沿耳平行暖和垂归直定妥轴两郊个方匪向分专解。梯平行你于轴估的力包部产姥生力假矩。力矩晴方向惰沿定挡轴，助可用球正、茎负表碑示方闸向。注意！φdP第二剂节际力喉矩晓转动昼定律一对妄相互告作用秧力对业同一情转轴狡的力朽距之欠和为琴零。问几个完力同寨时作肠用在门刚体怎上，闷它们屯的合击力矩跑就是宗各力变的力陶矩的设矢量衣和或牌代数链和。O二、刚体渡的转动狠定律第二览节弹力倾矩茧转动文定律

1）单个质点与转轴刚性连接O把刚户体看瓣作一轨个质和点系标，对设其上P处的倒第i个质伪点mi，分若析其茂受力野：合外力矩：合内力矩：加速度：应用挑牛顿执运动走定律饰，进掩行化臂简：dP第二浑节苏力勉矩也转动吸定律2）刚体对上式两边操作后，再对所有质点求和，并注意到，可以得到：其中I为转际动惯集量(m同om泡en广t灰of网i泊ne竟rt偶ia我)：定轴筐转动谋定律绒：第二咏节瞧力目矩书转动退定律刚体籍定轴连转动裤的角帽加速胃度与厨它所背受的合外羽力矩成正应比，与欧刚体逆的转动哈惯量成反救比.通常重刚体侄均为姥连续闲体，线则：I的单风位：kg猜·m2。转动秆惯量螺与刚哄体对租给定补转轴完的质极量分谅布有指关。转动禾惯量虫与转猫轴的骆位置崖有关覆。转动堵惯量给具有抹可相睁加性铲。注意！三、质转插动惯量第二颤节喜力饱矩登转动拣定律竿子寨长些即还是径短些她较安痒全？飞轮窄的质止量为导什么单大都毯分布脱于外父轮缘稼？求质夺量为m、长晌为l的均驼匀细田棒对句下面己（1）、旧（2）和陪（3）所乐给定古的转驾轴的株转动封惯量锈。（1）转素轴通宅过棒珍的中脏心并移与棒庄垂直颤；（2）转躬轴通各过棒扰的一察端并旧与棒框垂直责；（3）转擦轴通宜过棒泪上离者中心躁为d的一扒点并梳与棒床垂直方。oxzdxdmx解例（1）在x处取dm，dm长为dx。第二芦节梅力充矩秀转动闸定律（2）转水轴通谷过棒选的一帜端并象与棒钓垂直俯，此眼时（1）中溪的坐扬标原悼点取掉在棒疫端，雪转动半惯量泛的计遍算只词改变食积分舌上下信限，弃得(3寺)转轴只通过粗棒上圣离中眼心为d的一谨点并汤与棒某垂直裙取转痛轴与高棒的傅交点保为坐透标原增点O。这发时的祥积分塌上下煤限变扰化了户：平行世轴定宁理（pa影ra晕ll曲el碑a蜜xi抢s疫th艺eo剥re坐m）：第二究节候力缠矩船转动偷定律一质巩量为m，半济径为R的均慈匀圆宇盘，惑求通售过盘镰中心痰并与牲盘面若垂直蛛的轴厅的转厉动惯汪量。ordrR解例第二袄节婚力既矩聪转动恋定律右侧菠列出跑了一犬些刚垫体模旁型的圣转动竭惯量第二喂节扶力尘矩亦转动嘱定律质量m=芬16kg、半证径为R=联0.啄15m的实希心滑经轮,一根防细绳结绕在腥其上遗，绳猫端挂身一质柄量为m的物意体。烂求（1）由滚静止衫开始1秒钟啦后，凤物体成下降鸡的距尚离。欧（2）绳龙子的脉张力泉。mmR解例注意击到本偏题中本的滑浴轮是溪有质切量的咱，是孝典型料的刚坝体模林型，逗在做欣定轴方转动感。处理炎刚体破问题宏也是搏需要帝先作奔受力摔分析咬。然型后对养系统齐中的圆刚体伯和质当点分严别列蝴出方体程。第二使节业力促矩车转动宪定律mmR第二鹅节参力耕矩季转动波定律1.在讨蚀论刚执体定仪轴转鸭动定命律时勺是否站考虑俘内力胳的力哀矩？2.如果搬一个忧刚体即所受娱的合咸外力敌为零案，其狭合外按力矩矿也一利定为料零？沾如果产一个踩刚体秀所受慨的合仙外力跌矩为率零，刮其合识外力障也一性定为勺零？3.转动在惯量证与质腊量分士布有若关系延吗？4.你做衬什么栋姿势舞和对妇什么尝样的洁轴，埋转动垂惯量盖最小再？思考第二夹节话力省矩狸转动仁定律一、力隶矩的告功功率为：第三惊节腹力矩油的功石定庆轴转依动的霞动能传定理刚体壤中任汪一质叶元mi动能掘：因此殿，刚北体的轨转动邀动能咐：二、转靠动动始能第三盲节家力矩唐的功纽奉定蝇轴转保动的扭动能撇定理合外旱力矩俘对刚么体所奸作的伯功等株于刚平体转春动动侄能的广增量臂。对于猜刚体浑，同住样要推考虑嚷保守技力、铲势能擦、机绸械能长等。三、刚你体定导轴转惧动中的动蠢能定擦理第三广节凳力矩通的功触定勾轴转尊动的跨动能乎定理一质择量为M、半症径R的实椅心滑筹轮,，一诉根细罢绳绕璃在其起上，算绳端仆挂有什质量暑为m的物垂体。奶问物齐体由铺静止鬼下落哪高度h时，参其速浆度为隙多大津？MmRh解例本题鱼中绳锹子中困的拉部力对霜刚体缝做正计功，砌对下浓落的固重物慎作负某功。第三乎节遇力矩奔的功祥定堂轴转拴动的欲动能紫定理解得：也可探以从好物体始的重授力势槽能减乳少量砖转化允为刚勤体和讲重物芝的动珠能角把度来茫考虑乘：MmRh第三办节烘力矩俭的功迈定妈轴转跳动的早动能调定理1.贺为什斤么刚萝体定倾轴转毒动的乖转动怠动能魄的变杯化只负是与桶外力朴矩有焦关而导与内晃力矩疮无关鞋？思考第三驳节姑力矩纯的功璃定氧轴转肯动的律动能受定理角动昼量(a宿ng僻ul究ar抱m献om佩en善tu籍m)是用喉来描扩述物宇体绕绢某定掏点（软轴）办旋转桐的机封械运炭动量幅。od质点衬对o点的蜻角动沟量：角动霜量是休矢量话：一、质点兽的角动理量和刚宫体的麦角动佣量第四弦节煮角性动量卵角林动量傅守恒件定律od角动裤量的语方向男、单畏位角动爸量单在位：kg甩·m2/s第四素节雄角舒动量留角法动量柿守恒堡定律刚体长对定驱轴的涝角动耀量

方向沿定轴，可用正、负表示方向。对刚梁体中站质元mi的角动亦量：因此餐整个啦刚体症的角顷动量暗：第四竖节虚角御动量醒角粒动量节守恒鱼定律转动斗定律鱼的另昂一形奶式：转动骨定律甚简单俩形变兵：作定塔轴转桐动的念刚体踏所受岸的合邪外力迈矩等永于刚屑体的夹角动爬量随柴时间赛的变爹化率无。——适用昂范围吗更广键！二、渔角动散量定理第四棍节胞角根动量趣角律动量守守恒抵定律Mdt=dL冲量隙矩、颂角动添量定庭理角动维量定纽奉理：合外田力矩蹄的冲迟量矩予等于翅系统驳角动户量的祸增量抬。是力矩在t1

到t2时间内的冲量矩。第四扇节仓角垒动量疯角张动量添守恒怎定律若系跌统合患外力晓矩为贪零，弱则系务统的铃角动渠量守课恒。——自然辅界重咏要的牌普遍野规律三、炭角动包量守恒狭定律第四抄节莲角猎动量锡角靠动量贯守恒盆定律一长鸽为l，质在量为M的杆奏可绕育支点O自由薪转动非。一罚质量像为m，速薪度为v的子庆弹射袜入距恢支点俘为a的棒欣内，币若棒怕偏转疾角为30幸°,问子舌弹的散初速俗度为陵多少?角动斧量守剂恒（村过程1）机械基能守牛恒（都过程2）oalv30°由此腔即可的求得推子弹碌的初熟速度v.教材廊例题1-泡6也是爆应用他角动赖量守涂恒的冒例子岸。解例第四腊节敬角还动量属角间动量回守恒帆定律[例]一人劣坐在网可以江自由恩旋转桃的平刘台上础的轴葱线处计，双楚手各阻执一捉哑铃芬。设庙哑铃模的质存量m=2灭.0既kg，两秆铃相肉距2l1=1哭50度cm时，辛平台内角速蛛度1=2男刷ra寸d/饿s。当醉将两孟铃间费距离价减为2l2=8彻0c达m时，法平台物角速补度增轻为2=3剥立ra剃d/默s。设设人与夹平台偶对于煌转轴幅的转库动惯骗量不饿变，妻求人今所做临的功角。解：对人乞、哑星铃和钱平台野系统拦，在计哑铃双距离匙减小南的过撞程中典，合摩外力鲁矩为绳零，医系统阔角动琴量守捕恒设人衣与平望台对防转轴疲的转体动惯须量为J，在哑瓶铃间亡距减剖小的驱过程仍中，毁人所醉做的稳功就饮等于睁系统淘转动啦动能案的增析量，[例4]荡秋寇千原凑理分超析（米证明′）分析出：如图万示，职用m表示龙人的耻质心盖，一仓次完漆整的董摆动率由以缝下过逐程组亏成。1→萍2：在摆句角为时肆，人侦迅速购蹲下领，使兆有效世摆长Om由l变为l。2→3：人由静止下摆到摆绳几乎铅直的位置，速度为v

（水平）。对（人+地球）系统，只有重力作功，机械能守恒。

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51234(2)3→4：人迅速站起，使有效摆长由l变为

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，人的摆动速度由v变为v。这个过程可以简化为在站起前后摆绳保持在铅直的位置。以人为对象，对O点M外=0，角动量守恒。需要蹄指出机的是坐，人茄作为遇一个郊系统遣，在碑站立所的过经程中抬，非能保守朽内力丈作功宗了，避这样椒才得忙以使练人摆拜动的理动能方增加担。4→5：上摆潮到人嘉静止。对（补人+地球响）系蛇统，只有吹重力诱作功迫，机谊械能踪蝶守恒允。(3)（1）、鼠（2）、角（3）联宅立解喘得：vvml

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512341.当刚轿体转恢动的捎角速购度很桑大时削，作堪用在炊它上厦面的西力和悄力矩小是否烟一定垫很大耕？2.如果扫一个议质点樱系的讨角动央量等叔于零循，能昼否说雪明系捐中每覆个质州点都株是静祥止的间？如笑果一武质点帮系的康总角也动量筹为一颈常量锅，能粘否说后作用芦在质距点系彻上的滋合外桌力为隶零？3.假设屑人造马地球静卫星吨环绕谈地球序中心饺作椭以圆运晒动，租则在崇运动个过程喜中，弟卫星应对地乱球中诉心的嚷角动蓝量是定否守积恒？揪机械壤能是叼否守收恒？4.质点兰作匀浸速运钻动或痛匀速耗圆周螺运动义，质祸点的根角动暮量如送何计剩算？种角动湿量守坏恒吗凤？思考第四希节青角礼动量局角否动量肆守恒鸭定律1、进英动(p糊re种ce亲ss妄io辰n)现象勇：oo’第五娱节劫刚即体的冠进动2、陀脉螺进则动分烤析：拦方向陀螺接受合抛外力开矩：下一棍时刻慌的角笛动量吸：由此省决定氏了陀葛螺的胶进动酸方向眠！oz注意的方向，并且的方向要与之一致！注意！第五竭节晴刚锦体的筹进动进动楼角速连度3、进钉动角新速度渠分析oz第五械节幕刚叫体的谊进动设右伙图中范的刚息体回瞧转仪金处于胜平衡昆状态仁，现嫂将重间物右制移。雾则飞玩轮进释动的底方向源如何灿？4、杠辉杆回梢转仪露的例贴子从正猛上方征向下维看，此欠时，诸合外杯力矩恰为逆由时针塌，故滔作逆灰时针传方向毅进动亚！第五做节肾刚锡体的搏进动重点小结内容提要重点难点描述刚体转动状态的物理量转动定律及应用转动惯量力矩转动定律刚体定轴转动动能定理及应用角动量定理及应用力矩的功转动动能转动动能定理角动量、角冲量角动量定理角动量守恒及应用第旨一大章刚何体的恋转动第一泡章货附揉录，休质点笛运动义学和攀动力岂学基莲本知纹识回非顾质点挂模型僵、参姻考系阳、坐饮标系英、坐兽标栋等概念。速度弓、公加园速度政等概念，注意困这些酬量的矢量罢性。力法的概念。牛顿洞运动秀三定宰律是关践于力敲及其偏作用稠的基铜本规医律，葬构成笑了一罚个完皂整的苍体系晴。有颤关物刻理量溜的单蚂位制并。在应旺用牛妨顿定歪律解课决问动题的狼时候脂，首述先需笨要做露好对物炊体的魔受力活分析，然杂后在灶不同被坐标钱方向岗上建陵立牛臂顿第宣二定佳律的得方程尖式，芝进行册解题扔。物体裹做旋哪转运遗动时素，既同有法向软加速上度（no肉rm筑al藏a搁cc蛋el礼er哨at绪io杠n）聪，还斜有切向霸加速示度（ta俩ng扰en修ti疫al命a宪cc居el缓er哨at问io虽n），他大小降分别川为：物体威在力恼的作吐用下搂产生借位移候，则厉该力概做功，功夏的定闹义是指：物体骄具有获速度丹时，兰该物松体的动能为：第一起章贺附份录，统质点纵运动楼学和门动力精学基亮本知腾识回育顾合外勺力对办物体缠（系遇）做暗功可毙以改波变物秃体（蓝系）填的动透能，动能境定理表达鱼式为尿：有一京类力雕做功俗的大晴小只迷与物歼体运奴动的伍起止副位置横有