高考中数列试题的应对策略

高考中数列试题的应对策略数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位，是高考数学的主要考察内容之一，试题难度分布幅度大，既有容易的基本题和难度适中的小综合题，也有综合性较强对能力要求较高的难题。大多数是一道选择或填空题，一道解答题。解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题经常是综合题，把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。应用问题有时也要用到数列的知识。数列试题形态多变，时常有新颖的试题入卷，学生时常感觉难以把握。为了在高考中取得好成绩，必须复习、掌握好数列这一板块及其相关的知识技能，了解近几年来高考中数列试题的能力考察特点，掌握相关的应对策略，以培养提高解决数列问题的能力。第一讲：数列基础知识的梳理数列是按一定顺序排列好的一列数。它可以理解为以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数。运用函数的观念分析和解决有关数列问题，是一条基本思路。递推是数列特有的表示法，它更能反映数列的特征。等差数列和等比数列是两个基本的数列，除了要熟练掌握这两个数列的通项公式和求和公式外，还要掌握以下基本性质：在等差数列中{an}中，an=am+(n-m)d或d=(n,m∈N+);若m+n=p+q,则an+am=ap+aq(m,n,p,q∈N+).在等比数列中{an}中，an=amqn-m,(n,m∈N+);若m+n=p+q,则anam=apaq(m,n,p,q∈N+).对于非等差等比的数列，要用转化的思想，转化成和等差、等比有关的数列。一、典型题的技巧解法1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。储递推式为隶a临n+1革=a阳n执+d慌及僚a缺n+1怕=qa碍n烤（驶d魂，概q思为常数）屿【例芽1皆】昼霸已知罪{a料n捡}肚满足穿a敌n+1摆=a茄n刺+2溪，而且蔑a允1席=1渗。求盗a每n架。增解视核∵镜a羡n+1震-a雀n琴=2腔为常数股穷∴聚{a格n货}顷是首项为魔1亭，公差为雅2错的等差数列抹∴畏a低n烫=1+2正（喘n-1及）即武a们n蔬=2n-1脊递推式为杆a慧n+1依=a沾n原+f题（酸n荐）恨解：铲由已知可知泡令悬n=1聪，渔2稠，恐…初，（朵n-1雹），代入得背（裤n-1柴）个等式累讯加，即（皮a黄2豪-a移1落）素+丑（言a疮3西-a性2誉）牌+健…匪+敬（厨a轻n什-a姑n-1现）鸭说明羞盛只要和豆f牢（店1站）司+f陕（面2伏）豪+介…犹+f钳（歌n-1魔）是可求的阳，就可以由尊a寿n+1孤=a无n眼+f奖（向n剩）以斩n=1现，奏2厦，见…性，（悔n-1效）代入，可仗得泛n-1之个等式累加客而求岛a案n桨。严递推式为偶a越n+1播=pa搬n绍+q描（销p闯，荐q哑为常数）咬【例拔4忽】兼{a敢n樱}隶中，办a筝1膊=1迹，对于醉n陪＞垃1呢（埋n我∈脚N较）有牌a捧n匆=3a扁n占-1港+2姐，求壁a排n县。嗓解法一椅：膝由已知递推唤式得萌a抄n+1绝=3a扯n芒+2淹，抗a膊n找=3a况n-1拉+2惯。伸两式相减：羊a性n+1雄-a吵n攀=3充（讯a坦n李-a鼻n-1船）疼因此数列用{a坏n+1还-a陆n鱼}树是公比为阶3倚的等比数列齿，其首项为拦a急2规-a选1鼻=秧（芹3掠×米1+2展）比-1=4匹∴茂a赶n+1侧-a魔n乓=4偶·瓦3厉n-1戏∵陡a撕n+1唤=3a停n嘉+2

辆∴锦3a哨n运+2-a绝n宏=4午·燥3厚n-1炮即欣a宪n甩=2咳·午3将n-1届-1仙解法二沃：伤上法得明{a歼n+1芳-a逆n耐}疾是公比为镇3俯的等比数列丘，于是有：辉a动2饭-a再1理=4惨，求a亏3境-慎a夺2槐=4增·环3睛，央a脖4缓-a厘3诉=4迎·纠3禽2勉，顷…引，坊a斯n搂-a么n-1遭=4兰·存3环n-2鹅，帽把短n-1匪个等式累加捞得：筝∴革a删n巨=2辨·欺3朵n-1础-1欣解法三览：觉设递推式煮a务n之+1颜=3a肠n图+2竿，可以化为抢a观n+1驼-t=3胜（欺a裹n财-t转），茅即是印a誓n+1夺=3a今n浴-2t猜∴啦2=-2t垃匙∴求t=-1折，育于是得牲a确n+1窗+1=3诉（观a诉n溪+1右），数列梯{a肌n赠+1}际是公比为渗3泰的等比数列失，其首项为接a翅1歌+1=2价∴老a忧n词+1=2歪·考3观n-1祝即无a辽n走=2计·消3勉n-1束-1区④幅递推式为份a疤n+1弄=pa重n辰+q专n洽（算p这，描q挥为常数）织由上题的解待法，得：∴每③筐的方法解。默⑤尝递推式为活a近n+2腔=pa蓄n+1贸+qa畜n纱思路：设揭a币n+2颤=pa纳n+1六+qa染n挣可以变形为弓：籍a货n+2踏-楚α给a笋n+1谋=匠β董（森a盲n+1累-塌α饥a妈n宫），顺于是资{a达n+1番-镰α蔬a短n同}闯是公比为松β你的等比数列葬，就转化为海前面的类型纤。求an。往个等式累加考得灰⑥探递推式为店S吧n傅与悼a解n云的关系式伏关系；（祝2袍）试用衫n魔表示奥a智n楚。∴∴∴资（熟2智）两边同乘引以震2穷n+1闪得灿2陪n+1怕a撤n+1侧=2蒸n娃a僻n截+2寇则点{2盐n践a奖n万}渔是公差为很2语的等差数列若。蹦∴乐2锁n请a挣n闷=2+兔（因n-1岭）逆·刻2=2n胜2侄．数列求和货问题的方法刘（1）、应用用公式法金等差、等比渠数列可直接桃利用等差、龄等比数列的经前亏n桂项和公式求船和，另外记咬住以下公式促对求和来说轰是有益的。拍1弄＋肝3台＋凯5葱＋检……钞＋的(2n-1碍)=n挑2瓜【例净8丑】时求数列拌1绒，（贿3+5皮），（山7+9+1惹0尾），（手13+15影+17+1况9忆），遥…度前颂n呢项的和。缺解驾喊本题实际是干求各奇数的粱和，在数列料的前绞n香项中，薯共有鲁1+2+狗…亿+n致=识个奇数，携∴列最后一个奇五数为：括1+[误n(n+1慕)-1]传×趟2=n菊2驰+n-1插因此所求数惯列的前毒n唉项的和为和（2）、分鼻解转化法蛋对通项进行梨分解、组合冰,转化为等做差数列或等妨比数列求和浓。基【例权9隶】坐求和每S=1兼·陷（常n孔2箩-1掩）悄+2从·耕（君n欢2已-2耻2熄）茶+3图·见（省n录2荷-3尖2闯）贫+宋…政+n悦（冤n般2斥-哀n欲2移）分解醉

S=n妹2狱（兽1+2+3夸+步…役+n寨）俘-漠（叙1字3缺+2告3均+3网3它+乱…钟+n拖3晓）螺（3）、倒毅序相加法顷适用于给定刺式子中与首霸末两项之和纽具有典型的筹规律的数列染，采取把正崭着写与倒着速写的两个和斧式相加，然毫后求和。旦∴丹S璃n拥=3n革·协2搭n-1珍（4）、错纱位相减法盗如果一个数雀列是由一个撇等差数列与姜一个等比数考列对应项相泪乘构成的，泊可把和式的维两端同乘以垒上面的等比犬数列的公比色，然后错位战相减求和．咸【例港11等】雅求数列页1名，年3x怠，剑5x路2斜,偿…胆,耗(2n-1船)x闻n-1俭前尚n险项的和．找解敌疲设丘S厦n绿=1+3+朽5x陆2猴+腊…眼+(2n-税1)x保n-1特．旅转①翅(2)x=捎0骨时，江S蛛n蕉=1葬．嫩(3)仔当旺x革≠萍0纱且债x删≠速1法时，在式览①谅两边同乘以破x铲得畅xS稿n宣=x+3x酷2房+5x付3稻+夏…级+(2n-望1)x滤n集，据携②①-②，得令(1-x)胡S狱n匹=1+2x辰+2x诚2更+2x尘3障+慈…火+2x联n-1蹄-(2n-瓶1)x么n窜．灿(5)裂项疲法：知把通项公式梁整理成两项汽(懒式多项低)蜻差的形式，肚然后前后相疯消。寇常见裂项方蠢法：3)识注：在消项期时一定注意模消去了哪些拿项，还剩下赖哪些项，一眉般地剩下的别正项与负项侵一样多。桂在掌握扁常见题型的撤解法的同时介，也要注重毛数学思想在壶解决数列问映题时的应用公。皇二、常用数响学思想方法旦1名．函数思想萌运用数列中开的通项公式皱的特点把数葛列问题转化颤为函数问题叙解决。哗【精例裙1酷3冒】盆足等差数列酸{a农n吨}黑的首项育a第1嘴＞却0骂，前啄n自项的和为分S伍n盗，若召S牺l险=S堆k腰（炉l吓≠忆k注）问花n固为何值时匹S恭n经最大？困此函数以职n返为自变量的孙二次函数。要∵耐a举1算＞秧0

S撞l顷=S矿k予（腰l膊≠源k浮），客∴滤d避＜合0姨故此二次函胳数的图像开禁口向下娱∵唱f替（定l塑）煌=f夸（折k辩）恨2狼．方程思想还【料例士14絮】槽坐（而1996席·茅全国）设等王比数列省{a际n覆}蒙前绒n源项和为挽S西n昆，若暗S俘3双+S艰6拦=2S修9恰，求数列的榴公比昂q腾。标分析赌始本题考查等贡比数列的基投础知识及推页理能力。过解蛛车∵划依题意可知币q朋≠桶1翅。伙∵额如果拴q=1搁，则雀S迈3流=图3a腊1椒，势S烟6哥=烦6a块1利，驰S造9红=河9a裁1娇。由此应推枪出蠢a绑1另=0舰与等比数列理不符。∵q≠1筑整理得岸

q堆3纱（土2q沈6酬-q部3胡-1逃）活=0

臂∵茂q伯≠罢0监此题还可以集作如下思考丸：牧S娇6惠=S受3炭+q扎3琴S篮3足=筝（备1+q遗3月）购S如3窗S下9迈=S冒3拍+q咏3衔S万6博=S惜3展（候1+q鄙3曲+q杀6狗）弯∴碌由链S孕3啊+S里6争=2S稠9朽可得收2+q邪3被=2寻（宏1+q察3按+q追6哗），伏2q参6清+q勇3淹=0巷3算．换元思想口【边例15跳】明亩已知帖a冻，绿b纷，造c促是不为国1问的正数，颈x溉，援y科，牙z北∈仍R+致，且鹅求证：嫂a测，愚b鹊，坚c隔顺次成等比丧数列。王证明愤够依题意令左a千x赏=b员y控=c赢z名=k周∴曾x=1og尸a庄k达，腾y=log壁b喉k邮，激z=log您c薪k拴∴稀b拍2棒=ac饿∴级a谜，亮b岸，税c知成等比数列千（蔬a繁，还b倍，旬c游均不为导0秀）购掌握了数列麦的基本知识棚，特别是等雕差、等比数湿列的定义、昆通项公式、竟求和公式及摩性质，掌握兵了典型题型反的解法和数他学思想法的扎应用，就有京可能在高考塞中顺利地解析决数列问题城。跪第二讲：高惨考数列试题到的考查特点毒及应对策略朗《考试说明触》话纵观近几年诚全国各地高宜考试题，发垫现高考数列增试题具有贴收近基础、模剩式多变、综录合性强等特倘点，据此，烂我们应采取创夯实基础、奏抓住特征，歼掌握联系等互策略，以便馆于在高考中毫取得好成绩育。辞试题贴近基巡础，注重理耻解能力和推岂理运算能力伪的考查。搏以数列为背覆景或依托的容试题，虽然朵有易有难，精但通常是紧联贴着数列基粒础知识（如拨有序性、等大差、等比、杀通项、求和赚等相关的概挤念和性质）伐，把考察理壳解能力和推薪理运算能力竹作为基本的锯要求。允对策：对数热列相关概念编、性质和公奖式的透彻理柏解及其恰当环的运用，是欲解答好数列哥试题的首要鲜条件和基础乡，是正确理增解题意的前绳提。对题设滋和求解目标辜有了正确认元识，才能进瘦一步列出有幼效算式，进珍行推演，获叹得正确答案缺。鸽例1：（2系002江苏已卷）道据岩2002年直3月5日慌九届人大五裹次会议《政另府工作报告者》:询“拔2001年限国内生产总哭值达到95定933亿元辰,比上年增塞长7.3%顺.剂”肢如果讲“压十五聪”堪期间(20博01年～2牲005年)宫每年的国内驳生产总值都妹按此年增长谎率增长,那旷么到脉“危十五柄”咱末我国国内诚年生产总值带约为(圆).状Ａ.115俊000亿元彻Ｂ.1匙20000帐亿元Ｃ朗.1270抱00亿元宣Ｄ.13奖5000亿被元基例2：（2禽002年上羊海卷）调若数列{ａ蜘n付}中,ａ鼓1匹=3,且ａ置n+1干=ａ找n辆2花(ｎ是正整蜂数),则数胳列的通项ａ雹n指=____溪_____惧_.冬试题模式多漫变，注重观权察分析能力戒和数学思维眨能力的考查竿。宴数列试题的饼模式与形态荣多式多样，权不拘一格。匠无论题设的故给出，还是形问题的提法劝，抑或求解资的要求，都该常常打破定谈势，注意灵脂活多变，时唤常有新颖试话题出现。这邪类试题，往廊往能比较深疾刻考察观察晴和分析问题早的能力，对假思维的广阔碑性、灵活性唇和深刻性有织一定要求。羞对策：解答智数列题，洞攀察并抓住所谎讨论的数列近特征是关键驼。审题时，犬务必弄清试俊题是如何描话述给定的数把列，涉及的陕是一个数列要，还是存在禁关联的若干蚁数列，力求幻在整体上把终握住数列的廊变化规律，叠明确求解的寸目标，理顺鼓好题设的各背种数量关系涝，进行必要惧的整合、归菠纳和转化，蹄从中找到解铸答的突破口千和求解的途柴径。具体的落推演要注意伪合乎逻辑，鹅说理充分，启计算准确。消例设{器a正n虚}是首项为偶1的正项数层列，且(n丑+1)a惑n+1飘2刃–蜂na墙n拾2茅+a领n+1化a之n辩=0(n截=1,2,捏3膊…榨).恼则它的通项损公式是a捕n言=____渐_____桃。（200雷0年高考数她学试题）爆解法一、取组特殊值法：锻分别取n=费1,2,3小，由a察1爽=1,得到投,已进而猜测：逆a寇n井=视,代入检验密合适。皂解法二、[谈(n+1)清a究n+1冈–膝na侨n旱](a陡n+1闹+a欧n将)=0,献∵郑a丸n+1漆+a坛n声>0,暑∴网(n+1)眨a族n+1豆–坡na匙n象=0,欲∴厕(n+1)还a肾n+1米=na地n护=(n-1父)a间n-1膝=陈…拿=1,∴an=灯解法三、都，防∴披，孙由此，得：汽板，防…沾，悲将以上各式麻连乘，得：晓，诵域∴迹a调n脱=饱例设{a狗n臭}是等比数俩列，T哨n挖=na高1漠+(n-1读)a发2通+率…赔2a升n-1坟+a霉n吐.已知T么1腿=1,T禾2叔=4.（1客）求数列{邪a按n桶}的首项和川公比；（2古）求数列{宵T渗n彼}岁的通项公式服。(200沿0年高考数附学试题)巷解：（1）撤由T捡1暴=1,T粪2仓=4，泉可得废a圣1摘=1途2a荷1质+a消1吊q=4躲贸a粉1炕=1,q冤=2.谈(2)解信法1：错位寇相消法：俊∵孙T珍n熄-qT兵n忌=na回1婆-a猾2好-a河3臭-木…缓-a犁n贝-a铲n+1=误又a唐1嗓=1,q镜=2，瓜遮循∴忆T音n丸=-(n毅+2-2惑n+1辰)=2法n+1蜘-(n+2忍).局解法2：记鞭S香n催为{a晃n极}的前n项恨和，化T呈n任为阔T驰n尖=S弄1材+S著2拆+灭…侵+S刻n示,让∵哄S喂k劈=拨=2堂k扔-1,k=算0,1,2织,甩…歉∴怜T线n诞=2+2粱2篇+塑…梦+2册n祸-n=2狭n+1碌-(2+n登).简数列为引线辅，编制综合压性强，内涵毫丰富的试题挤，比较深入勉的考查综合匪素质和学习衔力。驶数列是按一承定顺序排列往好的一列数刮。它可以理陆解为以正整副数集（或它那的有限子集弓）为定义域抗的函数，能援够产生和引谅发数列问题辰的背景材料锤及其丰富，讽既可以是实俘际应用，又红可以是各种便数学研究对域象（如函数废、集合、几惑何图形等等步）。同时，里围绕给定的杯数列，能够颤提出许多的把数学问题，押这些问题除覆数列自身各洒种性质外，抄还有大量的寻外延性的问迹题，如函数菜、不等式、榨方程、三角犹、几何性质洁之类问题。是这些现象反现映出数列与象其它的知识茶存在着大量税的内在联系陶，有着广泛湿的应用。胆对策：关注兽各知识板块数之间的横向率联系，注重鬼综合能力的胳培养。共例1、（2亮003北京内春季试卷）笑例：某城市搬2001年子末汽车保有证量为30万松辆,预计此如后每年报废融上一年末汽淘车保有量的夫6%,并且捧每年新增汽兔车数量相同杰.为保护城薪市环境,要辽求该城市汽杜车保有量不插超过60万怕辆,那么每鼠年新增汽车烈数量不应超站过多少辆?图（2002列年高考数学胜全国卷）棚解法1：设悦2001年判末汽车保有特量为ｂ税1墙万辆,耽以后各年末泄汽车保有量浊依次为ｂ猪2祸万辆,ｂ娘3砍万辆,检…密,忍每年新增汽录车ｘ万辆,符则ｂ番1歼=30,ｂ乎2荡=ｂ余1列×浊0.94+判ｘ.虹对于ｎ>1藏,有ｂ谎n+1恩=ｂ壁n普×药0.94+亲ｘ=ｂ涉n-1司×志0.94戚2鸡+(1+0博94)ｘ岁,……嫩∴歪ｂ委n+1悠=ｂ相1软×袋0.94咳n勺+ｘ(1+车0.94+葛…变+0.94丧n-1缸)=ｂ横1高×宰0.94盆n定+=炸当晨,即ｘ持≤惜1.8时,槽ｂ夕n+1占≤羞ｂ茧n款≤…≤肥ｂ擦1浆=30.剩当花,即ｘ>1睛.8时,唤并且数线列{ｂ撒n缘}逐项增加悦,可以任意祝靠近筐因此,如果此要求汽车保租有量不超过出60万辆,籍即ｂ杂n瘦≤途60(ｎ=批1,2,3调,烂…侨).臂则技≤剪60,即ｘ犬≤种3.6(万叔辆).阅综上,每年服新增汽车不虹应超过3愚6万辆.孔解法2:由熄解法1知咽ｂ拌1枕=30,笨ｂ辱n+1越=0.94沟ｂ狱n保+ｘ,否由此可得匆，这勤说明数列{缺}是等比鲁数列,症因而醋即割尖,刃…费解法3:由屡ｂ脾n+1骨=0.94陶ｂ暗n勒+ｘ,得ｂ减n雨=0.94军ｂ猛n-1肃+ｘ,惜两式相减得籍ｂ积n+1均-ｂ红n释=0.94后(ｂ异n第-ｂ绝n-1馋).粗若ｂ琴2绸-ｂ贸1巾=0,则ｂ春n+1病-ｂ猛n薄=ｂ融n羞-ｂ众n-1稠=送…匆=0,后即ｂ谷n抬=ｂ剑n-1谋=被…蜂=ｂ炒1熟=30,破此时丢ｘ=30去-30鸡×通0.94=酱1.8;继若ｂ船2霜-ｂ尼1坐≠唐0,则数列吨{ｂ绑n+1消-ｂ弃n谊}是以ｂ倡2丸-ｂ糕1筛=ｘ-1.残8为首项,万以0.94执为公比的等再比数列,墨从而ｂ萝n+1祸-ｂ刘n嚷=0.94澡n聪·潜(ｘ-1.耽8).巴即有ｂ沟n合=ｂ汪1彼+(ｂ浓2色-