海南省海口市华中师范大学海南附属中学高三数学理下学期期末试题含解析

海南省海口市华中师范大学海南附属中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.执行下面的程序框图，如果输入的依次是1，2，4，8，则输出的S为(

) A．2 B．2 C．4 D．6参考答案：B考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=5时，不满足条件i≤4，退出循环，输出S的值为2．解答： 解：模拟执行程序框图，可得S=1，i=1满足条件i≤4，S=1，i=2满足条件i≤4，S=，i=3满足条件i≤4，S=2，i=4满足条件i≤4，S=2，i=5不满足条件i≤4，退出循环，输出S的值为2．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的S的值是解题的关键，属于基本知识的考查．2.O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若，则△POF的面积为（

）A．2 B．2 C．2 D．4参考答案：C略3.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f()的值为()A.1

B.2

C．0

D.参考答案：B略4.已知等比数列{an}的前项积为n,若,则9=(

).

A.512

B.256

C.81

D.16参考答案：A5.运行图中的程序框图，若输出的结果为57，则判断框内的条件应为（）A．k＞4？ B．k≤5？ C．k＞3？ D．k≤4？参考答案：A【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中，各变量的值变化如下所示：

S

条件？k循环前

0/1第1圈

1

否

2，第2圈

4

否

3第3圈

11

否

4第4圈

26

否

5，第5圈

57

是，可得，当k=5时，S=57．此时应该结束循环体并输出S的值为57，所以判断框应该填入的条件为：k＞4？故选：A．6.函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是(

)A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）参考答案：B【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题．【分析】函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．【解答】解：∵f（1）=ln（1+1）﹣2=ln2﹣2＜0，而f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（1，2），故选B．【点评】本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号．7.四面体S-ABC中，三组对棱的长分别相等，依次为5，4，x，则x的取值范围是(

)A．

B．(3,9)

C.

D．(2,9)参考答案：C由于四面体的三组对棱分别相等，故可构造在长方体内的三棱锥(如图所示)，其中．设长方体的三条棱长分别为，则有．（1）由②③得，又，∴，解得．（2）由②③得，又，∴，解得．综上可得．故的取值范围是．选C．

8.直线与函数的图像相切于点，且，为坐标原点，为图像的极大值点，与轴交于点，过切点作轴的垂线，垂足为，则=A.

B.

C.

D.

2参考答案：B9.设，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a参考答案：A【考点】对数值大小的比较；三角函数值的符号．【分析】首先根据所给的三个数字，按照对数函数和指数函数的性质进行比较，第一个数字第一个数字30.5＞30=1，第二个数字=log31＜log32＜log33=1，第三个数字求出结果小于0，最后总结最后结果．【解答】解：∵在，三个数字中，第一个数字30.5＞30=1，第二个数字0=log31＜log32＜log33=1第三个数字cos=﹣＜0故选A．【点评】本题考查对数值大小的比较，考查对数函数与指数函数对于底数不同时的单调性不同，比较三个数字与1，0的关系，对于底数不同的对数或指数一般找一个中间量进行比较大小．10.已知变量x，y满足约束条件则z＝2x·4y的最大值为()A．16

B．32

C．4

D．2参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知定义在R上的偶函数f(x)的单调减区间为，则不等式f(x)<f(2－x)的解集是

．参考答案：12.设，，，则a，b，c三数的大小顺序是_____．参考答案：【分析】根据幂函数的单调性可得；根据三角函数的单调性可得；根据对数函数单调性可得，综合可得结果.【详解】，即：，即：，即：本题正确结果：

13.若x，y满足约束条件，则的最大值为__________．参考答案：8【分析】根据约束条件作出可行域,化目标函数为,由此可得当直线在轴截距最大时,取最大值，结合图像即可得出结果.【详解】由约束条件作出可行域如下：又目标函数可化为，因此，当直线在轴截距最大时,取最大值，由图像可得，当直线过点A时，截距最大，由易得，此时.故答案为8【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，通常需要由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.14.

已知，则

。参考答案：2415.设z＝为实数时，实数a的值是_____▲_______参考答案：3略16.若非零向量满足，则与的夹角是

参考答案：

∵，∴又∵，∴的夹角是.17.已知两点，，若抛物线上存在点使为等边三角形，则＝_________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）（2015?陕西一模）已知，正项数列{an}是首项为2的等比数列，且a2+a3=24．（1）求{an}的通项公式．（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】：数列的求和；等比数列的通项公式；等比数列的性质．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）设出等比数列的公比，由已知列式求得公比，代入等比数列的通项公式得答案；（2）把{an}的通项公式代入bn=，利用错位相减法求得数列{bn}的前n项和Tn．解：（1）设等比数列{an}的公比为q（q＞0），由a1=2，a2+a3=24，得2（q+q2）=24，解得：q=﹣4（舍）或q=2．则；（2）bn==．则．令．则．两式作差得：==．∴．故．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．19.（12分）已知函数

（1）求的定义域；

（2）求的值域。参考答案：解析：（1）由题意，得

………………2分解不等式组，得……4分

（2）

………………6分

………………7分上是增函数。

………………10分又，

………………12分20.（本小题满分12分）

最新高考改革方案已在上海和江苏开始实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：

在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且x=2y.

（I）现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？

（11）在（I）中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出三人进行座谈，求至少有一名教师被选出的概率。参考答案：(Ⅰ)4;（Ⅱ）【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；互斥事件与对立事件．B4解析：(Ⅰ)由题意，所以，因为，所以则应抽取教师人数应抽取学生人数

……5分（Ⅱ）所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为，4名学生记为1,2,3,4，随机选出三人的不同选法有，，共20种，………9分至少有一名教师的选法有，共16种，至少有一名教师被选出的概率

……12分【思路点拨】（1）根据题意，求出x、y和z的值，计算出应抽取的教师与学生人数；（2）利用列举法求出基本事件数，求出对应的概率即可．21.已知函数f（x）=ax2﹣ex（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数（e为自然对数的底数）．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围；（3）若当x≥0时，不等式f（x）≤﹣x﹣1恒成立，求实数a的最大值．参考答案：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由题意求出f′（x），再求出f′（0）和f（0）的值，代入点斜式进行化简，化为一般式方程；（Ⅱ）先构造函数g（x）=f′（x），再将题意转化为x1，x2是方程g（x）=0的两个实根，再求出g′（x），对a进行分类分别求出g（x）的单调区间以及最大值，再令最大值大于零，列出关于a的不等式求解；（Ⅲ）由题意先构造函数h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1，转化为h（x）≥0在[0，+∞）恒成立问题，再求出h（x）的单调性和最小值，关键是对a进行分类后，得到“当a=0时，ex≥1+x”这一结论在后面的应用．解答：心理年龄解：（Ⅰ）由题意得，当a=1时，f（x）=x2﹣ex，∴f′（x）=2x﹣ex，则切线的斜率为f′（0）=﹣1，∵f（0）=﹣e0=﹣1，∴所求的切线方程为：x+y+1=0；（Ⅱ）设g（x）=f′（x）=2ax﹣ex，由题意得，x1，x2是方程g（x）=0（即2ax﹣ex=0）的两个实根，则g′（x）=2a﹣ex，当a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在定义域上递减，即方程g（x）=0不可能有两个实根，当a＞0时，由g′（x）=0，得x=ln2a，当x∈（﹣∞，ln2a）时，g′（x）＞0，则g（x）在（﹣∞，ln2a）上递增，当x∈（ln2a，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（﹣∞，ln2a）上递减，∴gmax（x）=g（ln2a）=2aln2a﹣2a，∵方程g（x）=0（即2ax﹣ex=0）有两个实根，∴2aln2a﹣2a＞0，解得2a＞e即，（Ⅲ）设h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1，则由题意得h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1≥0在[0，+∞）恒成立，则h′（x）=ex﹣2ax﹣1，当a=0时，h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（0）=0，即ex≥1+x，当且仅当x=0时，等号成立，∴h′（x）=ex﹣2ax﹣1≥1+x﹣2ax﹣1=x（1﹣2a），当1﹣2a≥0时，即a≤，此时h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（0）=e0﹣0﹣1=0，即h（x）≥0，因而a≤时，h（x）≥0，下面证明a＞时的情况：由ex≥1+x得，e﹣x≥1﹣x，即x≥1﹣e﹣x，∴h′（x）=ex﹣1﹣2ax≤ex﹣1﹣2a（1﹣e﹣x）=e﹣x（ex﹣1）（ex﹣2a）当ex＜2a时，即0＜x＜ln2a，则当x∈（0，ln2a）时，h′（x）＜0，从而h（x）＜0，因此，对于x≥0，f（x）≤﹣x﹣1不恒成立，综上所得，a的最大值为．点评：本题考查了导数的几何意义，方程的根与函数零点的关系，导数与函数的单调性、极值、最值的综合应用，考查了转化思想、分类讨论思想以及分析、解决问题的能力．22.已知函数在处取得极值。（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求证：对于区间上任意两个自变量的值，都有；（Ⅲ）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围。参考答案：（本小题满分14分）（Ⅰ），依题意，，

…1分即，解得

…3分经检验符合。（Ⅱ