北航金融计量学第五章

第五章

一元时间序列的分析方法及应用1主要内容5.1时间序列分析方法的特点与平稳性的提出5.2重要的时间序列5.3时间序列的平稳性检验5.4一元时间序列分析方法的应用25.1时间序列分析方法的特点

与平稳性的提出所谓时间序列，就是各种社会、经济、自然现象的数量指标按照时间次序排列起来的统计数据。一元时间序列分析方法的基本原理是在解释一个变量的变化或预测其未来时，不再使用一组与之有相关关系的其他变量组成回归模型，而是依据变量本身的变化规律，让变量自身的过去值及误差项来解释。时间序列分析分析模型分为确定性时间序列分析模型和随机时间序列分析模型两大类。3确定性时间序列分析模型主要通过简单的外推技术，如移动平均、指数平滑等进行预测，不反映时间序列的随机性质。随机时间序列分析模型将时间序列数据看作一个随时间变化的随机变量在不同时点取值的结果。如对一个具体的时间序列X1，X2，…，XT，可将其看作某个随机变量Xt在t＝1，2，…，T的一个可能结果或实现。利用随机过程的一个实现去推断该随机过程的统计特征，并用于未来的预测。4平稳时间序列1对于任意t，

（常数）2方差

（常数）

3任何两个时期之间的协方差只依赖于该两时期之间的距离。5若一时间序列变量Xt平稳，其一个样本为X1，X2，…，XT，T为序列的样本容量，则其主要统计特性的计算方法分别为：（1）期望值（2）方差（3）

协方差6考虑时间序列数据的平稳性，主要有两个原因：1只有序列平稳，才可把根据数据推测出来的关于序列的统计特征应用于对序列未来时期变化的预测，从而为预测奠定有效的基础。2“虚假回归”现象：即使两个序列互相独立，在经济意义上无任何相关关系，但若两个序列非平稳，则用传统的回归方法及显著性检验时，仍可能会显示出两者在统计上有较高的相关关系。75.2重要的时间序列5.2.1白噪声过程对于随机过程

{t}，如果期望为零，方差为固定值，且不同时点之间的协方差为0，则称{t}为白噪声。白噪声是其他各类时间序列的重要组成部分。85.2.2一阶自回归过程AR(1)：Xt=Φ1Xt-1+t，其中，t为白噪声，E(t)=0,var(t)=9若能确定,即随机过程Xt是平稳的AR(1)过程时,可直接用最小二乘法,求出系数Φ1的估计值,并且可以应用传统的t检验或F检验.AR(1)过程可扩展为p阶自回归过程,记为AR(p).模型表示为:Xt=Φ1Xt-1+Φ2Xt-2+…+ΦpXt-p+t105.2.3趋势平稳过程许多时间序列数据，特别是宏观经济数据，常常显示出明显的时间趋势，如GNP大致随时间递增，这种趋势特征可归结为技术进步、劳动力及其素质的增长等。非平稳过程11可见,序列的期望值是时间t的函数。根据定义,序列为非平稳时间序列。之所以称之为趋势平稳，是因为模型中Xt减掉趋势项+t后，是一个平稳过程。可以证明该模型满足经典回归假设，用普通最小二乘法对参数和进行回归及检验都是有效的或渐进有效的。125.2.4随机游走过程非平稳过程可见,随机游走过程的方差随时间推移而变得越来越大。13含位移项的随机游走过程同时含趋势项和位移项的随机游走过程14趋势平稳过程及带位移项的随机游走过程，期望值都是时间t的函数，即序列的走势都包含了确定的时间趋势。其背后的统计意义和经济意义不同：对于趋势平稳过程，t时刻的干扰项只对序列值Xt产生影响；对于随机游走过程，则序列值Xt除受t时刻的干扰项t

影响之外，前期的干扰项都对其发生作用。155.2.5单位根过程非平稳过程单位根过程只要求干扰项为一平稳过程，不要求不同时点的协方差为0。随机游走过程是单位根过程的一个特例。单位根过程经过一阶差分后，为平稳序列，即单位根过程为一阶单整。如果一个序列在成为稳定序列之前必须经过d次差分，则该序列被称为d阶单整。16[金融相关点5-1]经济周期与冲击的持久性175.3时间序列的平稳性检验5.3.1利用自相关函数及相关图进行平稳性检验自相关函数（ACF,autocorrelationfunctions）反映序列两个相邻数据点之间存在多大程度的相关性。间隔k期的数据点之间的相关系数，称为k阶自相关系数,记为k18往往表现为k=1时对应的一阶样本自相关函数比较高，然后随着k的增加而下降。样本的自相关函数(ACF)：k为第k个自相关系数。显然并且任意过程的0阶自相关系数0=119以k为横坐标、为纵坐标，描绘出对阶数k的关系图形，称为样本相关图。往往表现为k=1时对应的一阶样本自相关函数比较高，然后随着k的增加，下降。20对于p丸阶自回近归过程敞，当k锐≤p时五，偏相狡关系数删不为0歪；当k惧>p时站，偏相间关系数沃为0，吓即截尾怖特征。偏自相守关函数神(Pa寻rti德al示Aut副oco掠rre砌lat引ion颂Fu件nct命ion石,P卫ACF浪)：21检验时间初序列是否老平稳的简收单办法是扇考察样本族自相关函段数的变化材。平稳时雄间序列诊的样本崇自相关混函数随赵着阶数嫩的增加倦而迅速宰下降为航0，非睡平稳时傻间序列倚的自相乘关函数趣则衰减呜得十分寺缓慢。可以证苹明，如滤果总体Xt服从标准生正态分布砖，则k阶斯自相关函垦数的样本购估计近似集服从均值司为0，方誉差为1/把T的正态无分布，T非为时间序肾列的样本侵容量。22Box叙-Pi嗽erc监e-Q纷统计量灰，或Lj远ung加-Bo隐x统计烤量，可以证明吴，这两个互统计量均嫁近似服从俭于自由度场为k的2分布。23Q检验劫统计量徒可以检必验某一寒时间序恐列其1束至k阶德的自相循关函数崖是奏否同时秩为0的尖联合假谋设，即边零假设借：注备选灯假设为赔中至翻少有一苗个显著逼不为零丘。这一膜方法可团用于对花白噪声份过程的狭近似检呆验。由于白噪旋声过程的宽任意阶自羽相关函数军为0，为黎此可以设妈定一较大饺的滞后阶旋数，如k肝=20，罢按公式计傅算出统计节量额若计算出肥的统计量平大于显榴著性水平后为自由度瞧为20卧的能分看布的临也界值，住即拒绝谨原假设足，意味渴着对应哗的序列渐不是白廊噪声过狗程，反橡之，则剃接受原技假设。24许多计艰量经济闭软件在渔给出自雷相关函时数和Q态统计量菊之外，余还会给蛋出偏自依相关函芳数PA芦CF，原可以加超以利用择来辅助贺判断自楼回归阶冻数。与自相仔关函数完的样本份估计早的衣分布相突同，在坊自回归沃过程阶么数为p沿的假设垄条件下尊，p+姨1以及馒更高阶芒偏自相膊关函数捐估计量弹（扇k>p午）近似描的服从患均值为挂0，方屑差为1奴/T的于正态分胡布。25[实证案虎例5-1皂]上证A股伶指数的自帆相关函数恨及自相关警图265.3.素2时间愈序列平稳皆性的单位多根检验（蓬unit懂roo休tte要st）问题的提拒出迪克－福愿勒方法（擦DF检验车）增广的现迪克－副福勒方输法（A览DF检孙验）菲利普苦斯－配岛荣方法膏（PP把检验）总结27问题的留提出时间序愈列平稳扔性检验填的重要替性对于一阶馒自回归过剂程=1：随机嘱游走过蜓程，非滑平稳；||<1德：平稳序承列需要对单把位根假设兆作教检验对于具有妄明显时间茂趋势的序灰列，要判象断是由趋紫势平稳过红程，还是伶含位移项奇的随机游做走过程产阅生此时传险统的涂t检身验不再星适用，抖需要采宴用新的程检验方项法。28迪克(D分icke毕y)－福舟勒(Fu暂ller末)方法斧（DF检欣验）情况一真实的数奏据产生过勾程：回归模赌型：其中瞒是白程噪声过程（非平强稳）（平稳）29迪克－右福勒方炸法（D糖F检验宜）统计量差：DF的统计量柏＝DF的统计量＝其中：挺T为样秒本容量撞，捷和肾是用苦OLS世得到的的估计漠值及其沿标准差张。注：当零竟假设为真象时，最小饰二乘估计番和刮t统随计量有非抖标准和非对称妈的极限原分布，摩此时的椒t统计障量不是吊通常意它义下的心t位分布，而炎是服从低下述渐卫近分布301976喊年迪克和摘福勒模拟含计算了D音F统计量继的临界值杆，见附表绪5（统计量创）和6罢（统计量歼）判断规则恳：DF统计振量>相应委临界值，粪接受青，序巴列非平稳猾；DF统计售量<相应泊临界值，荷拒绝巷，序晨列平稳。若DF检姨验表明序肚列非平稳辰，且至少湾为一阶单锡整，则进时一步对序狡列的一阶钳差分序列谜重复以上产的检验过少程。31迪克－葬福勒方犯法（D崇F检验录）实际应用回归式阁可写成其中此时：DF统役计量：究和（Evi挺ews软急件中给出蕉的检验统劣计量）实证案鲜例：帅上证指至数的D评F检验在情况一勇下分别对高水平序列广和一阶差杜分序列进李行检验注：Ev纳iews滚软件中给杜出的临界念值称为麦胀金农临界牵值（Mac骡kinn基onc姓riti帆cal汽valu辟e），是自麦金农教页授用模拟方法计算拿所得。32迪克－福凤勒方法（倡DF检验星）情况二真实的姻数据产姜生过程些：回归模型光：DF统计总量计算方誉法与判断泼规则与情养况1相同绵，临界值网见相应附看表。33迪克－福孤勒方法（姨DF检验诉）对于联合假悔设，可用O战LS计寄算F统番计量其中未和云分别跪为有约泳束的和手无约束绩的残差蔑平方和岁，此时对应落的临界值年不是标准江的F分布堪表，也是专极限分布烘的模拟计评算值，见颜附表7。判断：书若大于刺临界值埋，则拒粗绝零假洞设，序熄列平稳借。在Evi回ews软共件中给出宣F统计量楼及其p值动。34迪克－楼福勒方烦法（D邻F检验览）与情况一许类似，回挖归模型也她可变为此时假设扮变为F检验掀的联合熔假设DF统职计量也变相应地菊变化。实例35迪克－寸福勒方鹿法（D畅F检验匠）情况三真实的横数据产湿生过程蝴：回归模型细：假设：F检验鹅的联合咸假设：与前两毅种情况控类似，誓回归模酷型可变亮为零假设沿和DF材统计量破也发生信相应变衡化。实例36增广的迪丸克－福勒门检验(A馋DF检验恩)原理：时在上述尺DF检圾验的三强种情况菠中，假计定干扰距项为白效噪声，尿无序列摇相关；如果放松茂这一假设猎，允许其业序列相关查，在原D说F方法中熟加入滞后校的自回归抗项，可消连除模型中放可能存在奶的序列相心关给估计挖值带来的塘有偏的影讨响，即为脖ADF检开验。37增广的迪疏克－福勒彩检验(A健DF检验雹)情况一回归模型渔：假设：统计量屑＝统计量＝临界值分气布见附表絮，判断规免则同DF愧检验。38增广的迪屡克－福勒族检验(A恒DF检验羡)同样，果模型也咐可变为此时零假填设：统计量役变为实例。39增广的迪贤克－福勒裤检验(A灿DF检验症)情况二回归模型假设F检验名的联合焦假设ADF统油计量和F饲统计量临未界值见附张表。同样，惹模型也糕可变为40增广的欧迪克－哨福勒检矿验(A挑DF检蔑验)情况三回归模型假设F检验的浴联合假设同样模想型可变熟为41增广的迪冠克－福勒脏检验(A律DF检验虫)注：A莲DF检策验中滞偿后差分变项的个素数p冬的选议择应在鉴尽量小说的情况秩下，消慎除干扰开项中存婆在的自浆相关。迟当p取宾某个值努时，A畅DF回埋归式中脚DW统妈计量较弃低，则逆说明存松在自相拐关，此板时应增困加p值蒜，直至政干扰项纠的自相若关消失翼。另外驼，在进滨行DF演检验时贡，若发萍现残差肥项存在抛自相关先，则应组进行相遗应模型挣的AD施F检验狼。42菲利普斯币－配荣检祖验(PP找检验)PP检验花针对的是摘回归模型停的干扰项教存在异方重差或序列跃相关的现漆象。回归模型许的三种情申况及检验疮规则与D僻F检验相腔同情况一犯：情况二帮：情况三：43菲利普斯敏－配荣检舰验(PP锻检验)PP检樱验统计痒量的计你算是在吐DF检尚验统计昏量的形尿式上加走以修正舒。与D役F统计量对访应的是P苹P的统计量律Z，与DF统计量叔对应的碍是PP喘的统计量上Z。临界址值分布敌表与D岔F检验勺对应情乒况的分东布表一算样。在欢Evi嫩ews目软件中深给出了嘱对应的顾临界值呢。实例44总结对三种检余验方法的蓄小结DF检验便、ADF悼检验和P核P检验都刷是基于统计量幻玉和统计量的傅极限分布藏。DF方法伪适用于干你扰项为白势噪声过程贼的情况，蒸ADF与贼PP方法咐分别适用以于干扰项枣存在序列务相关以及撕异方差的离情况。在AD膜F和P询P方法俱之间不展存在一元般的选斑择原则雄。在实胜际中，添常根据乒模型的掌结构选经择。如充果在模吼型中包融含滞后侵差分项他，用A敏DF较长合理，秘如果模蚕型只描征述了会Xt和Xt-1的关系恶，对随果机干扰懒项只作跃了较一现般的假跃设，则幼可选用贴PP方滩法。45总结对三种回马归模型的喂选择一般地冰，如果秀待检验统序列在先0均值伤上下波渗动，则壤应选择毒情况一剧的回归基模型，过如果序输列具有没非零均历值，则落应采用蝇情况二贼的模型央（包含翼位移项惭），如崇果序列那有明显笋的时间尖趋势，箩则可采鹅用情况制三（包脑含位移纪项和趋纲势项）结。另外用，还要惑从经济竿学的角势度考虑宗数据生擦成过程出可能有拉的形式腿，如果崭在经济森意义上精得不出全明确的扭结论，栗则应采苹用较为弱一般的燥回归模慎型进行奴单位根榜检验。465.4伙一元己时间序风列分析蝇方法的伐应用：添市场弱押式有效缘瑞假说的破检验市场弱式之有效，指俩现行的股浩票价格已卸经充分反闪应了历史马交易数据深所蕴含的樱信息，即壶在t时刻用的股票价党格包含了田t时刻及乡丰以前的所笔有信息。吉而t到t兵+1时刻票的新信息须是随机的卫，因此t春+1时刻峰的价格等些于t时刻蜻的股价水册平加上一画个随机扰丢动项，即新：为白噪掩声过程47由于弱式亲有效市场宇假说强调疗证券价格笨的变化是织一个随机铁的、不可愉预测的过静程，因此接无法用过值去的股价汉来预测未疏来的股价念，对于该猛假说的检绩验通常用刚下面的两膛个方面着插手进行：（1）绣以价格态为研究绳对象检肝验独立筋性（2）胶以收益歪率为研犁究对象丙检验独阶立性485.4.任1直接哗以价格为拖研究对象稻检验独紫立性从统计检役验的角度钳看，就是吃看股价序说列在不同忘时点是否置存在自相溪关性，如肺果存在自崇相关性，府那么过去呆的股价就笔对未来的对股价有影睡响，存在箭这种股价待序列的市黎场就不是告弱式有效幼市场。对股票巴价格序泊列相关湖性检验燥又可分达为三种颂方法：49方法一为：计算棒并检验姥相隔k支期的股砖价的自热相关系刺数相隔k灶期的股益价的自扶相关系毅数依次检锈验零假坚设爷，k叉=1，谢2，…傻，m当啦时，刷接受零愁假设，晌即禾显著为涉0；否默则拒绝盗原假设姿，认为滥前后期谊股价存渠在相关妨性，市序场不符雷合弱式司有效的论特征。50方法二：左建立股价守序列自回若归模型，伴检验系数县的显著性如建立m胜阶自回归补模型：若市场是思弱式有效兴的，则股霞价未来价架格与历史奋价格不存甩在相关性丽，也就是证说上式中茫的参数与与零相比不肯应该有统错计意义上拥的显著性搁。方法三：呈价格序列圾进行单位枣根检验，泛判断是否炸符合随机陶游走若市场培是弱式另有效的粘，则股瞎价序列差呈随界机游走恢特征，济也就是但说吹为幻玉一阶单钢整过程进。51例证：肺以20维04年勾上证指灰数的日哭收盘价丛为研究悄对象验费证上海辰股市的匠弱式有淹效性1）用自抖相关模型我们得槽到的自甘相关模资型参数架估计值烧为：从上表快看出，敏在显著裙水平为翻0.0肉5时，秤200稠4年上沈证指数瓶基本上续不存在螺显著的狮自相关仅性，这管表明上壶海股票荷市场基萍本上具会备了弱毯式有效非性。名称滞后1天滞后2天滞后3天上证指数0.034632-0.0007310.04666152具体操翠作：打开E幼VIE盏WS软榨件，打敲开建好争的工作阻文件然后打开延需要的时晴间序列点击时剧间序列像窗口上隶的“Q娘uic数k”在下拉菜肆单中选取兴“Equ催atio腔nSp齐ecif社icat剑ion”在弹出的场窗口中输草入：“DP疾=C(疏1)*爆DP(划-1)稿+C(咐2)*过DP(税-2)灯+C(招3)*献DP(伐-3)强”回车即低可532）用单速位根检验我们用骂单位根罩检验，庙得到的河水平序抚列与一必阶差分骄序列的聋ADF津值如下嫌表：上证指虚数序列西的单位迹根检验惨结果表佛明，在登10％句、5％许和1％精的显著季性水平朗下，A吧DF值从大于所亡有的临侧界值，著也就是脏说上证告指数存舟在单位垫根。我坊们进一欠步对一闯阶差分硬序列进艳行AD唉F检验盟，AD效F值小敞于所有文的临界朽值，因烧此认为滋一阶差核分序列质是平稳甩的。由圾这两个嚼检验得沾出上证兔指数是槐一阶单染整，这督表明上季海股票体市场达僚到了弱蜘式有效临。变量ADF1%5%10%D.W水平序列-1.0368-2.5742-1.9410-1.61642.0064一阶差分序列-10.627-2.5743-1.9410-1.61641.999754具体操香作：打开EV虏IEWS指软件，打刃开建好的士工作文件然后打用开需要素的时间休序列点击时间异序列窗口奶上的“V杜iew”在下拉下菜单中露选取“拐Uni居tR冲oot致Te忧st”在弹出的影窗口中选题择合适的侮参数，回名车即可555.4.促2以收胁益率为研普究对象检御验独立性除了对只股票价嚷格或股斤票指数败本身进嗽行检验士外，还邻可对扰悔动项晃进行换相关性活检验，奇如果灶与移之间存妈在相关两性，则握表明闻和顽之间廉存在相归关性，绑这样我睡们就可惊用过去阔的价格时来预测蜜未来价键格变化尾。根据百涌分比收菜益率序杨列与对亦数形式壶收益率披之间的叔关系：我们对间股票市这场弱式独有效的惹检验，服可以将栋对价格甚序列的足序列相堵关检验窑转化为绞对收益耕率序列喊的相关致检验。租如果市补场弱式历有效，孙则尺与拨无关。轮检验方束法与以塔价格为