江西省乐安县重点中学2023届第一次校模考数学（文）试题及参考答案

届乐安重点中学第一次校模考数学（文）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．设集合，，则A． B． C． D．2．若，则（

）A． B． C． D．3．“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．如图在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=3，E为边CD的中点，，若则=（）A． B． C． D．5．定义：，其中、.对于任意实数、、，给出如下结论：①；②；③.其中正确结论的个数是（

）A． B． C． D．6．从，，，，五人中选人分别参加数学和物理竞赛，但不能参加物理竞赛，则不同的选法有（

）A．12种 B．16种 C．20种 D．10种7．已知，，，则，，的大小关系是A． B． C． D．8．若，且，则（

）A． B． C． D．9．把函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g（x）的图象.则g（x）的解析式是（

）A．B．C．D．10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知是一对相关曲线的焦点，分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，，则双曲线的离心率A． B． C． D．11．已知正方体的棱长为1，是棱的中点，点在正方体内部或正方体的表面上，且平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是（

）A． B． C． D．12．我们知道按照一定顺序排列的数字可以构成数列，那么按照一定顺序排列的函数可以构成函数列.设无穷函数列（）的通项公式为，，记为的值域，为所有的并集，则E为（

）A． B． C． D．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。)13．函数在处的切线方程为______14．已知对于一组数据，，…，，关于的线性回归方程为，若，则______．15．已知，，…，是抛物线上不同的点，且．若，则______．16．在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则下列说法中，正确的有_________（请填入所有正确说法的序号）①当时，的周长为定值②当时，三棱锥的体积为定值③当时，有且仅有一个点P，使得④当时，有且仅有一个点P，使得平面三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17．已知等比数列中，，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求的最大值及相应的值．18．某省从2021年开始，高考采用取消文理分科，实行“”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目.某校高一年级有2000名学生（其中女生900人）.该校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，采用分层抽样的方法抽取了200名学生进行问卷调查，下表是根据调查结果得到的列联表.性别选择物理选择历史总计男生________50女生30________总计________________200（1）求，的值；（2）请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由.0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828附：，其中.19．如图，在四棱锥中，，∥，，．(1)为的中点，证明：直线∥平面；(2)证明：平面平面．20．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过点分别作直线、交椭圆于两点，设两直线、的斜率分别为，且，探究：直线是否过定点，并说明理由．21．已知函数，为的导数.（1）当时，求的最小值；（2）当时，恒成立，求a的取值范围.请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22．【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求直线和曲线的直角坐标方程；(2)点分别是直线､曲线上的动点，求的最小值．23．【选修4-5：不等式选讲】已知函数.（1）求函数的最小值；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.

参考答案1．B分析：根据交集定义求结果.详解：因为，，所以,

选B.2．C依题意，，则．故选:C3．B由，解得或.所以“”是“”的必要而不充分条件故选：B4．A因为平行四边形中，，，是边的中点，，∴，，∴===∴,故选A．5．D对于①，，①对；对于②，，，所以，，②对；对于③，，③对.故选：D.6．B先选人参加物理竞赛有种方法，再从剩下的人中选人参加数学竞赛，有种方法，由分步乘法计数原理可知：共有种方法，故选：B.7．C由指数函数的性质可知，，由对数函数的性质可知，据此可得.故选：C8．A因为，故，所以，，且，即.所以，所以.故选：A.9．C由题意，把函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象.故选：C.10．C设F1（﹣c，0），F2（c，0），椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为m，可得PF1+PF2=2a，PF1﹣PF2=2m，可得PF1=a+m，PF2=a﹣m，由余弦定理可得F1F22=PF12+PF22﹣2PF1•PF2cos60°，即有4c2=（a+m）2+（a﹣m）2﹣（a+m）（a﹣m）=a2+3m2，由离心率公式可得+=4，e1e2=1，即有e24﹣4e22+3=0，解得e2=故选C．11．C如图，分别取棱、、、、的中点、、、、，则，，，平面平面，点在正方体内部或正方体的表面上，若平面，动点的轨迹所形成的区域是平面，正方体的棱长为1，，，到的距离，动点的轨迹所形成的区域面积：．故选．12．C因为，，，所以，故在上单调递增，又，，所以，设，，令，则，由，可得，由，可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，，所以，，设，则在上单调递减，所以，，综上，，.故选：C.13．求导得，所以，所以函数在处的切线方程为，即.故答案为：.14．60由可得，把代入回归方程可得，故．故答案为：60.15．16设，､､､…､是抛物线上不同的点，点,准线为，则，所以所以，即故答案为：1616．②④由题意得：，，，所以P为正方形内一点，①，当时，，即，，所以P在线段上，所以周长为，如图1所示，当点P在处时，，故①错误；②，如图2，当时，即，即，，所以P在上，，因为∥BC，平面，平面，所以点P到平面距离不变，即h不变，故②正确；③，当时，即，如图3，M为中点，N为BC的中点，P是MN上一动点，易知当时，点P与点N重合时，由于△ABC为等边三角形，N为BC中点，所以AN⊥BC，又⊥BC，，所以BN⊥平面，因为平面，则，当时，点P与点M重合时，可证明出⊥平面，而平面，则，即，故③错误；④，当时，即，如图4所示，D为的中点，E为的中点，则P为DE上一动点，易知，若平面，只需即可，取的中点F，连接，又因为平面，所以，若，只需平面，即即可，如图5，易知当且仅当点P与点E重合时，故只有一个点P符合要求，使得平面，故④正确.故选：②④17．(1)；(2)或时，最大值是21．解：（1），，所以：．以为首项．所以，通项公式为：．（2）设，则．所以是首项为6，公差为的等差数列=．因为是自然数，所以或时，最大，其最值是21．18．（1）；（2）有99.5%的把握认为选择科目与性别有关（1）根据题意得，解得，所以女生人数为人；（2）列联表如下：性别选择物理选择历史总计男生6050110女生306090总计90110200计算，所以有99.5%的把握认为选择科目与性别有关.19．（1）证明：因为为的中点，取的中点，连接，，则∥且=，又因为∥且，所以∥且=，所以四边形为平行四边形，所以∥，又因为平面，平面，所以∥平面；（2）证明：因为，所以，又因为，与相交(是梯形的两腰)，平面ABCD平面，因为平面，①，设，则有，所以,所以②,又因为平面PAB③，由①②③可得平面，又因为平面，平面平面．20．（1）；（2）直线过定点，理由见解析（1）由点是椭圆的一个顶点，可知，又是等腰直角三角形，可得，即，所以，所以椭圆的标准方程为；（2）若直线的斜率存在，设方程为，依题意，联立，得由已知，设，由韦达定理得：，，整理得故直线方程为，即，所以直线过定点；若直线的斜率不存在，设方程为，设，由已知得，解得，此时直线方程为，显然过点；综上，直线过定点.21．（1）1；（2）.（1），令，，则.当时，为增函数，；当时，.故时，，为增函数，故，即的最小值为1.（2）令，，则本题即证当时，恒成立.①当时，若，则由（1）可知，，所以为增函数，故恒成立，即恒成立；若，则，在上为增函数，又，，故存在唯一，使得.当时，，为减函数；时，，为增函数.又，，故存在唯一使得.故时，，为增函数；时，，为减函数.又，，所以时，，为增函数，故，即恒成立；②当时，由（1）可知在上为增函数，且，，故存在唯一，使得.则当时，，为减函数，所以，此时，与恒成立矛盾.综上所述，a的取值范围为.22．(1)，(2)（1）直线的参数方程为（为参数），消去参数，得直线的直角方程为：；曲线的极坐标方程可以化为，将，代入得曲线的直角坐标方程为：，即．（2）由（1）得直线的直角方程为：，曲线的直角坐标方程