广东省清远市博师高级中学高三数学理期末试题含解析

广东省清远市博师高级中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设全集为R，集合，N={0,1,2}，则M∩N=（

）A.{0,1,2} B.(0,2) C.(－2,2) D.{0,1}参考答案：D【分析】可解出M，然后进行交集的运算即可．【详解】解：M＝{x|﹣2＜x＜2}，N＝{0，1，2}；∴M∩N＝{0，1}．故选D．【点睛】本题考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算，属于基础题．2.（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据复数乘法运算化简所求表达式，由此求出正确选项.【详解】依题意，原式，故选D.【点睛】本小题主要考查复数乘法运算，属于基础题.3.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（8，0），以OA为直径的圆与直线y=2x在第一象限的交点为B，则直线AB的方程为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】根据OA为圆的直径得OB⊥AB，故有，再根据点斜式可得直线方程．【详解】根据OA为圆的直径得OB⊥AB，∴由点斜式可得直线AB的方程为y-0=-（x-8），即x+2y-8=0．故选：A．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．4.已知圆截直线所得弦的长度小于6，则实数a的取值范围为（

）A. B.C.(－15,+∞) D.(－15,2)参考答案：D【分析】根据圆的半径大于零可求得；利用点到直线距离公式求出圆心到直线距离，利用弦长可求得；综合可得的取值范围.【详解】由题意知，圆的方程为：，则圆心为，半径为则：，解得：圆心到直线的距离为：，解得：综上所述：本题正确选项：【点睛】本题考查直线被圆截得弦长相关问题的求解，关键是明确弦长等于，易错点是忽略半径必须大于零的条件.5.设集合，，则A．（-2,0）

B.（-2,3）

C.（0,2）

D.（2,3）参考答案：A6.执行如图的程序框图（N∈N*），那么输出的p是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量p的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，k=1，p=A11，满足继续循环的条件，k=2；第二次执行循环体，k=2，p=A22，满足继续循环的条件，k=3；第三次执行循环体，k=3，p=A33，满足继续循环的条件，k=4；…第N次执行循环体，k=N，p=ANN，满足继续循环的条件，k=N+1；第N+1次执行循环体，k=N+1，p=AN+1N+1，不满足继续循环的条件，故输出的p值为AN+1N+1，故选：C7.曲线在点处的切线方程为A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.已知:命题：“是的充分必要条件”；命题：“”．则下列命题正确的是（

）A．命题“∧”是真命题

B．命题“（┐）∧”是真命题C．命题“∧（┐）”是真命题

D．命题“（┐）∧（┐）”是真命题参考答案：B略9.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（） A． B． C． D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，从而求两个体积之和即可． 【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成， 半个圆锥的体积为××π×1×=； 四棱锥的体积为×2×2×=； 故这个几何体的体积V=； 故选D． 【点评】本题考查了学生的空间想象力与计算能力，属于基础题． 10.要得到函数的图象，只需要将函数的图象（

）． A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位参考答案：B，故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{an}对任意的满足，且，则______.参考答案：－30【分析】令，则，从而可得为等差数列且公差为，再根据得到，利用等差数列的通项公式可求.【详解】令，则，故，故为等差数列且公差为，故.因为，故，故.故答案为：－30【点睛】本题考查等差数列的基本量的计算，注意对给定的递推关系合理赋值，本题属于基础题.12.某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是

．

参考答案：60013.给出30行30列的数表A：，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数1，10，21，34，…，1074按顺序构成数列{bn}，存在正整数s、t（1＜s＜t）使b1，bs，bt成等差数列，试写出一组（s，t）的值．参考答案：（17，25）考点：等差数列的通项公式；数列与函数的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意可得，b2﹣b1=9b3﹣b2=11…bn﹣bn﹣1=2n+5，利用叠加可求bn，然后由b1，bs，bt成等差数列可得2bs=b1+bt，代入通项后即可求解满足题意的t，s解答：解：由题意可得，b2﹣b1=9b3﹣b2=11…bn﹣bn﹣1=2n+5以上n﹣1个式子相加可得，bn﹣b1=9+11+…+2n+5=n2+6n﹣7∴bn=n2+6n﹣6∵b1，bs，bt成等差数列∴2bs=b1+bt∴2（s2+6s﹣6）=1+t2+6t﹣6整理可得，2（s+3）2=（t+3）2+16∵1＜s＜t≤30且s，t∈N*经检验当s=17，t=25时符合题意故答案为：（17，25）点评：本题主要考查了数列的通项公式的求解，要注意叠加法的应用，属于公式的灵活应用14.已知三棱锥O﹣ABC，∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，其中AB=，AC=，O，A，B，C四点均在球S的表面上，则球S的表面积为．参考答案：14π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据∠BOC=90°且OA⊥平面BOC，得到三棱锥的三条侧棱两两垂直，以三条侧棱为棱长得到一个长方体，由圆的对称性知长方体的各个顶点都在这个球上，长方体的体积就是圆的直径，求出直径，得到圆的面积．【解答】解：∵∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，∴三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴可以以三条侧棱为棱长得到一个长方体，由圆的对称性知长方体的各个顶点都在这个球上，∴球的直径是，∴球的半径是∴球的表面积是=14π，故答案为：14π【点评】本题考查球的体积与表面积，考查球与长方体之间的关系，考查三棱锥与长方体之间的关系，本题考查几何中常用的一种叫补全图形的方法来完成，本题非常值得一做．15.已知数列为等比数列，且，则的值为_________________.参考答案：在等比数列中，所以.所以.16.把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，若则n=

。参考答案：102817.我国古代数学家祖暅提出的祖暅原理：“活势既同，则积不容异”（“幂”是截面，“势”是几何体的高），意思是两个同高的几何体，若在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等。己知某半球体与三视图（如图所示）所表示的几何体满足“幂势既同”，则该半球的体积为________参考答案：【分析】根据三视图，判断出几何体为圆柱挖去一个圆锥得到，并由此计算出几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体是由圆柱挖掉一个圆锥所得，故体积为.所以“幂势既同”几何体的体积为.【点睛】本小题主要考查三视图求原图几何体的体积，考查中国古代数学文化，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若=（，1），=（﹣2，cos2A+1），且．（Ⅰ）求角A的度数；（Ⅱ）当a=2，且△ABC的面积S=时，求边c的值和△ABC的面积．参考答案：解：（Ⅰ）△ABC中，由=（，1），=（﹣2，cos2A+1），且，可得=﹣2+cos2A+1=cos（B+C）﹣1+cos2A+1=2cos2A﹣cosA﹣1=（2cosA+1）（cosA﹣1）=0，∴cosA=﹣或cosA=1（舍去），∴A=120°．（Ⅱ）∵a=2，且△ABC的面积S==ab?sinC，由余弦定理可得cosC=，∴tanC=，∴C=30°，∴B=30．再由正弦定理可得，即=，解得c=2．∴△ABC的面积S=ac?sinB==．略19.几何证明选讲如图，已知是的切线，为切点，是的割线，与交于两点，圆心在的内部，点是的中点．（Ⅰ）证明四点共圆；（Ⅱ）求的大小．参考答案：解析】（Ⅰ）证明：连结．因为与相切于点，所以．因为是的弦的中点，所以．于是．由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，所以四点共圆．-----------------5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得四点共圆，所以．由（Ⅰ）得．由圆心在的内部，可知．所以．------------------10分略20.已知椭圆的标准方程为，离心率，且椭圆经过点．过右焦点的直线交椭圆于，两点．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）若，求直线的方程．（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得以，为邻边的四边形是菱形，且点在椭圆上．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．参考答案：（）由题意可得，解得，，∴椭圆的方程为．（）设直线的方程为，，，则，消去得，，．∵，∴，化简得即，解得．故直线的方程为或．（）由（）可知，，假设存在点，设，则，解得，故不存在点，使得以，为邻边的四边形是菱形．21.（本小题满分12分）

在中，内角所对边的边长分别是.(1)若,且的面积等于，求和的值；（2）若是钝角，且，求的值.参考答案：解：(1)∵,,

∴∴

(2分)

由余弦定理及已知条件得，，

(4分)

又因为的面积等于，所以，得．

(5分)联立方程组

解得，．

(7分)（2）∵