基础公共课复习资料-概率论与数理统计复习提纲

1.X）2.若P()则A）3.P()P(B)P()。(X)4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为。(∨)5.n个事件若满足i,j,P(AA)P(A)P(A)，则n个事件相互独立。(X)ijij6.当AB时，有P(B-A)=P(B)-P(A)第二章随机变量及其分布一、随机变量的定义：设样本空间为，变量XX)为定义在上的单值实值函数，则称X为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。二、分布函数及其性质1.定义：设随机变量X，对于任意实数xRF(x){X}称为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数。注：当1x2时，P(1Xx2)F(x2)F(1)(1)X是离散随机变量，并有概率函数p(ii,则有()(Fxpxixxix(2)X连续随机变量，并有概率密度f(x)，则F(x)P(Xx)ftdt.2.分布函数性质：（1F(x)是单调非减函数，即对于任意x1<x2，有F(1)F(x2；（20Fx)1；且()lim()0()lim()1FFx，FFx；xx（3离散随机变量X，F(x)是右连续函数,即F(x)F(x；连续随机变量X，F(x)在（-∞，+∞）上处处连续。注：一个函数若满足上述3个条件，则它必是某个随机变量的分布函数。三、离散随机变量及其分布1.定义.设随机变量X只能取得有限个数值1,x2,,xn，或可列无穷多个数值1,x2,,xn,,且

(Xx)pi)i(i=1,2,)为X(分布律).PiiX为离散随机变量,p注：概率函数pi的性质:ii;(2)1pii2.几种常见的离散随机变量的分布：CCknk（1）超几何分布，X~H(N,M,n)，{Xk}kMNMCnN（2）二项分布，X~B(n.,p)，P(Xk)Ckpkp)nkkn当n=1时称X服从参数为p的两点分布（或01若X(i=1,2,…,n)服从同一两点分布且独立，则nXXii1服从二项分布。ke（3）泊松(Poisson)X~P()，{}(...PXkkk!四、连续随机变量及其分布1..若随机变量X的取值范围是某个实数区间I，且存在非负函数f(x)，使得对于任意区间(a,b]I，有bPaXb)f(x)dx,则称X为连续随机变量;函数f(x)称为连续随机变量X的概率密度函数，简称概率密度。(a注1：连续随机变量X任取某一确定值的x概率等于0,即P(X0)0x注2：(1Xx2)(1Xx2)(1Xx2)P(1X2xx)2x1f(x)dx2.概率密度f(x)的性质：性质1：f(x)性质2：()1.fxdx注1：一个函数若满足上述2个条件，则它必是某个随机变量的概率密度函数。x注2：当1x2时，P(1Xx2)F(x2)F(1)且在f(x)的连续点xF(x)f(x2x1f(x)dx3.几种常见的连续随机变量的分布：(1)均匀分布X~U(,)，f(x)1，axba0，其它bF(x)axba,axxxa;;.(2)指数分布X~(),0f(x)xx，1,ex0exF(x)0，x0x0.(x)(t)2211x(3)正态分布X~N(,2)，0f()e，F(xedt,x

x)2221.X）2.当N充分大时，超几何分布H(n,M,N)可近似成泊松分布。(X)3.设X是随机变量，有P(aX)P(aXb)。(X)4.若X的密度函数为f(x)=x,x]，则2P(0X)costdt.0(X)第三章随机变量的数字特征一、期望（或均值）xp,离散型kk1．定义：EX,EX1k(x)dx,连续型EC)C,(C为常数)(2)E(CX)=CE(X)2．期望的性质：(3)E(XY)=E(X)E(Y)(4)若X与Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y),反之结论不成立.g(x)p,X离散型kk3.随机变量函数的数学期望1E[g(xk+g(x)f(x)dxX连续型-4.计算数学期望的方法(1)利用数学期望的定义；(2)利用数学期望的性质；常见的基本方法：将一个比较复杂的随机变量X拆成有限多个比较简单的随机变量Xi之和,再利用期望性质求得X的期望.(3)利用常见分布的期望；1．方差[xE(Xp,离散型2iDi(X)E[XE(X2[xE(Xf(x)dx,连续型2D(X)=E[X-E(X)]2≥X取值分散的程度,如果D(X)值越大(小)X取值越分散(集中)。2．方差的性质DC)(C为常数)(2)D(CX)=CD(X)2(3)若X与Y相互独立，则D(XY)=D(X)+D(Y)(4)对于任意实数C∈，有E()2≥D(X)当且仅当C=E(X)时,E(X-C)2取得最小值D(X).(5)(切比雪夫不等式):设X的数学期望E(X)与方差D(X)存在,对于任意的正数有D(X)D(X)

.1-P|X-E(X)ε)或P|X-E(X)ε).εε223.计算(1)利用方差定义；(2)常用计算公式(X)E(X2)[E(X2.(3)方差的性质；(4)常见分布的方差.注：常见分布的期望与方差1.若XB(n,p),则E(X)=np,D(X)=npq;2.若X~E(X)(X);11abba)23.若XU(a,b),则E(X),D(X);4.若X~(E(X),D(X);22125.若X~N(,2E(X),D(X)2.三、原点矩与中心矩（总体）X的k阶原点矩：k(X)E(Xk)u()[(v（总体）X的k阶中心矩：kkXEXEX1.只要是随机变量，都能计算期望和方差。(X)2.期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。(√)3.方差越小，随机变量取值越分散，方差越大越集中。(X)4.方差的实质是随机变量函数的期望。(√)5.对于任意的X,Y，都有(XY)成立。(X)第四章正态分布一、正态分布的定义1.正态分布(x)(t)2211x⑴X~N(,2)概率密度为,,(f(x)e2exFx)2其分布函数为222dt注：1F().2正态密度函数的几何特性：1x（）；2当xμ时，f(x取得最大值(x)(x)221xf(x)0x12;dx；)e(4dx2e22f(x2.标准正态分布xxt2211当1时，X~N(0,其密度函数为,.(x)e2x且其分布函数为(x)e2dt.1的性质：(0);(x)2xx221(2)()e2dx1e2dx(x)1(x3.正态分布与标准正态分布的关系定理：若X~N(,2则YX~N(0,.xx定理：设X~N(,2则()(2)(1PxXx12二、正态分布的数字特征(x)21设X~N(,2),则1.E(X)xedxEX)(2(x)21xedx2.方差D(X)222D(X)()223.标准差(X)三、正态分布的性质1．线性性.设X~N(,2则Ya~N(a,b2b；2．可加性.设X~(,2~(,2且X和Y相互独立，则~(,22NxYNZXYNxyyxyxynnn3．线性组合性设XN2in，且相互独立，则c~(,i~(,,iXNcc22iiiiiiii1i1i1四、中心极限定理1.独立同分布的中心极限定理设随机变量,,,,iX1XXn相互独立，服从相同的分布，且E(X),D(X)2,i,,;2inXnμ(t)2i1则对于任何实数x，有limPxxe2i12nσndt定理解释：若X1,,,X满足上述条件，有X2nnXinμnnnσni（1）Y*1~(；(2)Y~(,2)i*Xnn；i112n（3）XX~(,)in1ni2.棣莫弗拉普拉斯中心极限定理(t)2Y1xnpn则设Y~B(n,p),limPnxe2nnp(1-p)dt定理解释：若Y~B(n,p),n当n充分大时，有Ynp（1）~(；（2）Y~(,pnnnpp)1.若X~NY~N则XY~N(（X）(X12.若X~N(,2),则.P0)（√）23.设随机变量X与Y均服从正态分布：X~N(,42Y~N(,52)而1P(XpPYBp((2对任何实数都有p，1p;2对任何实数，都有p1p2C.只对p的个别值，才有1p;2D.对任何实数，都有p1p.214.已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)ex2x12则X的数学期望为__1____;X的方差为__1/2____.第五章数理统计的基本知识一、总体个体样本1.总体：把研究对象的全体称为总体(或母体).它是一个随机变量，记2.个体：总体中每个研究对象称为个体.即每一个可能的观察值.3.样本：从总体X中，随机地抽取n个个体X1,X2,,Xn,称为总体X的容量为n的样本。样本(X1,X2,,Xn)是一个n2个特性：

①代表性：X1,X2,,Xn中每一个与总体X有相同的分布.②独立性：X1,X2,,Xn是相互独立的随机变量.

4.样本(X1,X2,,Xn)的联合分布n设总体X的分布函数为F(x)，则样本(X1,X2,,Xn)的联合分布函数为F(1,x2,,xn)(Fxii1n(1)设总体X的概率密度函数为f(x),则样本的联合密度函数为f(1,x2,,xn)(fxii1n12i(2)设总体X的概率函数为p(x(x),则样本的联合概率函数为(,,,)(pxxnpxxi1二、统计量1.定义不含总体分布中任何未知参数的样本函数g(X1,X2,Xn)称为统计量,g(1,x2,,xn)是g(X1,X2,Xn)的观测值.1）统计量(X1,)g是随机变量；（）统计量g(X1)不含总体分布中任何未知参数；2n2n（3）统计量的分布称为抽样分布.2.常用统计量n（1）样本矩：①样本均值XX1ini1n；其观测值1xxini1.可用于推断：总体均值E(X).11nn2②样本方差SX()(X)2iX2nX2;n1n1ii1i1n其观测值six2(x)12n1i1n1xix22n1i1.可用于推断：总体方差D(X).n③样本标准差SS2iX)1(X2n1i1n1X2inXn1i12.n其观测值ss2ix)1(x2n1i1n1x22inxn1i1.nn11k其观测值④样本k阶原点矩V,()kxXkvkkiinni1i1nn11k其观测值⑤样本k阶中心矩U(),(k)kxxXXu()kkiinni1i1注：比较样本矩与总体矩，如样本均值X和总体均值E(X)；样本方差S2与总体方差D(X)；1n样本k阶原点矩Vk,()与总体k阶原点矩E(X),(k)Xkk；样本k阶中心矩kini11nUk与总体k阶原点矩[XE(X,(k)(XX),(k)kk..ini1(2)样本矩的性质:设总体X的数学期望和方差分别为,2，X,S2为样本均值、样本方差，则1oEX;2oD(X)1;()2n3oES22().3.抽样分布：统计量的分布称为抽样分布.三、3大抽样分布1：.设X1,X2,,Xk相互独立，且Xi~Ni,k，则2X2X2X2~2(k).分布2注：若X~N(则X2~2（2）性质（可加性）设1和2相互独立，且~(~(1kk222212kk则~(2222122212X2.t分布：设X与Y相互独立且X~NY~2(k则~t(kt/k注：t分布的密度图像关于t=0对称；当n充分大时，t分布趋向于标准正态分布N(0,1).X/k23.F分布:定义.设X与Y相互独立，且~(~(2X2kYk则F1~F(k,k112Y/k2(2).设(1,k2则1/X~F(k2,k1).四、分位点定义：对于总体X和给定的若存在x，使得P)则称为X分布的分位点。(X注：常见分布的分位点表示方法（1）2(k)分布的分位点2(k);其性质：(k)t(k（）t(k)分布的分位点t(k),1（3）(1,k),分布的分位点(1,k),其性质Fk;kk(,k)22121Fkk(,)21（4）N(0,1)分布的分位点u,有P(X)1P(X)1第六章参数估计一、点估计设(X1,X2,,Xn)为来自总体X的样本，为X中的未知参数，(1,x2,,xn)为样本值，构造某个统计量ˆ(,,,)作为参数的估计，则称ˆ(,,,)为的点估计量，ˆ(,,,)X1XXnx为的估计值.X1XXn1xxn2222.常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法.二、矩估计法1.基本思想:用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体矩.2.求总体X的分布中包含的m个未知参数1,2,,m的矩估计步骤：①求出总体矩,即E(Xk[XE(X)]k,k；②用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程：1nnn1kkXE)i(X或(Xini1i1X)E[XkkE(Xk,k③解上述方程（或方程组）得到1,2,,m的矩估计量为：ii(X1,X2,,Xni,m④1,2,,m的矩估计值为：ii(1,x2,,xni,m3.矩估计法的优缺点：优点：直观、简单;只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式.缺点：没有充分利用总体分布提供的信息；矩估计量不具有唯一性；可能估计结果的精度比其它估计法的低三、最大似然估计法1.直观想法：在试验中，事件A的概率P(A),则A出