复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座

复杂网络上传染病动力学概述张海峰haifeng3@复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第1页提要传染病动力学基本概念复杂网络上传染病动力学基本结果与推广个体、社会行为反应对传输行为影响总结与展望复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第2页一、基本概念复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第3页专业名词S-susceptible（易感染者，健康者）;I-infected（感染者）;R-recovery/removed（恢复者、移除者）;V-vaccinated(接种者）;E-exposed（暴露但不含有感染性，或称潜伏）。SIS模型：易染个体被感染后，能够被治愈但无免疫力（还能够再被感染）（感冒等）SIR模型：易染个体被感染后，能够被治愈且有免疫力（不会被感染，也不会感染其它节点，相当于已经从传输网络中被去除了）（天花等）SI模型：易染个体被感染后，不能被治愈（艾滋病等）SIRS模型：易染个体被感染后，能够被治愈且有免疫力，但免疫期是有限，还会再次回到易染状态。（乙肝？）复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第4页基本微分方程SIR微分方程SIS微分方程更普通模型，能够考虑人口数量改变、传输率改变、各种群、时间滞后、加入媒介、加入接种办法，等等。复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第5页二、复杂网络上疾病传输复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第6页①感染密度（感染水平或者涉及范围）ρ(t)

ρ(t)：传输过程中,感染节点总数占总节点数百分比。ρ：传输到稳态时（）感染密度值,称为稳态感染密度。②有效传输率λ(=/)

λ非常小（很小，很大），传输达稳态时，全部节点都会变成健康节点，这种情况下就认为疾病没有在网络上传输开来，并记该疾病稳态感染密度ρ

=0。反之，当λ足够大时，疾病将一直在网络中存在而不会完全消失，只是染病节点数目有时多有时少，这时稳态感染水平（涉及范围）

ρ

0。把稳态感染密度从零向正实数改变那个点所对应有效传输率称作传输阈值（临界值）λc。它是衡量网络上传输行为最主要参量之一。复杂网络上研究主要参量复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第7页均匀网络中SIS模型Ⅰ.均匀网络：

Ⅱ.解析模型三个假设：①均匀混合假设：感染强度和感染个体密度成百分比。即：

和为常数（均匀混合）。不失普通性，可假设=1，因为这只影响疾病传输时间尺度；②均匀性假设：均匀网络中，每个节点度都等于网络平均度<k>；③规模不变假设：不考虑个体出生和自然死亡

复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第8页利用平均场方法可得：被感染个体密度ρ(t)改变率被感染节点以单位速率恢复健康单个感染节点产生新感染节点平均速度，它与有效传输率、节点平均度〈k〉，健康节点相连概率1-ρ(t)成百分比，（其它高阶校正项忽略了）。复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第9页当传输到达稳态时，改变率为0，所以令上式右端为0；

即：-ρ+<k>ρ[1-ρ]=0ρ（1-λ<k>+λ<k>ρ）=0；

ρ（ρ-）=0；当λ<时，ρ-必大于0，所以ρ=0；当λ时，ρ=；所以，即为临界传输值，记=。复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第10页结论：在均匀网络中存在一个有限正传输临界值λc。假如有效传输率λλc，则病毒能够在网络中传输开来，并最终稳定于,此时称网络处于激活相态；假如有效传输率λ<λc，病毒感染个体数呈指数衰减，无法大范围传输，最终将不能传输,此时网络称为吸收相态。复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第11页无标度网络中疾病传输Ⅰ.无标度网络：含有幂律度分布网络，即：；

网络中节点度没有显著特征长度Ⅱ.解析模型无标度网络度分布是呈幂律分布，因而度含有很大波动性，定义一个相对感染密度：度数为k感染节点数占总节点数百分比。当t趋于无穷大时，相对稳态感染密度记为。平均感染密度：稳态平均感染密度：∝复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第12页一样我们能采取MF理论来求改变率得:度为k节点相对感染密度改变方程为：

：任意一条给定边与一个被感染节点相连概率任意一条给定边指向度为k节点概率为（与度为k节点关联边数与总边数比值）则任意一条给定边指向度为k感染节点概率为从而，

复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第13页依据稳态条件，可得：把（1）代人（2）能够得到以下自洽方程有一个平凡解假如该方程要存在一个非零稳定解，需要满足以下条件：复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第14页结论：对于SF（无标度）网络，节点度数含有很大浮动性，当,造成，从而尤其地，作为SF网络一个经典例子，考虑BA无标度网络。复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第15页BA无标度网络传输临界值BA无标度网络：(1)增加特征，(2)优先连接特征（富者更富，或马太效应）度分布，平均度其中m是网络最小度

将平均度，度分布，以及带入，可得：

复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第16页复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第17页又因为复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第18页化简后得：当λ=0时，有当λ>0时，有结论：BA无标度网络在SIS模型下只要有效传输率λ>0，病毒就能传输开来，并将到达一个稳定感染水平，这反应了无标度网络对抵抗病毒脆弱性复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第19页WS网络与BA网络比较复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第20页总结1.SIS模型在均匀网络中，存在一个传输临界值。当时，疾病在时间演化过程中逐步衰减，最终被灭；当时，疾病在时间演化过程中传输开来，并稳定于某一值（稳态感染密度）：2.SIS模型在SF网络中，传输临界值：只要有效传输率λ>0，病毒就能传输开来，并将到达一稳定感染水平值：，这反应了无标度网络对抵抗病毒脆弱性。

复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第21页均匀网络中SIR模型对自洽方程求导结论：疾病阈值也是最终感染范围为：复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第22页无标度网络中SIR模型其中辅助函数：复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第23页对于SIR模型，最终感染百分比为0！所以依据恒等式：能够得到以下关系式，所以由得到复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第24页类似求SIS中方法，有结论类似方法一样能够发觉，无标度网络上最终感染范围也是：结论：无标度上SIR模型和SIS模型含有相同暴发阈值，以及同等规模感染范围！复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第25页1.随机免疫：随机选一部分人进行免疫2.目标免疫：免疫度大结点3.熟人免疫：随机找一个结点，再随机选一个邻居进行免疫4.环状接种：隔离或免疫染病个体全部(距离为k)邻居5.接触追踪：对与有传染性个体接触者进行跟踪，然后以一定概率进行免疫免疫策略复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第26页结论：

在均匀网络中：只要，就可确保疾病不在网络中传输开来；SF网络中：免疫临界值约为１，即任给定一λ值，都需要对网络中全部个体进行免疫才能使疾病不传输开来。说明随机免疫只对均匀网络有效（有较小),而对SF网络效果很差（=1）。原因：这是因为SF网络是异质网络，节点度呈两极分化，采取随机免疫，哪些最轻易传输病毒节点（度大节点）不一定取得免疫。所以，假如对SF网络采取随机免疫策略，需要对网络中几乎全部节点都实施免疫才能确保最终毁灭病毒传染。所以对SF网络这么异质网络，普遍认为：随机免疫策略对于无标度网络是无效！复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第27页其它网络结构对传输行为影响加权网络：YanGang等，CPL,Vol.22,No.2()510社团网络：刘宗华等，EPL,72,315,层状网络：郑大昉等，PhysicaA,352,659,含有地理效应网络：许新建等，PRE,Phys.Rev.E,76,056109,复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第28页其它方面网络与传输共同演化T.Gross,C.J.D.D'Lima,B.Blasius,Phys.Rev.Lett.,96,208701,.;

T.Gross,B.Blasius,Adaptivecoevolutionarynetworks:areview,J.R.Soc.Interface,5,259-271,;T.Gross,I.G.Kevrekidis,Europhys.Lett.82,38004,;S.Risau-Gusmsán,D.H.Zanette,J.Theor.Biol.,257,52-60,;

D.H.Zanette,S.Risau-Gusmsán,J.Biol.Phys.,34,135-148,;L.B.ShawandI.B.Schwartz,Phys.Rev.E,77,066101,.L.B.ShawandI.B.Schwartz,Phys.Rev.E,81,046120,.人口移动：V.Colizza,A.Vespignani,Phys.Rev.Lett.,99,148701,.V.Colizza,R.Pastor-Satorras,A.Vespignani,NaturePhysics3,276-282,.V.Colizza,A.Barrat,M.Barthelemy,A.Vespignani,InternationalJournalofBif.andChaos.17,2491-2500,.M.Tang,Z.H.Liu,andB.W.Li,Europhys.Lett.,87,18005,.S.Meloni,A.Arenas,Y.Moreno,Proc.NatlAcad.Sci.USA,106,16897,.S.J.Ni，W.G.Weng,Phys.Rev.E,79,016111,.VitalyBeliketal,PRX1,011001

()复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第29页三、个体、社会行为反应对传输行为影响复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第30页动力学与个体行为、政府决议相互关系示意图用来刻画传染病动力学与个体行为，政府决议等原因之间相互影响复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第31页1.Groupinterestversusself-interestinsmallpoxvaccinationpolicy,PNAS,100()1564模型：因为接种天花存在着一个困境，预防面临代价，不预防也有被感染风险；另外因为(herdimmunity）群体免疫作用，假如他人采取了免疫那么我被感染风险减小，我能够不免疫，不过他人也有这么想法，所以这是一个预防困境问题。用博弈中收益（payoff)来描述接种收益和暂时不接种收益：复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第32页模型假设每个个体采取接种概率为p,在群体中就有p百分比人选择接种，此时对应个体而言，个体平衡点为：对于整个集体最优为,代价C(p):最小。复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第33页主要结果（个体最优和全局最优差距）复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第34页2.CanInfluenzaepidemicsbepreventedbyvoluntaryvaccination,PLoScomputationalbiology,3(5)()e85模型：流感疫苗使用期是有限（比如一年，一个季度），不过流感又是不停发，所以对于理性个体就要不停做决定是否采取接种疫苗，那么他/她就会依据当前暴发范围、接种疫苗范围、以及以前成败史来判断当前是否采取接种。思想：a,上个季节采取接种，不过总接种范围超出“需要接种范围”，则下个季节接种意愿减小！b,上个季节采取接种，不过总接种范围低于“需要接种范围”，则下个季节接种意愿增加！c,上个季节没有采取接种，不过没有被感染，则下个季节接种意愿减小！d,上个季节没有采取接种，不过被感染，则下个季节接种意愿增加！复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第35页模型示意图复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第36页主要结果两种不一样政府补助引发不一样效果免疫百分比p(black)和感染百分比f(red)时间演化图复杂网络上传染病动力学概述张海峰专家讲座第37页3，F.Fu,D.I.Rosenbloom,L.Wang,M.A.Nowak,Imitationdynamicsofvaccinationbehavioronsocialnetworks,Proc.R.Soc.B,278,42-49,.模型：在流感暴发暴发季节之前，每个个体要选择是否接种流感疫苗：(a),接种，在接下来季节不会被感染，不过要付出V代价;(b),假如不接种，可能面临两种不一样结果：被感染，付出1代价；没有被感染付出代价为0！模型示意图