高中数学第2章统计2.3总体特征数的估计2.3.2方差与标准差教学案苏教版必修3-苏教

2．3.2方差与标准差预习课本P69～71，思考并完成以下问题1．什么叫一组数据的极差、方差、标准差？2．一组数据的方差和标准差具有什么作用？[新知初探]1．极差、方差、标准差(1)极差：一组数据的最大值与最小值的差．(2)方差与标准差：1nx，x，…，x，其平均数为x，那么称s2＝(x－x)2为这个样n12ni设一组样本数据i＝11nn本的方差，其算术平方根s＝x－x2为样本的标准差．ii＝12．方差与标准差的作用标准差与方差描述一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．方差、标准差刻画了一组数据的稳定程度．[小试身手]1．数据0,1,3,4,7的极差为________，方差为________．762．一组数据1,2,3,4，a的平均数是3，那么数据的方差答案：223．假设1,2,3，答案：为________，标准差为________．x的平均数是5，而1,3,3，x，y的平均数是6，那么1,2,3，x，y的方差是________．1＋2＋3＋x5＝得x＝14.4同理y＝9.1由s2＝5(12＋22＋32＋142＋92)－5.82＝24.56.答案：24.56方差、标准差的计算及应用[典例]甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据(单位：cm)为：甲：9910098100100103；乙：9910010299100100.(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．1[解](1)x＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，6甲1x＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.乙61s2＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－甲67100)2]＝.31s2＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－乙6100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又s2＞s2，甲乙所以乙机床加工零件的质量更稳定．(1)方差常用计算公式有两个1①基本公式s2＝[(x－x)2＋(x－x)2＋…＋(x－x)2]．n12n1n1n②简单计算公式：s2＝[(x＋x＋…＋x2)－nx2]或写成s2＝(x＋x＋…＋x2)－21222122nnx2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方．(2)在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，因此还要研究样本数据偏离平均数的离散程度(即方差或标准差)，标准差大说明样本数据分散性大，标准差小说明样本数据分散性小或者样本数据集中稳定．[活学活用]某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量(单位：g)是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图如以下图：根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，说并明哪个车间的产品的重量相对稳定．解：设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为x、x，方差分别为s2、s2，甲乙甲乙122＋114＋113＋111＋111＋107那么x＝＝113，6甲124＋110＋112＋115＋108＋109x＝＝113，6乙1s2＝[(122－113)2＋(114－113)2＋(113－113)2＋(111－113)2＋(111－113)2＋(107－甲6113)2]＝21，1s2＝[(124－113)2＋(110－113)2＋(112－113)2＋(115－113)2＋(108－113)2＋(109－乙6113)2]3/121＝293，由于s2＜s2，所以甲车间的产品的重量相对稳定.甲乙方差的性质[典例]设数据x，x，…，x的方差为s2，求以下各组数据的方差．12n(1)x＋b，x＋b，…，x＋b；12n(2)axax，…，ax；n1,2(3)ax＋b,ax＋b，…，ax＋b.12n[解]设数据x，x，…，x的平均数为x，12n那么数据x＋b，x＋b，…，x＋b的平均数为x＋b，12n数据12ax，ax，…，ax的平均数为ax，n数据ax＋b，ax＋b，…，ax＋b的平均数为ax＋b，12n设数据x＋b，x＋b，…，x＋b的方差为s，2112n数据ax，ax，…，ax的方差为s，2212n数据ax＋b，ax＋b，…，ax＋b的方差为s，2312n1(1)s2＝[(x＋b－x－b)2＋(x＋b－x－b)2＋…＋(x＋b－x－b)2]n112n1＝[(x－x)2＋(x－x)2＋…＋(x－x)2]＝s2，n12n1(2)s2＝[(ax－ax)2＋(ax－ax)2＋…＋(ax－ax)2]n212n1＝a2·[(x－x)2＋(x－x)2＋…＋(x－x)2]＝a2s2，n12n1(3)s2＝[(ax＋b－ax－b)2＋(ax＋b－ax－b)2＋…＋(ax＋b－ax－b)2]n312n1＝[(ax－ax)2＋(ax－ax)2＋…＋(ax－ax)2]n12n1＝a2·[(x－x)2＋(x－x)2＋…＋(x－x)2]n12n＝a2s2.(1)数据x，x，…，x与数据x＋b，x＋b，…，x＋b的方差相等；nn1212(2)假设x，x，…，x的方差为s2，那么ax，ax，…，ax的方差为a2s2；12n12n(3)假设x，x，…，x的方差为s2，那么ax＋b，ax＋b，…，ax＋b的方12n12n差为a2s2.反映了方差的性质，利用这些性质可比较方便地求一些数据的方差．[活学活用]1．一组数据x，x，…，x的平均数是2，方差为6，那么数据x－1，x－1，…，x128128－1的平均数是________，方差是________．答案：162．一组数据x，x，…，x的平均数是－2，方差是4，那么数据2x＋3,2x＋3，…，12n122x＋3的平均数是________，方差是________．n答案：－116统计图表中的方差问题[典例](某某高考)某工厂36名工人的年龄数据如下表.工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄123456789404440413340454243101112131415161718363138394345393836192021222324252627274341373442374442282930313233343536343943384253374939(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，为44，列出样本的年龄数据．(2)计算(1)中样本的均值x和方差s2.且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据5/12(3)36名工人中年龄在x－s与x＋s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?[解](1)36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以它在组中的编号为2，所以所有样本数据的编号为4n－2(n＝1,2，…，9)，其年龄数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37.44＋40＋…＋37(2)由均值公式知：x＝9＝40，1100由方差公式知：s2＝9[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝9.10010(3)因为s2＝，9s＝，3所以36名工人中年龄在x－s和x＋s之间的人数等于年龄在区间即40,40,41，…，39，共23人．所以36名工人中年龄在x－s和x＋s之间的人数所占的百分比为[37,43]上的人数，23×100%≈63.89%.36(1)解决统计图表中的方差问题的基本方法是从图表中读取数据后，再利用方差含义求出方差．(2)利用组中值求出的方差为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它能粗略估计方差．[活学活用]从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]分组频数6(1)在下表中2638228作出这些数据的频率分布直方图：(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%〞的规定？解：(1)如下图：(2)质量指标值的样本平均数为x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0．38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%〞的规定．层级一学业水平达标1．给出以下说法：①一组数据不可能有两个众数；②一组数据中的方差必须是正数；③将一组数据中的每一个数据加上或减去同一常数后，方差恒不变；④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于答案：22．某老师从星期一到星期五收到电子数分别是10,6,8,5,6，那么该组数据的方差s2＝________.解析：5个数据的平均数x＝5相应小组的频率，其中错误的个数有________个．10＋6＋8＋5＋61＝7，所以s2＝×[(10－7)2＋(6－7)2＋57/127)＋(5－7)＋(6－7)]＝3.2.222答案：3.23．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲87乙899190909189889392那么成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．190，甲的方差为s2＝×[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(895甲解析：易知均值都是－90)2＋(93－90)2]＝4.1乙的方差为s2＝×[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝乙52.∴s2＞s2甲乙答案：24.如图是某市歌手大奖赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图，假设去掉一个最高分和一个最低分，那么剩余分数的方差为________．解析：去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据为84,84,84,86,87，18其均值为85，方差为s2＝[(84－85)2×3＋(86－85)2＋(87－85)2]＝5.58答案：55．从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)：甲：25414037221419392142乙：27164427441640401640问：(1)哪种玉米苗长得高？(2)哪种玉米苗长得齐？11解：(1)∵x＝(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝×300＝30(cm)，1010甲11x＝(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝×310＝31(cm)．1010乙∴x＜x，即乙种玉米苗长得高．甲乙word1(2)s2＝[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋10甲(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]11＝(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝×1042＝104.2，10101s2＝(2×272＋3×162＋3×402＋2×442)－31210乙＝128.8，∴s2＜s2，即甲种玉米苗长得齐．甲乙层级二应试能力达标1．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差见表：甲乙丙丁平均数x8.58.88.88方差s23.53.52.18.7那么参加奥运会的最正确人选应为________．解析：由平均数及方差的定义知，丙的平均成绩较高且较稳定．答案：丙2．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.以下说法一定正确的选项是________．①这种抽样方法是一种分层抽样；②这种抽样方法是一种系统抽样；③这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差；④该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数．解析：对①，分层抽样要求男女生总人数之比等于男女生抽样人数之比，所以①错．对②，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以②错．对③，男生方差为8，女生方差为6，所以③正确．对④，抽取的样本平均成绩不能代表总平体均成绩．所以④错．答案：③3．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.这组数据的平均数为10，方差为2，那么x2＋y2的值为________．9/1211解析：由(x＋y＋10＋11＋9)＝10，[(x－10)2＋(y－10)2＋0＋1＋1]＝2，联立解得5x2＋y2＝208.答案：2084．假设510个正数的平方和是370，方差是33，那么平均数为________．11解析：由s2＝(x＋x＋…＋x2)－x2，得33＝×370－x2，解得x＝2.2122101010答案：25．样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率条形图如图，那么其标准差等于________．解析：由条形图知2与8的个数相等，且多于5的个数，于是这10个数分别为12,2,2,2,5,5,8,8,8,8.∵x＝5，∴s2＝[(2－5)2＋(2－5)2＋(2－5)2＋(2－5)2＋(5－5)21013665＋(5－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2]＝×8×9＝5.∴s＝.10565答案：56．甲、乙两名同学在五次考试中的数学成绩统计用茎叶图表示如下图，那么成绩的方差较小的为________.1解析：x＝(98＋99＋105＋115＋118)＝107，甲51x＝(95＋106＋108＋112＋114)＝107.乙51s2＝[(98－107)2＋(99－107)2＋(105－107)2＋(115－107)2＋(118－107)2]＝66.8.甲51s2＝[(95－107)2＋(106－107)2＋(108－107)2＋(112－107)2＋(114－107)2]＝44.乙5∴成绩的方差较小的为乙．答案：乙7．一组数据的每一个数据都减去80，得到一组新数据，假设求得的新数据的平均数是1.2，方差是4.4，那么原来的数据的平均数和方差分别是________．解析：由平均数与方差的性质知原来数据的平均数1.2＋80＝81.2.方差不变．答案：81.2,4.48．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额〞的调查．他们将调查所得的数据分别绘制成频率分布直方图(如下图)，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s，s，s，那么它们的大小关系为________．123解析