2023高考数学考点12-三角化简求值

考点12三角化简求值【高考再现】热点一利用两角和差的正弦、余弦、正切公式求值1.〔2023年高考〔重庆文〕〕〔〕A． B． C． D．【方法总结】两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的.(1)运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．(2)应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用那么往往容易被无视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用.热点二利用倍角公式以及诱导公式求值1.〔2023年高考〔辽宁文〕〕,(0,π),那么= 〔〕A．1 B． C． D．12.〔2023年高考〔江西文〕〕假设,那么tan2α= 〔〕A．- B． C．- D．【答案】B【解析】主要考查三角函数的运算,分子分母同时除以可得,带入所求式可得结果.3.〔2023年高考〔大纲文〕〕为第二象限角,,那么 〔〕A． B． C． D．4.〔2023年高考〔山东理〕〕假设,,那么 〔〕A． B． C． D．5.〔2023年高考〔江西理〕〕假设tan+=4,那么sin2= 〔〕A． B． C． D．【答案】D【解析】此题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.因为,所以..6.〔2023年高考〔大纲理〕〕为第二象限角,,那么 〔〕A． B． C． D．【方法总结】一、利用诱导公式化简求值时的原那么1．“负化正〞，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．2．“大化小〞，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．3．“小化锐〞，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．4．“锐求值〞，得到0°到90°的三角函数后，假设是特殊角直接求得，假设是非特殊角可由计算器求得.二、利用倍角公式化简求值二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式〞，在考题中常有表达．【考点剖析】一．明确要求二．命题方向1．考查利用三角函数的公式对三角函数式进行化简求值.2.公式逆用、变形应用是高考热点．3.题型以选择题、解答题为主.三．规律总结根底梳理2．诱导公式公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cos_α，其中k∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tanα.公式三：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α.公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cos_α.公式五：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα.公式六：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sin_α3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式4．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；(2)C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)T2α：tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).5．有关公式的逆用、变形等6．函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)或f(α)＝eq\r(a2＋b2)cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1〞的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝taneq\f(π,4)＝….三个防范两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)；eq\f(α－β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β)).(2)化简技巧：切化弦、“1〞的代换等．三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑〞．(2)变名：通过变换函数名称到达减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦〞、“升幂与降幂〞等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换〞、“逆用变用公式〞、“通分约分〞、“分解与组合〞、“配方与平方〞等．【根底练习】1．〔教材习题改编〕，，那么等于〔〕A．B．C．D．2．〔经典习题〕函数，那么等于〔〕A．B．C．D．3．〔经典习题〕，那么等于〔〕A．3B．6C．12D．【答案】A【解析】4．〔经典习题〕sin585°的值为()A．－eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)【答案】A【解析】：sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－eq\f(\r(2),2).5．(教材习题改编)sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，|θ|<eq\f(π,2)，那么θ等于()A．－eq\f(π,6)B．－eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,3)6．〔经典习题〕假设，那么的值为()A．0B.eq\f(3,4)C．1D.eq\f(5,4)【答案】B【解析】：7.(教材习题改编)的值是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2)D．－eq\f(\r(3),2)8.(经典习题)假设，是第三象限角，那么()A．－eq\f(7\r(2),10)B.eq\f(7\r(2),10)C．－eq\f(\r(2),10)D.eq\f(\r(2),10)【答案】A【解析】：由条件sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)sinα＋eq\f(\r(2),2)cosα＝－eq\f(7\r(2),10).9．(教材习题改编)sinα＝eq\f(3,5)且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，那么sin2α－cos2α等于________．10．(教材习题改编)如果sin(π＋A)＝eq\f(1,2)，那么coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－A))的值是________．【解析】：∵sin(π＋A)＝eq\f(1,2)，∴－sinA＝eq\f(1,2).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－A))＝－sinA＝eq\f(1,2).11．(人教A版教材习题改编)以下各式的值为eq\f(1,4)的是()．A．2cos2eq\f(π,12)－1 B．1－2sin275°C.eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°) D．sin15°cos15°12．(人教A版教材习题改编)sin(π＋α)＝eq\f(1,2)，那么cosα的值为()．A．±eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D．±eq\f(\r(3),2)【名校模拟】一．根底扎实1．〔台州2023高三调研试卷理〕〔〕(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】．2．(2023·嘉兴调研)计算eq\f(1,tan10°)－4cos10°＝________.3．(2023·衡阳模拟)sinα＝eq\f(5,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，那么tan2α的值为________．【解析】：由sinα＝eq\f(5,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，可得cosα＝－eq\f(12,13)，tanα＝－eq\f(5,12).∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,12))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,12)))2)＝－eq\f(120,119).4．(2023·赣州模拟)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋cosα＝eq\f(4,5)eq\r(3)，那么sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))的值为()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),5)5．(2023·长沙模拟)假设角α的终边落在第三象限，那么eq\f(cosα,\r(1－sin2α))＋eq\f(2sinα,\r(1－cos2α))的值为()A．3B．－3C．1 D．－16．〔2023海淀区高三年级第二学期期末练习文〕的值为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】C【解析】7．〔2023年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)文〕=〔〕A．B．-C．D．-【答案】A【解析】故答案为A.8．(长春市实验中学2023届高三模拟考试〔文〕)，那么等于〔〕9．(河南省郑州市2023届高三第二次质量预测文)，那么=__【答案】：【解析】：依题意得，，.二．能力拔高.1．(2023·宁波模拟)化简：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2)))·eq\f(1－cos2α,sin2α)＝________.2．(中原六校联谊2023年高三第一次联考理)那么的值是〔〕A． B． C． D．【答案】C【解析】∵∴∴3．，那么〔〕A． B． C． D．4．(山西省2023年高考考前适应性训练理)〔〕A．B．C．D．25．(浙江省杭州学军中学2023届高三第二次月考理，那么的值为〔〕A．B．C．D．6．(2023·湖州一中模拟)cosα＝eq\f(1,7)，cos(α－β)＝eq\f(13,14)，且0<β<α<eq\f(π,2)，(1)求tan2α的值；(2)求β.7．(2023·温州模拟)假设eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝3，tan(α－β)＝2，那么tan(β－2α)＝________.【解析】：由条件知eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝3，∴tanα＝2.∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]8．(2023·杭州师大附中月考)如果f(tanx)＝sin2x－5sinxcosx，那么f(5)＝________.9．(2023·杭州调研)点A(sin2011°，cos2011°)在直角坐标平面上位于()．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限10．(河北省唐山市2023—2023学年度高三年级第二次模拟考试理)是第三象限的角，且tan=2，那么sin〔+〕= A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，α为第三象限，所以，，所以应选A.11．〔成都市2023届高中毕业班第二次诊断性检测理〕假设，那么=〔〕(A)(B)