安徽省池州市阮桥中学高三数学理期末试题含解析

安徽省池州市阮桥中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜）图象的一条对称轴为x=，则要得到函数F（x）=f′（x）﹣f（x+）的图象，只需把函数f（x）的图象（）A．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍B．向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍C．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍D．向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意根据正弦函数的图象的对称性，求得φ的值，可得f（x）的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由于函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜）图象的一条对称轴为x=，可得2×+φ=kπ+，k∈Z，求得φ=kπ+，k∈Z．再结合0＜φ＜，可得φ=，f（x）=sin（2x+），∴f′（x）=2cos（2x+），∴F（x）=f′（x）﹣f（x+）=2cos（2x+）﹣sin（2x+）=2cos2xcos﹣2sin2xsin﹣cos2x=﹣sin2x．故把函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位，可得y=sin[2（x+）+]=﹣sin2x的图象；再把所得图象的纵坐标伸长为原来的倍，可得F（x）=﹣sin2x的图象，故选：C．2.已知，则（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】通过反例可否定；根据对数函数单调性可确定正确.【详解】若，A中，，，则，错误；B中，，，则，错误；C中，在上单调递增

当时，，正确；D中，，，则，错误.故选：【点睛】本题考查根据不等式的性质比较大小的问题，涉及到对数函数单调性的应用，属于基础题.3.若函数与函数互为反函数，则

A.

B.

C.

D.参考答案：D4.如图，正方体AC1中，，点P为平面EFGH内的一动点，且满足，则点P的轨迹是A、抛物线B、圆C、椭圆D、双曲线参考答案：C5.若集合，，则等于（

）A．

B．

C． D．参考答案：A略6.已知函数（），若函数在上有两个零点，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D7.右图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只需将的图象上所有的点（

）

A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变参考答案：A

8.当时,恒成立,则实数a的取值范围是(

)A.(－∞,1]

B.(－∞,0]

C.(－∞,0)

D.(0,+∞)参考答案：C9.计算：------------------------------------------（★）A．B．C．

D．参考答案：B10.已知，则的值为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据二倍角余弦公式可求得，根据诱导公式可得结果.【详解】由题意得：本题正确选项：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，右焦点F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个根分别为x1，x2，则点P(x1，x2)在()A．圆x2＋y2＝2内

B．圆x2＋y2＝2上C．圆x2＋y2＝2外

D．以上三种情况都有可能参考答案：－4略12.设O为ABC的外心，且，则ABC的内角．参考答案：略13.实数x，y满足则不等式组所围成的图形的面积为

．参考答案：1考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用三角形的面积公式进行求解即可．解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：则不等式组围成的图形为三角形，其中A（0，1），B（1，0），C（2，1），则三角形ABC的面积S=，故答案为：1．点评：本题主要考查三角形面积的计算，以及二元一次不等式组表示平面区域，比较基础．14.给出下列命题：①函数y=cos是奇函数；②存在实数α，使得sinα+cosα=；③若α、β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④x=是函数y=sin的一条对称轴方程；⑤函数y=sin的图象关于点成中心对称图形．其中命题正确的是

（填序号）．参考答案：①④【考点】余弦函数的奇偶性；正弦函数的奇偶性；正弦函数的对称性；正切函数的单调性．【专题】综合题．【分析】①利用诱导公式化简函数y=cos，即可判断是奇函数；②通过函数的最值，判断是否存在实数α，使得sinα+cosα=即可得到正误；③利用正切函数的性质频道若α、β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ的正误；④把x=代入函数y=sin是否取得最值，即可判断它是否是一条对称轴方程；⑤函数y=sin的图象关于点成中心对称图形．利用x=，函数是否为0即可判断正误；【解答】解：①函数y=cos=﹣sin是奇函数，正确；②存在实数α，使得sinα+cosα≤＜；所以不正确；③若α、β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；显然不正确，如α=60°，β=390°时不等式不正确；④x=是函数y=sin的一条对称轴方程；把x=代入函数y=sin取得最小值，所以正确；⑤函数y=sin的图象关于点成中心对称图形．x=，函数y≠0，所以不正确；故答案为：①④【点评】本题是基础题，考查三角函数的基本知识的综合应用，函数的奇偶性、最值、单调性、对称性的应用，考查基本知识的灵活运应能力．15.在三棱锥S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝，SA＝SC＝2，AC的中点为M，∠SMB的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是

。参考答案：16.若为等比数列，，且，则的最小值为

参考答案：417.已知三棱锥P-ABC中，侧棱,当侧面积最大时，三棱锥P-ABC的外接球体积为____参考答案：【分析】当三棱锥侧面积最大时，，，两两互相垂直，可知以，，为长、宽、高的长方体的外接球即为三棱锥的外接球，长方体外接球半径为体对角线的一半，从而求得半径，代入球的体积公式得到结果.【详解】三棱锥的侧面积为：，，相互之间没有影响当上述三个角均为直角时，三棱锥的侧面积最大此时，，两两互相垂直以，，为长、宽、高的长方体的外接球即为三棱锥的外接球外接球半径三棱锥的外接球的体积：本题正确结果：【点睛】本题考查多面体的外接球体积的求解问题，关键是能够通过侧面积最大判断出三条棱之间的关系.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，，，.（I）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足，求三棱锥的体积.参考答案：(1)见解析(2)试题分析：（1）由于可以证明要证明只需证明从而中的两条相交直线，（2）由（1）知为等腰三角形，面积容易求出，考虑以BCD为底面．F为顶点的三棱锥，以及以BCD为底面，P为顶点的三棱锥面积容易求出，所以试题解析：（1）证明：因为BC=CD,所以△BCD为等腰三角形,又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC．

因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD．从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,所以BD⊥平面PAC．（2）解：三棱锥PBCD的底面BCD的面积S△BCD=BC·CD·sin∠BCD=×2×2×sin=．由PA⊥底面ABCD,得=·S△BCD·PA=××2=2．由PF=7FC,得三棱锥FBCD的高为PA,故=·S△BCD·PA=×××2=,所以=-=2-=．考点：1、线面垂直的判定定理；2、空间几何体的体积公式．【方法点晴】本题主要考查的是线面垂直的判定定理及三棱锥的体积公式，属于中档题．求三棱锥的体积公式的方法有：间接法，用已知几何体体积减去部分体积即得所求几何体体积．直接法，直接求该几何体的一条高与所对应的底面积，这里求几何体的高可通过几何法直接做出高并计算，也可以在空间直角坐标系中用点到面的距离公式来解决．19.已知等比数列的首项为，公比为，其前项和记为，又设，的所有非空子集中的最小元素的和为，则的最小正整数为．参考答案：45解：由题意有，对于和，我们首先把中的元素按从小到大顺序排列，当时，，对于中的任一元素，比它大的有个，这个元素组成的集合的所有子集有个，把加进这些子集形成新的集合，每个都是以为最小元素的的子集，而最小元素为的的子集也只有这些，故在中出现次，所以，时，适合上式，时，．当，不成立，当时，，，由于，，，所以，最小的为．20.（本小题满分14分）已知椭圆过点，且其右顶点与椭圆的右焦点重合．求椭圆的标准方程；设为原点，若点在椭圆上，点在椭圆上，且，求证：．参考答案：21.设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式（2）当d＞1时，记cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d＞1时，由（1）知cn=，写出Tn、Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．【解答】解：（1）设a1=a，由题意可得，解得，或，当时，an=2n﹣1，bn=2n﹣1；当时，an=（2n+79），bn=9?；（2）当d＞1时，由（1）知an=2n﹣1，bn=2n﹣1，∴cn==，∴Tn=1+3?+5?+7?+9?+…+（2n﹣1）?，∴Tn=1?+3?+5?+7?+…+（2n﹣3）?+（2n﹣1）?，∴Tn=2+++++…+﹣（2n﹣1）?=3﹣，∴Tn=6﹣．2