高中数学-利用导数研究函数的极值教学设计学情分析教材分析课后反思

1.3.2《利用导数研究函数的极值》教学设计1、教材分析：《利用导数研究函数的极值》是在学生学习了《利用导数判断函数的单调性》之后初步具备了运用导数研究函数的能力后学习的，并为研究函数的最值奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用。本节课在本单元乃至整个数学学习中都具有十分重要的地位。2、学情分析：学生已经初步学习了运用导数研究函数，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。本节课能够进一步提高学生运用导数研究函数的能力,体会导数的工具作用。3、教学目标：（1）知识与技能：①了解函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；②掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法；③了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。（2）过程与方法：培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。（3）情感态度与价值观：①体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性；②培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神；③激发学生的民族自豪感，培养学生的爱国主义精神。4、教学重点和教学难点：（1）教学重点：掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法。（2）教学难点：函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。5、教法学法分析：本节课我将采用自主学习--成果展示--合作探究--教师点拨--巩固提高的教学环节。并利用信息技术创设实际问题的情境。发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。6、学法分析：通过用导数研究函数的极值，提高学生的导数应用能力。通过用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值，得到求极值的一般方法。7、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习（1）导数的几何意义是什么？利用导数求函数单调区间的步骤？学生口答教师提出问题，学生思考并回答。激活学生头脑中的原有知识，为引入新课做准备。情景引入展示图片：我国广西著名景点：桂林让学生观察图片，对极值和极值点有一个感性认识。通过对极值和极值点的感性认识，逐步上升到理性认识。激发学生的民族自豪感，培养学生的爱国主义精神.引起学生兴趣，激起学生的求知欲。x0概念形成x01.总结得出极大值和极大值点的定义。已知函数y=f(x)，设x0是其定义域（a,b)内任意一点，(1)如果对x0附近的所有点x，都有f(x)<f(x0),则称f(x)在x0处取极大值。记作:f(x)极大值=f(x0)。并把x0称为函数f(x)的一个极大值点x0x0（2)如果对x0附近的所有点x，都有f(x)>f(x0),则称f(x)在x0处取极小值。记作:f(x)极小值=f(x0)。并把x0称为函数f(x)的一个极小值点。教师给出极大值和极大值点的定义学生通过对比，归纳出极小值和极小值点的定义。通过严谨的数学语言描绘定义，让学生感受数学的规范性。学生经历直观感知、观察发现、归纳类比的思维过程，引导学生创新与实践。培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神。概念深化yyabx1x2x3x4Ox观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.问题1：函数的极大值一定大于极小值吗？问题2：函数的极大值一定是最大值吗？极小值一定是最小值吗？问题3：函数在极大值点X1处的导数值等于多少？在X1两侧导数f′(x)的符号有什么特点？学生观察回答，教师点拨。放手让学生独立处理，有利于深化数学知识。学生分组讨论三个问题，总结得出答案，小组代表回答，其他成员补充完善。巩固学生对极值和极值点的理解。帮助学生构建知识体系，巩固、完善、深化对知识、规律内涵的认识。方法形成1.函数的极值点与导数的关系(1)如果f′(x0)=0,并且在x0附近的左侧f′(x0)>0右侧f′(x0)<0,那么x0就是极大值点，f(x0)就是极大值。(2)如果f′(x0)=0,并且在x0附近的左侧f′(x0)<0右侧f′(x0)>0,那么x0就是极小值点，f(x0)就是极小值。思考：如果在f/(x0)=0，在x0的左右两侧f/(x)的符号不变，x0还是极值点吗？举例说明。2.求函数极值的步骤（1）求导数f/(x)；（2）解方程f/(x)=0，求得所有实数根；（3）考察在每个根x0附近，从左到右，导数f/(x)的符号变化，如果f/(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果由负变正，则f(x0)是极小值。学生思考并总结极值点和导数的关系。学生思考回答并举例讲解。学生总结，教师补充。体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。培养学生学习数学的严谨性，并借此处复习逻辑部分的充分必要条件这一问题。进一步锻炼学生的归纳能力。典例分析例1.已知函数求函数在区间（-3,4）上的极大值和极小值。解题小结：求函数y=f(x)极值(极大值、极小值)的方法：(1)求导；(2)求极值点；(3)讨论单调性；(4)列表；(5)写出极值.学生思考并回答解题过程，教师投影展示。学生总结解题方法，培养归纳能力。对所学知识灵活运用，使学生掌握规范的解题步骤。通过典型例题巩固学生对新知识的理解。通过对典型例题的板演，让学生明确求极值的方法，突出本节课的重点。培养学生规范的表达能力，形成严谨的科学态度。巩固练习求下列函数的极值(1)y=x2-7x+6(2)y=3x4-4x3学生练习，在整个过程中，教师做好课堂巡视，加强对学生的个别指导巩固所学知识，进一步促进认知结构的内化，并且可使学生对自己的学习进行自我评价。其中第二个小题再一次涉及导函数是0但不是极值点的情况，加强这一难点的突破。典例分析例2.已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1，(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．学生自我寻找突破口后解决例2，然后投影展示讲解。通过投影展示加强学生学习的主人翁精神。归纳总结一个定义：函数极值的定义一个方法：利用导数研究函数极值的基本方法步骤（1）求导数f/(x)；（2）解方程f/(x)=0，求得所有实数根；（3）考察在每个根x0附近，从左到右，导数f/(x)的符号变化.先由学生自己总结，再由师生共同归纳完善。学生从认识、方法两个方面进行总结，提高学生的概括、归纳能力。课堂检测1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．函数取极小值时，x的值是A.2B.2,-1C.-1D.-33.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10.求常数a，b的值．学生课堂上独立完成课堂检测题检测学生对本节课的掌握情况，教师通过批阅检测题，了解学生的掌握程度，并制定出相应的对策。布置作业教科书第30页练习A2,4[板书设计]：课题：利用导数研究函数的单调性极值、极值点的定义函数极值点与导数的关系利用导数求极值的步骤学生板演学生板演通过板书，给同学们留下深刻的印象，帮助学生构建清晰的知识体系。学情分析（1）本节是人教B版选修2-2第二章第三大节第二小节的内容，通过第一小节利用导数判断函数的单调性的学习，学生已经初步了解了导数在函数中的应用，学会了利用导数求函数的单调区间以及由函数的单调区间研究函数的导数，为了培养学生运用导数的基本思想分析和解决实际问题的能力，本节继续学习利用导数解决较复杂的极值问题。（2）高二的学生已经学习过了基本初等函数，并在本章学习了导数的其他有关知识，为本节的学习做了知识上的储备，经过高中一年多的锻炼，学生的理性思维也有了较大程度的提升，这为本节的学习打下了能力上的基础。但高二的学生逻辑思维的发展还不成熟、不严密，特别是对于学习基础薄弱的学生要不断地创设问题情境，引发学生思考，培养他们的逻辑思维能力，逐步形成利用数形结合的数学思想解决问题的能力。（3）为了取得更好的学习效果，本节课学习之前要进行充分的课前学习准备，包括对教材的阅读预习，引导学生对现实生活中和本节有关情景的关注等等。效果分析1.课堂上同学们积极参与，踊跃发言，认真讨论，达到了预设的教学效果。2.通过课堂检测题的上收和批阅进一步反映出本节课的教学效果，下面结合统计数据进行分析题目答对人数/总人数正确率效果分析1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件50/50100%第一题是课堂当中分析讲解过的知识点，学生通过率100%，这说明学生课堂上均认真听讲，参与课堂，并把所学新知识内化到认知结构当中。2．函数f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)x2＋2x取极小值时，x的值是()A．2B．2，－1C．－1 D．－3D-347/5094%第二题是求函数极值点的题目，利用求极值点的步骤本应该顺利解决，但有三名同学出现了错选，错选的选项都是A，原因是判断极大值点和极小值点相混淆了，应对策略是重新认识极大值点和极小值点的判断。3.已知函数在x＝1处有极值10.求常数a，b的值．39/5078%第三题是由函数的极值研究参数的问题，较多同学出错（11人），其中1人未写出有效解题过程，此生是学习基础较差的同学，基础较差导致对新知识的认知较慢，应对策略是课下单独约谈讲解。另外10是在解出两组a、b的值之后未对其进行检验导致的增解，是由于解题的不严谨造成的，解决的策略是课堂上统一强调带回题目验证的重要性，并借此培养学生对数学严谨性的认识。通过课堂检测的分析可以基本认定本节的效果是良好的，所有同学都对基本知识能够掌握。对出现的个别错误也在可控范围之内。教材分析 （1）《利用导数研究函数的极值》这一部分内容既是导数概念、几何意义以及运算的应用，又是利用导数研究函数单调性的对比延伸，更为研究函数的最值和导数的实际应用奠定基础，所以本节课在整个教材体系中的地位是举足轻重的，它既要实现自身的教学目标，又要体现其前后的承接作用，搭设一个知识延伸的桥梁，实现知识学习的过渡。（2）在人教A版和人教B版中都是将本节课的内容放在了选修2-2的第一章，一方面是高二下学期的学生已经学习了有关函数单调性的知识并已经熟练掌握，物理学科上也学习了平均速度、瞬时速度等概念，为这一部分的学习打好了基础。另一方面A版和B版都是将本章内容和《推理与证明》及《数系的扩充与复数》两章搭配成册，这既考虑了本章内容的重要性，又能让学生的学习内容难易结合循序渐进，利于学生对整个高中知识的掌握。（3）微积分在进入高中教材时对课程资源是有所整合和取舍的，并没有将大学微积分的内容照搬过来，而是用尽量少的笔墨将极限讲解清楚，并避开连续的概念以及不定积分，直接讲解导数、定积分，这样既有利于中学生对这一部分内容的学习，又为大学生对微积分的学习做好了铺垫。（4）本节课的教学目标①知识与技能目标：〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值。②过程与方法目标：结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。③情感与价值目标：感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。本节课的教学重点是：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤。教学难点是：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤。（5）本部分的教学内容分为2个课时，第一课时是新授课，主要讲授函数极值的定义以及如何利用导数研究函数的极值，第二课时是习题课，主要训练学生应用知识的能力，能够利用导数顺利求解函数的极值，以及根据函数的极值研究函数的其他性质。评测练习1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．函数f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)x2＋2x取极小值时，x的值是()A．2B．2，－1C．－1 D．－33.已知函数在x＝1处有极值10.求常数a，b的值．课后反思本节课从复习旧知开始，通过一幅图片引入课题，学生自行总结极值和极值点的定义，通过小组合作自行总结求函数极值的步骤，知识的形成完全是学生参与的过程，这自然就很顺利地突破了本节课的难点。在例题求解时还是学生为主教师为辅，学生投影讲解教师点拨，练习也是通过学生板演解决，这些题目的处理很好的锻炼了学生能力，体现了对本节课重点的学习和掌握。本节课总体的规划是要充分发挥学生的主观能动性，让学生经历知识的发生发展的过程，老师适当点拨，真正的做到了把课堂还给学生。从课堂检测的效果分析来看本节的教学目标很好的实现了。（3）本节课也有不少不足，例如同行教师帮助我提出的课堂中教师没有最大程度的放开给学生，要做到该放则放，想收能收，在这个方面我认为自己还很大的进步空间。课标分析《利用导数研究函数的极值》是人教B版