小题大“作”-简析勾股定理求长度 论文

小题大“作”——简析勾股定理求长度摘要：在新课标要求下，人教版数学八年级下第十七章勾股定理的教学中，勾股定理的实际应用是初中阶段数学课程重点的几何应用之一，本文对其中利用勾股定理求边长的方法及技巧进行了研究，希望能对勾股定理的应用这一课堂教学有一定的指导意义。关键词：勾股定理，长度，无理数，立体图形，最短路径引言：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦。”赵爽这简洁精炼的一句话，描述了一个众所周知的定理——勾股定理。勾股定理的重要性对于每一个学过的人来说都耳熟能详。在初中阶段，勾股定理让学生第一次了解到代数与几何证明的紧密联系，在中考中也占据了重要的地位，是学生学习的重点目标。定理的内容很简练，很容易记忆，但是要做到灵活应用却并不容易，本文将从几个小题出发，简要说明利用勾股定理求边长的应用方法及技巧。一、粗中见细知边长例1：在Rt∆ABC中，直角边为a,b,斜边为c，若a=5，b=12,求c的值。分析：勾股定理的几何语言描述为：在Rt∆ABC中，∠C=90°，直角边为a,b,斜边为c，则有a2b2c2。由定理的内容可以很容易得出结论：只要知道三边中的任意两边的长度，就可以求出另外一边的长度。由此，可以将a2b2c2变形为c a2b2 ，a c2b2 ，b c2a2 。这样，我们就可以直接将数据代入解决例1。解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，c2a2b2 即c a2b2 5212213变式1：在Rt∆ABC中，直角边为a,b,斜边为c，若a=2m，b=5n,求c的值。该题中由数字变成字母进行计算，方法与例1相同直接计算即可。变式2：在Rt∆ABC中，若a=3，b=4,求c的值。分析：该题目看似简单，实则内藏玄机。题干中的条件只有两边长，并没有说明哪条边是斜边，哪条边是直角边，因此这一题有涉及到数学中的另一个重要思想：分类讨论。第一种情况：若a,b都是直角边，则c为斜边，因此，由勾股定理得ca2b232425；第二种情况：若a，b中有一条边为斜边，则b是斜边，由勾股定理得cb2a242327。综上所述，c的值为5或7。在勾股定理的应用中，粗放型的无脑代入是最基础的运算应用，其中体现了学生的平方与开平方的运算能力。然而，在粗放的解题中又有细节难关，考察学生的分类讨论、分析总结的能力。在数学课堂教学过程中，教师应该着重在这些能力的培养、教育中着墨重彩。 二、小中有大定线段

例2：在数轴上作出长度为10的线段。分析：在数轴上标记出2的具体方法，就是在数轴上作两条直角边是1的直角三角形，斜边即为2，这样就可以得到一个长度为2的线段，则在数轴上可以找到表示2的点，如下图：类似地，我们要作10的线段时，需要找到两直角边平方和为10的三角形即可。因此，在数轴上三个单位处作垂线段长度为1，可构造斜边为10的直角三角形，即得长度为10的线段。变式：如何在数轴上作长度为14的线段？类似地，我们需要找到两边的平方和为14的直角三角形，1441022（10）2，所以，以10为直角边，作另一直角边为2的直角三角形，斜边可得14，即作。所有开方开不尽的无理数都可以用上面的方法表示，如下图：毕达哥拉斯的弟子希伯索斯正是在边长为1的正方形中发现了无理数2，这也正体现了勾股定理在无理数中的应用。因此，利用勾股定理确定无理数长度的线段，从而确定在数轴上表示无理数的点，这是教材中勾股定理推导过程中的变式练习，题目简练而“小”，蕴含的道理无穷，它帮助学生理解无理数以及数轴的意义，从基础上辨析了数学几何与代数的关系，体现了数形结合的理论思想。三、数中有形解长短1.勾股数

例：已知直角三角形的两直角边长分别为25和60，则斜边长为。分析：所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数（如a,b,c），即满足式子a2b2c2。由于当一组勾股数同时乘以正数n，得n2a到的新的一组数满足2n2b2n2a2b2n2c2，仍能构成直角三角形，因此我们可以依据常见的勾股数来解决问题。常见的勾股数有3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41；12,35,37……在解决问题时，要注意观察常见的勾股数及其倍数。 在例题中，25是5的5倍，60是12的5倍，而5,12,13是勾股数，所以斜边长为5*13=65。类似的选择题、填空题都可以根据勾股数进行优化计算。 变式：若一直角三角形两直角边分别为1.5和2，则斜边长为。2.提公因式法

例：若直角三角形两直角边分别为52和65，其斜边长为。 分析：本题若直接计算数字较大，运算复杂，因此，要观察两数之间的 关系，由于52=4*13,

65=5*13，它们有公因数13，上面勾股数里已经证明三边长同时乘以一个正数，新三边长仍能组成直角三角形，因此我们可以先计算两直角边为4和5的斜边长，再乘以13就得到直角三角形的斜边长了。解：由勾股定理得，斜边长为52265251341313242521316251341 3.平方差

例：已知，直角三角形一条直角边为60，斜边为61，求另一条直角边的长度。 分析：依据勾股定理解决直角三角形的边长问题主要分两类：已知两直角边长求斜边长和已知一直角边和斜边求另一直角边长，总结为两个公式：ca2b2，ac2b2。前者可以依据勾股数和提公因式进行计算，而后者出现两个数的平方差，因此我们可以依据平方差进行优化计算。 解：由勾股定理得，直角边为6126026160616012111勾股定理是链接数学与几何的最基本的渠道之一，在求直角边长的运算中必然要考虑代数式运算的基础，通过代数课程中乘法运算公式的应用，简化求边长运算的过程，进而解决几何问题，也是勾股定理求长度的运用的升华。在这方面的教育中要注重学生的学以致用，培养学生数形结合的思维方式，达成教学四基目标。四、无中生有求最短几何中常常出现求两点间距离的问题，而两点之间线段最短，因此只要利用勾股定理求出线段的长度，那么两点间的距离就自然求出来了。平面几何中勾股定理的应用很简单，那么在立体几何中的最短路径的解法就不那么简单了。 例：如图，正方体的棱长为2，M是线段BC的中点，小锤被绑在D1处，小丁在M点，沿着正方体的表面去救小锤，救援的最短距离是。分析：两点之间线段最短，要求M到D1点的最短距离就要先找到M到D1的最短路径，这个时候就要注意题目中的关键词“沿着正方体的表面”，立体图形的表面就要展开得到平面图形来解决。如下图，展开后得到新的平面图形，图中的线段MD1即为最短路径，所求最短距离就是线段MD1的长度。 利用勾股定理求线段的长，则在直角三角形MDD1中，M是BC的中点，则MC=1,可知直角三角形两直角边长分别为3和2，那么MD1MD2DD12223213 在本题中，正方体的展开图不只上面一种情形，正方体的正面和上面展开也能形成新的平面图形，在新图形中，与上述情形所求得的长度不同。在直角三角形MCD1中，由勾股定理得，MD1MC2CD12421217新求得的长度17大于13，题目中要求的是最短距离，因此，我们采取第一种展开方式，求得长度为13。 在解决立体几何的最短距离问题时，应考虑不同的展开方式，依据勾股定理求出并比较所得的距离，指出其中的最短路径，求出其最短距离。 变式：如图，长方体中，BC=6，CD=5,DD1=4.点M是BC的中点，求沿长方体表面，从M点到D1点的最短距离。 分析：在本题中，依然要展开长方体的表面，形成平面图形，从而找出最短路径。图中长方体的长宽高分别不同，因此，可以有三种展开方式。 方式一，如图，把长方体的正面和右侧面展开，构成直角三角形，求出距离。方式二，如图，把长方体的正面和上底面展开，构成直角三角形，求出距离。方式三，如图，把长方体的下底面和右侧面展开，构成直角三角形，求出距离。上述三种方式求得的距离分别是：MD1 MD2DD1

2MD1 MC2CD1 2MD1 MC1

2C1D1

2 6416 981 4925①4 5 ②3 10 ③ 74方案三求得的距离最短，因此，方案三即为最短路径，其长度为 74。要解决几何图形中的最短路径问题，首先要根据几何关系确定最短距离，其次是利用勾股定理求线段长，对于立体图形表面的最短距离要先展开变成平面图形，若有多种展开方式，要一一求解，最终比较大小。《数学课程标准》指出：“数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识和技能，更要发挥数学在培