辽宁省沈阳市朝鲜族第一高级中学高三数学理联考试题含解析

辽宁省沈阳市朝鲜族第一高级中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|+t|的最小值为1．（）A．若θ确定，则||唯一确定 B．若θ确定，则||唯一确定C．若||确定，则θ唯一确定 D．若||确定，则θ唯一确定参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算；零向量；数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得（+t）2=+2t+，令g（t）=+2t+，由二次函数可知当t=﹣=﹣cosθ时，g（t）取最小值1．变形可得sin2θ=1，综合选项可得结论．【解答】解：由题意可得（+t）2=+2t+令g（t）=+2t+可得△=4﹣4=4cos2θ﹣4≤0由二次函数的性质可知g（t）≥0恒成立∴当t=﹣=﹣cosθ时，g（t）取最小值1．即g（﹣cosθ）=﹣+=sin2θ=1故当θ唯一确定时，||唯一确定，故选：B【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，属中档题．2.设是半径为1的圆上的三点，且，则的最大值是（

）A．

B．

C.

D．1参考答案：A3.的值为

(A)-2

(B)-l

(C)

(D)1参考答案：A略4.已知数列前项和为，则的值是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：因为，所以，，，，故选D.考点：特殊数列的求和.5.定义两种运算：，，则函数

（

）A．是奇函数

B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数

D．既不是奇函数又不是偶函数参考答案：A略6.已知向量，b满足||＝2，与的夹角为60°，则在上的投影是(

)A、1

B、2

C、3

D、-1参考答案：A7.设变量x，y满足则x+2y的最大值和最小值分别为（A）1，-1

（B）2，-2

（C）1，-2

（D）2，-1参考答案：B本题主要考查了线性规划求最值问题，属基础题，解题的关键是画出可行域，找到目标函数的几何意义.如图画出可行域可知当直线经过时分别对应的最大值和最小值.最大值为2,最小值为-2.故选B.

8.角的终边经过点A，且点A在抛物线的准线上，则（

）A． B．

C．

D．参考答案：B略9.在平面直角坐标系中，过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段的中点．设直线的斜率为，直线的斜率为，则的值等于

参考答案：答案：

10.已知i是虚数单位，若复数z=，则z2+z+1的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．i参考答案：C【分析】先求出z2的值，然后代入z2+z+1计算．【解答】解：∵，∴=，则z2+z+1=．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线与函数和图象交于点Q，P、M分别是直线与函数的图象上异于点Q的两点，若对于任意点M，PM≥PQ恒成立，则点P横坐标的取值范围是

．参考答案：12.三棱柱的直观图和三视图(主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角三角形）如图所永，则这个三棱柱的全面积等于_____________参考答案：13.①“若，则”的逆命题是假命题；②“在中，是的充要条件”是真命题；③“是函数为奇函数的充要条件”是假命题；④函数f(x)=x－lnx在区间(,1)有零点，在区间(1,e)无零点。以上说法正确的是

。参考答案：①②③①“若，则”的逆命题是“若，则”。举反例：当，时，有成立，但，故逆命题为假命题；②在中，由正弦定理得；③时，都是奇函数，故“是函数为奇函数”的充分不必要条件；④，所以在上为减函数，，所以函数在区间无零点，在区间有零点。故④错误。【考点】①命题真假的判断方法；②充分、必要条件的判断方法；③诱导公式；④函数的奇偶性；⑤正弦定理；⑥函数的单调性及零点。14.的展开式的第3项的系数为

，展开式中的系数为

．参考答案：21，－35的通项为，要得到展开式的第项的系数，令，令的系数为，故答案为21，－35.

15.（几何证明选讲）如图，以为直径的圆与的两边分别交于两点，，则

．参考答案：略16.已知函数，若正实数a，b满足f（4a）+f（b﹣9）=0，则的最小值为

．参考答案：1【考点】函数奇偶性的性质；基本不等式．【分析】根据题意，由f（x）的解析式分析f（x）与f（﹣x）的关系，可得函数f（x）为奇函数，又由f（4a）+f（b﹣9）=0，分析可得4a+b=9，对于，将其变形可得=（4a+b）（）=（5++），由基本不等式的性质分析可得的最小值，即可得答案．【解答】解：根据题意，对于函数，则有=﹣=﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，y=x+sinx的导数为y′=1+cosx≥0，函数y单调递增，又=1﹣在R上递增，则f（x）在R上递增，若正实数a，b满足f（4a）+f（b﹣9）=0，必有4a+b=9，则=（4a+b）（）=（5++）≥（5+4）=1；即的最小值为1；故答案为：1．17.参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）（1）证明两角差的余弦公式C（α﹣β）：cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ；（2）若cosα=﹣，α∈（0，π），求cos（α﹣）的值．参考答案：（Ⅰ）如图，在直角坐标系中作单位圆，当为锐角时作出角，其终边分别交单位圆于两点，则，由诱导公式可以得到为任意角时上式也成立

--------6分

（Ⅱ）∵∴

------9分又.------12分19.平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为(Ι)求M的方程（Ⅱ）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值参考答案：20.某种常见疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型.为了解该疾病类型与地域、初次患该疾病的年龄（以下简称初次患病年龄）的关系，在甲、乙两个地区随机抽取100名患者调查其疾病类型及初次患病年龄，得到如下数据：初次患病年龄（单位：岁）甲地Ⅰ型患者（单位：人）甲地Ⅱ型患者（单位：人）乙地Ⅰ型患者（单位：人）乙地Ⅱ型患者（单位：人）8151433135243844392621117（1）从Ⅰ型疾病患者中随机抽取1人，估计其初次患病年龄小于40岁的概率；（2）记“初次患病年龄在的患者”为“低龄患者”，“初次患病年龄在的患者”为“高龄患者”.根据表中数据，解决以下问题：（i）将以下两个列联表补充完整，并判断“地域”“初次患病年龄”这两个变量中哪个变量与该疾病的类型有关联的可能性更大.（直接写出结论，不必说明理由）表一：

Ⅰ型Ⅱ型合计甲地

乙地

合计

100表二：

Ⅰ型Ⅱ型合计低龄

高龄

合计

100（ii）记（i）中与该疾病的类型有关联的可能性更大的变量为.问：是否有的把握认为“该疾病的类型与有关？”附：，0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考答案：（1）【考查意图】本小题以某疾病Ⅰ型患者的初次患病年龄的分布情况为载体，考查频数分布表、概率的意义等基础知识，考查数据处理能力和应用意识，考查统计与概率思想.【解法综述】只要读懂频数分布表，结合概率的意义即可求解.思路：从频数分布表统计出样本中Ⅰ型患者的人数和Ⅰ型患者中初次患病年龄小于40岁的人数，再根据概率的意义，即可估计所求事件的概率.【错因分析】考生可能存在的错误有：计算错误.【难度属性】易.（2）（i）【考查意图】本小题以某疾病的类型与地域、初次患病年龄的相关性问题为载体；考查列联表、独立性检验等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识，考查统计与概率思想.【解法综述】只要读懂频数分布表，便可正确填写列联表，再根据表中数据比较两者相应的或的大小，便可直接判断哪个变量与该疾病类型有关联的可能性更大.思路：从频数分布表分别统计出甲地、乙地Ⅰ型患者的频数，甲地、乙地Ⅱ型患者的频数，Ⅰ型患者中低龄患者、高龄患者的频数，Ⅱ型患者中低龄患者、高龄患者的频数，正确填入对应的列联表即可；再根据表中数据比较两者相应的或的大小，便可直接判断哪个变量与该疾病类型有关联的可能性更大.【错因分析】考生可能存在的错误有：不能从频数分布表中获取相关数据正确填写列联表；不能根据列联表中数据的含义作出正确判断.【难度属性】易.（2）（ii）【考查意图】本小题以某疾病的类型与初次患病年龄的相关性问题为载体，考查独立性检验等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，考查统计与概率思想.【解法综述】只要正确计算的观测值，对照临界值表即可正确判断.思路：只要正确理解公式中，，，，的含义，并代入公式计算，再将计算结果对照临界值表，即可判断.【错因分析】考生可能存在的错误有：不能理解计算公式中，，，及的含义或者计算出错；虽然正确求出的观测值，但不能正确理解临界值表中数据的含义导致判断错误.【难度属性】中.21.【极坐标与参数方程】在极坐标系下，已知圆O：和直线l：，（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；（2）当时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．参考答案：解：（1）圆O：，即圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0．（2分）直线l：，即则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0．（5分）（Ⅱ）由．（8分）故直线l与圆O公共点的一个极坐标为．（10分）22.已知数列中，，，数列满足.⑴求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；⑵求数列的前项和；⑶