2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理第六章第六节　两角和与差的三角函数

第六节两角和与差的三角函数复习目标学法指导1.两角差的余弦公式两角差的余弦公式证明.2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)两角和与差的正弦、余弦公式.(2)两角和与差的正切公式.3.理解在两角差的余弦公式的推导过程中所体现的向量方法,理解和、差、倍角的相对性,能对角进行合理、正确地拆分,能对公式进行简单的逆用.1.准确掌握公式的结构特征与符号特点,能熟练正用、逆用、变形应用.2.巧变角:三角函数中往往出现较多的差异角,注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系,运用角的变换,化多角为单角或减少角的数目,联系条件角与待求角,使问题顺利获解.3.将三角变换与代数变换密切结合:三角变换主要是利用相应的三角公式,对于代数变换主要有因式分解、通分、提取公因式、利用相应的代数公式等.两角和与差的正弦、余弦、正切公式1.两角和与差的余弦公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

2.两角和与差的正弦公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.

3.两角和与差的正切公式tan(α+β)=QUOTEtanα+tanβ1-tantan(α-β)=QUOTEtanα-tanβ1+tanα1.公式理解两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点如下:C(α±β)同名相乘,符号反;S(α±β)异名相乘,符号同;T(α±β)分子同,分母反.2.公式的常用变式(1)和(差)与积互换公式tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ),tanαtanβ=1-QUOTEtanα+tanβtan(α+β)=-1.涉及tanα±tanβ与tanα(2)辅助角公式:asinα+bcosα=QUOTEa2+b2sin(α+)(中sin=,cos=QUOTEaa2+b2)一般形式有sinx+cosx=QUOTE2sin(x+QUOTEπ4)=QUOTE2cos(x-QUOTEπ4),sinx+QUOTE3cosx=2sin(x+QUOTEπ3)=2cos(x-QUOTEπ6),QUOTE3sinx±cosx=2sin(x±QUOTEπ6).3.与三角变换相关的结论三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称,其方法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.1.sin34°sin26°-cos34°cos26°的值是(C)(A)QUOTE12 (B)QUOTE32 (C)-QUOTE12 (D)-解析:sin34°sin26°-cos34°cos26°=-(cos34°cos26°-sin34°sin26°)=-cos(34°+26°)=-cos60°=-QUOTE12.2.已知tan(α-QUOTEπ6)=QUOTE37,tan(QUOTEπ6+β)=QUOTE25,则tan(α+β)的值为(D)(A)QUOTE2941 (B)QUOTE129 (C)QUOTE141 (D)1解析:tan(α+β)=tan[(α-QUOTEπ6)+(QUOTEπ6+β)]=QUOTEtan(α-π6)+tan(=QUOTE37+251=1.3.的值是(C)(A)QUOTE12 (B) (C) (D)解析:原式==QUOTE2(cos30°·cos20°==.故选C.4.tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.

解析:因为tan(20°+40°)=,所以QUOTE3-QUOTE3tan20°tan40°=tan20°+tan40°,即tan20°+tan40°+QUOTE3tan20°tan40°=QUOTE3.答案:QUOTE35.设a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,c=,则a,b,c按从小到大的顺序排列为.

解析:a=sin14°+cos14°=sin59°,b=sin16°+cos16°=QUOTE2sin61°,c=QUOTE62=QUOTE2sin60°,因为59°<60°<61°,所以sin59°<sin60°<sin61°,所以a<c<b.答案:a<c<b考点一两角和与差公式的基本应用[例1]已知函数f(x)=Asin(x+QUOTEπ4),x∈R,且f(QUOTE5π12)=QUOTE32,(1)求A的值;(2)若f(θ)+f(-θ)=QUOTE32,θ∈(0,QUOTEπ2),求f(-θ).解:(1)由f(QUOTE5π12)=QUOTE32,得AsinQUOTE2π3=QUOTE32,又sin=QUOTE32,所以A=QUOTE3.解:(2)由(1)得f(x)=QUOTE3sin(x+QUOTEπ4),由f(θ)+f(-θ)=QUOTE32,得QUOTE3sin(θ+)+QUOTE3sin(-θ+)=QUOTE32,化简得cosθ=,因为θ∈(0,QUOTEπ2),所以sinθ===,故f(QUOTE3π4-θ)=QUOTE3sin(QUOTE3π4-θ+QUOTEπ4)=QUOTE3sinθ=×QUOTE104=QUOTE304.两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.1.已知角α为锐角,若sin(α-)=,则cos(α-)等于(A)(A) (B)(C) (D)解析:由于角α为锐角,且sin(α-QUOTEπ6)=QUOTE13,则cos(α-QUOTEπ6)=,则cos(α-QUOTEπ3)=cos[(α-QUOTEπ6)-QUOTEπ6]=cos(α-QUOTEπ6)cosQUOTEπ6+sin(α-QUOTEπ6)sinQUOTEπ6=QUOTE223×+QUOTE13×=QUOTE26+16,故选A.2.设θ为第二象限角,若tan(θ+QUOTEπ4)=QUOTE12,则sinθ+cosθ=.

解析:由θ在第二象限,且tan(θ+QUOTEπ4)=QUOTE12,因而sin(θ+QUOTEπ4)=-,因而sinθ+cosθ=QUOTE2sin(θ+QUOTEπ4)=-QUOTE105.答案:-考点二两角和与差公式的逆用与变形应用[例2][2sin50°+sin10°(1+QUOTE3tan10°)]·QUOTE2sin280°=.

解析:原式=[2sin50°+sin10°(1+)]·QUOTE2sin80°=(2sin50°+sin10°·QUOTEcos10°+3sin10°cos10°)·QUOTE2cos10°=QUOTE2[2sin50°cos10°+2sin10°(QUOTE12cos10°+QUOTE32sin10°)]=2QUOTE2[sin50°cos10°+sin10°cos(60°-10°)]=2QUOTE2(sin50°cos10°+sin10°cos50°)=2QUOTE2sin(50°+10°)=2QUOTE2sin60°=2QUOTE2×QUOTE32=QUOTE6.答案:QUOTE6运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用及变形.公式的正用是常见的,但逆用和变形应用则往往容易被忽视,公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力,只有熟悉了公式的逆用和变形应用后,才能真正掌握公式的应用.若α+β=QUOTE3π4,则(1-tanα)(1-tanβ)的值是.

解析:-1=tanQUOTE3π4=tan(α+β)=QUOTEtanα+tanβ1-tanαtan所以tanαtanβ-1=tanα+tanβ.所以1-tanα-tanβ+tanαtanβ=2,即(1-tanα)(1-tanβ)=2.答案:2考点三角的变换[例3]已知α,β均为锐角,且sinα=,sin(α-β)=-,(1)求cosβ的值;(2)求sin(α-2β)的值.解:(1)因为α,β∈(0,QUOTEπ2),所以-QUOTEπ2<α-β<,因为sin(α-β)=-QUOTE1010,所以cos(α-β)=QUOTE31010,因为α为锐角,且sinα=QUOTE35,所以cosα=QUOTE45.所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×QUOTE31010+QUOTE35×(-QUOTE1010)=QUOTE91050.解:(2)因为sin(α-β)=-QUOTE1010,cos(α-β)=QUOTE31010,cosβ=QUOTE91050,sinβ=QUOTE131050.所以sin(α-2β)=sin[(α-β)-β]=sin(α-β)cosβ-cos(α-β)sinβ=(-)×-QUOTE31010×QUOTE131050=-QUOTE2425.(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)常见的配角技巧:α=2·;α=(α+β)-β;α=β-(β-α);α=QUOTE12[(α+β)+(α-β)];β=QUOTE12[(α+β)-(α-β)];QUOTEπ4+α=QUOTEπ2-(QUOTEπ4-α).1.设α为锐角,若cos(α+QUOTEπ6)=QUOTE45,则sin(2α+)的值为.

解析:因为α为锐角且cos(α+QUOTEπ6)=QUOTE45>0,所以α+QUOTEπ6∈(QUOTEπ6,QUOTEπ2),所以sin(α+QUOTEπ6)=QUOTE35.所以sin(2α+QUOTEπ12)=sin[2(α+QUOTEπ6)-]=sin2(α+QUOTEπ6)cosQUOTEπ4-cos2(α+QUOTEπ6)·sinQUOTEπ4=sin(α+QUOTEπ6)cos(α+QUOTEπ6)-QUOTE22[2cos2(α+QUOTEπ6)-1]=××QUOTE45-[2×(QUOTE45)2-1]=-=.答案:QUOTE172502.已知α∈(QUOTEπ2,π),β∈(,π),且sinQUOTEα2+cosQUOTEα2=QUOTE62,sin(α-β)=-QUOTE35,则cosβ的值为.

解析:因为sinQUOTEα2+cosQUOTEα2=QUOTE62,两边同时平方,得sinα=QUOTE12.又QUOTEπ2<α<π,所以cosα=-QUOTE32.又因为QUOTEπ2<β<π,所以-π<-β<-QUOTEπ2,故-QUOTEπ2<α-β<.又sin(α-β)=-QUOTE35,得cos(α-β)=QUOTE45.cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=-×QUOTE45+QUOTE12×(-QUOTE35)=-QUOTE43+310.答案:-QUOTE43+310考点四易错辨析[例4]已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=QUOTE12,tanβ=-QUOTE17,则2α-β的值为.

解析:因为tanα=tan[(α-β)+β]===QUOTE13>0,所以0<α<QUOTEπ2.又tan2α===QUOTE34>0,所以0<2α<QUOTEπ2.所以tan(2α-β)===1.因为tanβ=-QUOTE17<0,所以QUOTEπ2<β<π,-π<2α-β<0.所以2α-β=-.答案:-QUOTE3π4解决此类给值求角问题,防止增解的方法有两种,一是缩小角的范围,尽量缩至一个象限内;二是求合理的三角函数值,若角在第一、二象限,宜求余弦,若角在第一、四象限,宜求正弦.1.(2019·嘉兴高三检测)已知锐角α,β满足sinα-cosα=,tanα+tanβ+tanαtanβ=,则α,β,的大小关系是(B)(A)α<QUOTEπ4<β (B)β<<α(C)QUOTEπ4<α<β (D)<β<α解析:因为α为锐角,sinα-cosα=QUOTE16>0,所以QUOTEπ4<α<.又tanα+tanβ+QUOTE3tanαtanβ=QUOTE3,所以tan(α+β)==QUOTE3,所以α+β=,又α>QUOTEπ4,所以β<QUOTEπ4<α.故选B.2.已知α,β为锐角,sinα=QUOTE35,cos(α+β)=-QUOTE45,则2α+β=.

解析:因为sinα=,α∈(0,QUOTEπ2),所以cosα=QUOTE45,因为cos(α+β)=-QUOTE45,α+β∈(0,π),所以sin(α+β)=,所以sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)=QUOTE35×(-QUOTE45)+QUOTE45×QUOTE35=0.又2α+β∈(0,QUOTE3π2),所以2α+β=π.答案:π类型一两角和与差公式的基本应用1.已知cos(α+β)=QUOTE16,cos(α-β)=QUOTE13,则tanαtanβ的值为.

解析:因为cos(α+β)=QUOTE16,所以cosαcosβ-sinαsinβ=.①因为cos(α-β)=QUOTE13,所以cosαcosβ+sinαsinβ=QUOTE13.②①+②得cosαcosβ=QUOTE14.②-①得sinαsinβ=QUOTE112.所以tanαtanβ==QUOTE13.答案:QUOTE132.已知cos(+θ)cos(QUOTEπ4-θ)=,则sin4θ+cos4θ的值为.

解析:因为cos(QUOTEπ4+θ)cos(QUOTEπ4-θ)=(cosθ-sinθ)(cosθ+QUOTE22sinθ)=(cos2θ-sin2θ)=QUOTE12cos2θ=QUOTE14,所以cos2θ=.故sin4θ+cos4θ=()2+()2=+=.答案:QUOTE58类型二两角和与差公式的逆用与变形应用3.已知sinx-siny=-,cosx-cosy=QUOTE23,且x,y为锐角,则tan(x-y)等于(B)(A) (B)-QUOTE2145(C)±QUOTE2145 (D)±解析:因为sinx-siny=-QUOTE23,x,y为锐角,所以-<x-y<0,又①2+②2,得2-2sinxsiny-2cosxcosy=(-QUOTE23)2+()2,即2-2cos(x-y)=,得cos(x-y)=,又-QUOTEπ2<x-y<0,所以sin(x-y)=-=-=-,所以tan(x-y)==-.故选B.4.已知sinβ=msin(2α+β