切线长定理和三角形的内切圆

24.2.2直线与圆的位置关系(3)（2）直线l

和⊙O相切

（1）直线l和⊙O相离（3）直线l和⊙O相交d>rd=rd<rdorldorlodrl1.直线和圆的位置关系(1)若直线与圆的一个公共点已指明，则连接这点和圆心，然后说明直线垂直于经过这点的半径；

——连半径，证垂直(2)若直线与圆的公共点未指明，则过圆心作直线的垂线段，然后说明这条线段的长等于圆的半径．

——作垂直，证相等2.证明直线是圆的切线有如下两种方法:画一画●O●

P┑●O●P┓┓┓┓┓1.已知⊙O上有一点P,你能过点p作出⊙O的切线吗?2.已知⊙O外有一点P,你还能过点P点作出⊙O的切线吗?··oo′p1.连结OP2.以OP为直径作⊙O′，与⊙O交于A、B两点。AB即直线PA、PB为⊙O的切线如图，已知⊙O外一点P，你能用尺规过点P作⊙O的切线吗？通过作图你能发现什么呢？观察实验1.过圆外一点作圆的切线可以作两条2.点A和点B关于直线OP对称说明经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。切线长是一条线段如图，过圆外一点有两条直线PA、PB与⊙O相切。在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长。ABPO。切线与切线长的区别与联系：（1）切线是一条与圆相切的直线；（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。·opAB如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点。如果连结OA、OB、OP，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？探究∵PA、PB是⊙O的切线，

A、B为切点∴OA⊥PA，OB⊥PB又∵OA＝OB，OP＝OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO结论切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。·opAB符号语言∵PA、PB是⊙O的切线，

A、B为切点∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO猜想如图，若连接AB，则OP与AB有什么关系？分析∵PA、PB是⊙O的切线，

A、B为切点∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO∴OP⊥AB，且OP平分ABCD归纳从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的弧。AD与BD相等吗？⌒⌒我们学过的切线，常有五个性质：1、切线和圆只有一个公共点；2、切线和圆心的距离等于圆的半径；3、切线垂直于过切点的半径；4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。六个例1已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C.（1）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的全等三角形.（3）如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长.AOCDPBE解：(1)OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB(2)△OAP≌△OBP,△OCA≌△OCB△ACP≌△BCP.(3)设OA=xcm,则PO=PD+x=2+x(cm)

在Rt△OAP中，由勾股定理，得

PA2+OA2=OP2

即42+x2=(x+2)2

解得x=3cm

所以，半径OA的长为3cm.利用切线长定理进行计算·P·OABc如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，OP交⊙O于C，若PA＝6，PC＝2，求⊙O的半径OA及两切线PA、PB的夹角。解：连接OA、AC，则OA⊥AP在Rt△AOP中，设OA＝x则OP＝x＋2∴OA2＋PA2＝OP2即x2＋62＝（x＋2）2解得x＝2，即OA＝OC＝2∴OP＝4

在Rt△AOP中，OP＝2OA∴∠APO＝30°∵PA、PB是⊙O的切线∴∠APB＝2∠APO＝60°∴⊙O的半径为2，两切线的夹角为60°利用切线长定理进行证明·ABCDEO21例2如图，已知：在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点E，切AC于点D。求证：DE∥OC证明：连接ＢＤ．∵∠ＡＢＣ＝９０°，ＯＢ为⊙Ｏ的半径∴ＣＢ是⊙Ｏ的切线∵ＡＢ是⊙Ｏ的切线，Ｄ是切点∴ＣＤ＝ＣＢ，∠１＝∠２∴ＯＣ⊥ＢＤ∵ＢＥ是⊙Ｏ的直径∴∠ＢＤＥ＝９０°，即ＤＥ⊥ＢＤ∴ＤＥ∥ＯＣ例1、已知：PA，PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于E,PO=13,AO=5,则△PCD周长为

______切线长定理的应用解：∵PA是切线∴AP⊥AO又∵PO=13，AO=5∴AP=12又∵PB是切线∴PB=PA=12又∵CD是切线∴DA=DE，CE=CB∴△PCD周长=PD+PC+CD=PD+PC+DE+CE=PA+PB=24E练习1、如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与⊙O的切线DC分别相交于C、D，已知PA=7cm，则△PCD的周长等于_________切线长定理的应用。PBAO（3）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点（1）分别连结圆心和切点想一想常见辅助线已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的周长。EAQPFBO易证EQ=EA,FQ=FB,PA=PB∴

PE+EQ=PA=12cmPF+FQ=PB=PA=12cm∴周长为24cm例题1

变式：如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D，已知PA=7cm，(1)求△PCD的周长．(2)如果∠P=46°,求∠COD的度数C

·OPBDAE

如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ABC三角形的内切圆的定义：ABC和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆三角形叫圆的外切三角形定义思考：如图，是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？ICABDEF⊙I与△ABC的三边相切于点D、E、F.因此ID=IE=IF=⊙I的半径r.问题１：作圆的关键是什么？问题２：怎样确定圆心的位置？问题３：圆心的位置确定后怎样确定圆的半径？ABC（确定圆心和半径）（作两条角平分线，其交点就是圆心的位置）（过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径）作圆，使它和已知三角形的各边都相切已知：△ABC（如图）求作：和△ABC的各边都相切的圆问题４:在这块三角形材料上还能裁下更大的圆吗?（不能）任何一个三角形都只有一个内切圆思考：如何作出疫这个圆？镜（尺规作暖图）ICABEDF与三角稍形的各总边都相铲切的圆恶叫做三鉴角形的内切圆，内切圆典的圆心是贪三角形三条角丘平分线纷的交点，叫做钳三角形炎的内心。三角形厘的内心灯到三角航形三边南的距离约相等。3、以I为圆心，ID为半径作插⊙I，⊙I就是所求氧的圆.作圆，使准它和已知滑三角形的辉各边都相味切已知：语△ABC（如图）求作：和老△ABC的各边都引相切的圆ABCMNID作法：1、作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.2、过点I作ID⊥吐BC，垂足胸为D.三角形落内切圆丢的圆心罗叫三角敲形的内心②三角形洽的内心滥到三边父的距离阀相等①三角形的伍内心是三口角形角平糠分线的交制点③三角形的句内心一定档在三角形能的内部三角形内心的性质定义：和骨多边形各悬边都相切盾的圆叫做，这个多边形叫围做。多边形芽的内切墓圆圆的外爸切多边益形内切外切如上图，裹四边形DEF汇G是⊙O的四边形，⊙O是四边预形DEF驰G的圆，DEFG.O思考:我们所学某的平行四房诚边形，矩膜形，菱形引，正方形，等腰盘梯形中，乐哪些四边库形一定有警内切圆？(菱形，疏正方形寨一定有铜内切圆)定义例2、如图运，四边池形AB赞CD的仰边AB长、BC记、CD续、DA蛛和圆⊙婆O分别晌相切于换点L、喉M、N姓、P，求证：律AD族+BC么=AB殊+CDDLMNABCOP证明：由完切线长定闭理得∴AL=A潮P，LB=M贺B,NC烛=MC，DN=D披P∴AL+逮LB+添NC+稼DN=岔AP+皆MB+霞MC+出DP即AB+C枕D=AD员+BC补充：圆的外杯切四边旱形的两帝组对边睡的和相谣等．明确1.一个三演角形有网且只有盏一个内展切圆；2.一个圆有每无数个外蚕切三角形爽；3.三角形负的内心挠就是三角角形三喂条内角刊平分线的交受点；4.三角形移的内心叉到三角织形三边岔的距离落相等。名称确定方法图形性质

内预心（三角沸形内切证圆的圆愉心）三角形州三边中掌垂线的搂交点三角形三务条角平分线身的交点(1)挂OA=索OB=富OC(2)外心不饰一定在智三角形嚼的内部阁．（1）到三招边的距励离相等睬；（2）OA、OB、OC分别平分伸∠BAC、∠ABC、∠ACB；（3）内心在陕三角形内用部．外勺心(三角形外接圆的圆心)

如图，在△ABC中，点O是内心，（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，求∠BOC的度数ABCO（2）若∠A=80印°,则∠BOC=度。（3）若∠BOC=正100疾°，则∠A=度。∴∠BOC=180°-（∠ABC＋∠ACB）12

=180°－60°=120°同理∠OCB=∠OCA=12∠ACB=35°解（1）∵点O是△ABC的内心，∠ABC=25°∴∠OBC=

∠OBA=12试探讨∠BOC与∠A之间存牌在怎样拨的数量该关系？请说明肚理由．如图，饱△ABC中，∠ABC=音500,∠ACB宜=750,点O是内心，浪求∠BOC的度数盟。巩固：CABO例1△ABC的内切圆度⊙O与BC、CA、AB分别相切倒于点D、E、F，且AB=9越cm，BC=1伯4cm，CA=1叮3cm，求AF、BD、CE的长.解:设AF=俘x(c棋m),苏BD诊=y(梅cm)巡寿,CE＝z(c肺m)∴AF=4蠢(cm)再,管BD=5猜(cm)驳,备CE=招9(cm繁).∵⊙O与△ABC的三边闷都相切∴AF＝AE,B龙D＝BF,C躺E＝CD则有x＋y＝9y＋z＝14x＋z＝13解得x＝4y＝5z＝9思考：如果△ABC的周长为m,面积为s，那么内麦切圆的半球径r是多少？·BDEFOCA如图，△ABC的内切圆劈燕的半径为r,△ABC的周长障为l,求△ABC的面积S.解：设△ABC的内切侄圆与三栽边相切事于D、E、F，连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，则OD⊥A选B，OE⊥芽BC，OF⊥A愚C.∴S△AB储C＝S△AO趴B＋S△BO扩C＋S△AO军C＝AB·OD＋BC·OE＋AC·OF＝l·r设△ABC的三边为a、b、c，面积为S，则△ABC的内切俱圆的半先径r＝结论2Sa＋b＋c探究三角形辨的内切愿圆的有串关计算三角形筋的内切弟圆已知:如图,△A薪BC的面积S=4c原m2,周长等披于10cm凑.求内切扒圆⊙O的半径r.●ABC●O●┗┓ODEF┗老师提它示:△ABC的面积=△AO露B的面积+△B六OC的面积+△AO蒜C的面积.·ABCEDFO如图，掀Rt△妇ABC饲中，∠豪C＝9璃0°,廉BC＝罢a,A粘C＝b形,通AB＝柜c,⊙O为Rt△番ABC的独内切圆.绪求：Rt钉△ABC嘱的内切圆华的半径r.设AD=x,BE泳=y,CE＝r∵⊙O与Rt△A云BC的三边充都相切∴AD＝AF,重BE＝BF,届CE＝CD则有x＋r＝by＋r＝ax＋y＝c解：设Rt△萍ABC的内切红圆与三腔边相切皮于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥A翻C，OE⊥奸BC，OF⊥寻AB。解得r＝a＋b－c2结论设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的内切圆的半径

r＝或r＝a＋b－c2aba＋b＋c直角三角熊形的内切筝圆已知:如图,⊙O是Rt△铁ABC的内切圆,∠C是直角,∠A宏C=3妈,BC区=4.求⊙O的半径r.●ABC●┏O●┗┓ODEF┗练习1.已知三角贡形的内切沉圆半径为3，三角朱形的周旁长为20，则该三题角形的面芦积为。CABO2、Rt△A茫BC中，斜巩边AB=1慈0cm，AC=6遭cm，则内切菜圆半径为.ABCO面积法3、如图,△AB崖C中，AB=室AC=盯10c转m，BC=8咬cm，求△ABC的外接圆管半径r和内切箭圆半径R.CABDOI（A）梯形芽（B）菱形（C）矩形怀（D）平行旅四边形1、下列图迫形中，一映定有内切胡圆的四边减形是（结）2、如图盒，△ABC中，E是内心，多∠A的平分线搜和△ABC的外接圆狂相交于点D.求证：DE＝DB练存习3、如图，运菱形ABC幼D中，周多长为40，∠ABC得=12脑0°，则内影切圆的泉半径为崇（脚）（A）

（B）

（C）

（D）

4、如图，旷⊙O是△ABC的内切圆雄，D、E、F是切点平，∠A=5弯0°，∠C=6苏0°，则∠DOE=（）（A）70°（B）110°（C）120°（D）130°5、等边袖三角形常的内切脂圆半径敏、外接认圆的半古径和高抵的比为爬（卖）（A）1∶∶

（B）1∶2∶

（C）1∶∶2

（D）1∶2∶3

6、存在劲内切圆紫和外接倚圆的四引边形一已定是（班）（A）矩形淘（B）菱形（C）正方形享（D）平行四岁边形7、画一夫个边长屋为3cm的等边返三角形勤，在画礼出它的阁内切圆娱．1、本节课跪从实际驻问题入辨手，探虚索得出咏三角形尿内切圆亡的作法.2、通过支类比三移角形的吊外接圆丹与圆的旱内接三纤角形概回念得出三角形的骄内切圆、龄圆的外切遥三角形概件念，并介甩绍了多边副形的内切圆话、圆的脏外切多身边形的屈概念。3、学习碍时要明确“接”和“切”的含义盆、弄清“内心”与“外心”的区别，4、利用三呼角形内心集的性质解阔题时，要丢注意整体村思想的运用，在旧解决实尾际问题埋时，要巡寿注意把藏实际问沟题转化胡为数学肉问题。归纳总结9、静夜四尤无邻，荒王居旧业贫映。。4月-志234月-确23Fri正day鞋,A越pri格l2炕8,稻202帮310、雨中黄丑叶树，灯哈下白头人逼。。05:供30:泉4605:烧30:戴4605:库304/2泪8/2脊023漏5:脾30:倚46吃AM11、以我邀独沈久身，愧君涌相见频凭。。4月-肾2305:努30:径4605:问30Apr-弊2328-嫩Apr谦-2312、故人江止海别，几砖度隔山川榆。。05:哨30:矩4605:扶30:琴4605:侮30Fri匆day搭,A先pri谊l2你8,禁202烦313、乍见翻刘疑梦，相贝悲各问年嚼。。4月-2浪34月-2尽305:3好0:4605:3危0:46Apri劣l28束,20螺2314、他乡嚼生白发祥，旧国精见青山灰。。28四姿月20利235:3丙0:4拔6上狡午05:母30:嗽464月-认2315、比不销了得就誓不比，泥得不到有的就不搁要。。。四月研235:3筝0上胳午4月-2印305:狗30Apri良l28络,20纤2316、行动傲出成果典，工作兔出财富去。。202辩3/4并/28咽5:拖30:翁4605:3洪0:4628近Apr辰il莫202脂317、做前案，能够俘环视四拍周；做暂时，你绳只能或章者最好韵沿着以哗脚为起捐点的射贿线向前岗。。5:3联0:4结6上社午5:3灿0上深午05:伯30:写464月-2昆39、没有浅失败，滨只有暂良时停止健成功！春。4月-非234月-2旧3Fri嫩day隙,A疗pri灾l2裂8,且202肤310、很多事睡情努力了萄未必有结眨果，但是想不努力却无什么改变再也没有。却。05:3担0:4605:3垄0:4605:煤304/28勺/202心35:枪30:4且6AM11、成功畅就是日伸复一日龙那一点袭点小小过努力的剩积累。灭。4月-叫2305:3断0:4605:3芬0Apr双-2328-A该pr-2蜘312、世间成赠事，不求姥其绝对圆够满，留一炭份不足，旦可得无限浅完美。。05:3炼0:4605:欺30:梯4605:3互0Frid吵ay,秆Apri纱l28婆,20节2313、不知香毒积寺，数播里入云峰鹅。。4月-签234月-2挎305:毯30:撤4605:招30:乎46Apri励l28勾,20与2314、意志粪坚强的姨人能把吐世界放喝在手中穿像泥块肌一样任贱意揉捏展。28四扣月20骄235:3计0:4兴6上答午05:3秆0:464月-2泼315、楚塞欧三湘接蜂，荆门库九派通弦。。。四月2略35:30贼上午4月-间2305:炊30Apr援il肝28,宇20杏2316、少年十史五二十时口，步行夺科得胡马骑共。。202庭3/4示/28歇5:柳30:下4605:3里0:4628劲Apr劝il与202饮317、空山新润雨后，天狂气晚来秋