功的正负和计算

本文格式为Word版，下载可任意编辑——功的正负和计算功的计算和判断

台前县第一高级中学刘庆真

1．恒力做功

对恒力作用下物体的运动，力对物体做的功用W＝Flcosα求解．该公式可写成W＝F·(l·cosα)＝(F·cosα)·l，即功等于力与力方向上位移的乘积或功等于位移与位移方向上力的乘积．

2．变力做功

(1)用动能定理W＝ΔEk或功能关系W＝ΔE，即用能量的增量等效代换变力所做的功．(也可计算恒力做功)

(2)当变力的功率P一定时，可用W＝Pt求功，如机车以恒定功率启动时

(3)将变力做功转化为恒力做功

当力的大小不变，而方向始终与运动方向一致或相反时，这类力的功等于力和路程(不是位移)的乘积．如滑动摩擦力做功、空气阻力做功等．

3．总功的求法(1)总功等于合外力的功

先求出物体所受各力的合力F合，再根据W总＝F合lcosα计算总功，但应注意α应是合力与位移l的夹角．

(2)总功等于各力做功的代数和

分别求出每一个力做的功：W1＝F1l1cosα1，W2＝F2l2cosα2，W3＝F3l3cosα3，??再对各个外力的功求代数和，即：W总＝W1＋W2＋W3＋?

功的判断１.判断以下三种状况下各力做功的正负状况：

(1)如图甲所示，光滑水平面上有一光滑斜面b，a由斜面顶端静止滑下，b对a的支持力FN对a物体做功．

(2)人造地球卫星在椭圆轨道上运行，由图乙中的a点运动到b点的过程中，万有引力做功．

(3)车M静止在光滑水平轨道上，球m用细线悬挂在车上，由图丙中的位置无初速地释放，在球下摆过程中绳的拉力做功．

1

思维点拨：根据公式W＝Flcosα中α与90°的关系，以及能量的转化关系可判断功的正负．

解：(1)做负功．由于支持力FN与位移l之间的夹角大于90°.(2)做负功．由于万有引力的方向和速度的方向的夹角大于90°.

(3)对车做正功，对球做负功．由于绳的拉力使车的动能增加了，又由于M和m构成的系统的机械能是守恒的，M的机械能增加必意味着m的机械能减少，所以绳的拉力一定对球m做负功．

甲图中的b物体和丙图中的M物体都是运动的，因此甲图中的a物体和丙图中的m物体受力方向和对地的速度方向并不垂直，切勿混淆模型．

功的判断２.一人乘电梯从1楼到20楼，在此过程中经历了先加速，后匀速，再减速的运动过程，则电梯支持力对人做功状况是()

A．加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功B．加速时做正功，匀速和减速时做负功C．加速和匀速时做正功，减速时做负功D．始终做正功

解析：选D.力对物体做功的表达式为W＝Flcosθ，0°≤θ＜90°时，F做正功，θ＝90°，F不做功，90°＜θ≤180°时，F做负功，支持力始终竖直向上，与位移同向，θ＝0°，故支持力始终做正功，D正确

功的判断３．如下图，物体在水平拉力F的作用下，沿粗糙的水平地面向右运动()

A．假使物体做加速直线运动，F一定对物体做正功B．假使物体做加速直线运动，F有可能对物体做负功C．假使物体做减速直线运动，F一定对物体做负功D．假使物体做匀速直线运动，F一定不对物体做功

解析：选A.假使物体做加速直线运动，F的方向一定与运动方向一致，做正功，A正确，B错误；假使物体做减速直线运动，当F的方向与运动方向一致时，F做正功，当F的方向与运动方向相反时，F做负功，C错误；当物体做匀速直线运动时，F的方向与运动方向一致，做正功，D错误．

2

功的判断4．如图5－1－11所示，人造地球卫星在椭圆形轨道上运动，由a点运动到b点的过程中，关于万有引力做功的状况，正确的说法是()

A．不做功C．做负功

B．做正功D．不能判定

图5－1－11

解析：卫星从a点到b点，其速度的方向与万有引力的方向的夹角大于90°，所以万有引力做负功．答案：C功的判断５．(2023·安徽师大附中模拟)关于摩擦力做功，以下表达正确的是()

A．摩擦力做功的多少只与初位置和末位置有关，与运动路径无关B．滑动摩擦力总是做负功，不可以不做功C．静摩擦力一定不做功

D．静摩擦力和滑动摩擦力都既可做正功，也可做负功答案：D

功的判断６．(2023·长沙市一中月考)自动扶梯与水平地面间成θ角，一人站在扶梯上，扶梯从静止开始匀加速上升，达到一定速度后再匀速上升．若以FN表示水平梯板对人的支持力，G表示人所受的重力，Ff表示梯板对人的静摩擦力，则()

图5－1－12

A．匀速过程中，Ff＝0，FN、G都不做功B．加速过程中，Ff＝0，FN、G都做功C．加速过程中，Ff≠0，Ff、FN、G都做功D．加速过程中，Ff≠0，FN不做功

解析：扶梯匀速运动过程中，人受重力G和支持力FN，不受摩擦力作用，且FN和G均做功且FN做正功，G做负功，扶梯加速运动过程中受重

3

力G、支持力FN和摩擦力Ff作用，三力均做功，故正确选项为C.

功的判断７．如图5－1－13所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速带至高处，在此过程中，下述说法正确的是()

图5－1－13

A．摩擦力对P做正功B．P物体战胜摩擦力做功C．摩擦力对皮带不做功D．合力对P做正功

解析：因物体P受到的静摩擦力沿斜面向上，所以对P做正功，物体做匀速运动，合力对P做的功为零，故B、C、D均错．答案：A

功的判断８．某物体同时受到三个力作用而做匀减速直线运动，其中F1与加速度a的方向一致，F2与速度v的方向一致，F3与速度v的方向相反，则()

A．F1对物体做正功C．F3对物体做负功

B．F2对物体做正功D．合外力对物体做负功

解析：因物体做匀减速运动，a的方向与v的方向相反，故F1对物体做负功，A错；F2与速度v方向一致做正功，B正确；F3与v方向相反做负功，C正确；合外力的方向与运动方向相反做负功，D正确．答案：BCD

功的判断９如图5－1－6所示，小物体A位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平面上，从地面上看，小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力()

A．垂直于接触面，做功为零B．垂直于接触面，做功不为零C．不垂直于接触面，做功为零D．不垂直于接触面，做功不为零

解析：因斜面放在光滑的水平面上，当A下滑时，斜面在A的压力下将向右加速运动，A的运动是A相对斜面的下滑和随斜面向右运动的合运动，

4

如图5－7所示，斜面对小物块的弹力方向垂直于接触面，弹力F与小物块的对地位移的夹角大于90°，所以斜面对小物块的作用力做负功，正确选项为B.答案：B

功的判断１０.在加速运动的车厢中，一个人用力向前推车厢，如图5－1－8所示，人相对车厢未移动，则以下说法正确的是()A．人对车不做功C．推力对车做正功

B．人对车做负功D．人对车做正功

解析：(1)对人，如图5－1－9(a)所示，车厢对人的作用力有：车厢对人的弹力F1，车厢底对人的支持力FN1，车厢底对人的静摩擦力F2，设车厢的位移为s，则车厢对人做的功W1为：W1＝F2s－F1s，由于人和车都在做加速运动，故有F2－F1＝ma,因而F2＞F1，故W1＞0.

(2)对车厢如图5－1－9(b)所示，人对车厢的作用力有：推力F3，对底板的压力FN2，人对车的摩擦力F4，则人对车厢做功W2为：W2＝F3s－F4s.由于F3＝F1，F4＝F2，所以F3＜F4，故有W2＜0.由以上分析可知：人对车做负功，推力对车做正功，车对人做正功．答案：BC

功的判断１１.(2023·广州二测)如下图,质量为m的木块放在倾角为α的斜面上与斜面一起水平向左匀速运动,木块()

A.对斜面的压力大小为mgcosαB.所受的支持力对木块不做功C.所受的摩擦力对木块做负功D.所受的摩擦力方向可能沿斜面向下答案:AC

解析:木块受力平衡,受力状况如下图.木块水平向左运动,则支持力FN对木块做正功,摩擦力Ff对木块做负功,重力mg不做功,木块对斜面的压力FN′=FN=mgcosα,综上所述,可知选项A?C对,B?D错.

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功的计算

功的计算1.如下图，绳的一端固定在天花板上，通过一动滑轮将质量m＝10kg的物体由静止开始以2m/s2的加速度提升3s．求绳的另一端拉力F在这3s内所做的功．(g取10m/s2，滑轮和绳的质量及摩擦均不计)

思维点拨：解答此题时可按以下思路分析：

求出绳子上的拉力―→求出力的作用点的位移―→计算拉力所做的功

规范解答：物体受到两个力的作用：拉力F′和mg.由牛顿其次定律得：F′－mg＝ma

1

解得：F′＝120N则力F＝2F′＝60N

12

物体从静止开始匀加速上升，3s内的位移为：l＝2at＝9m力F的作用点的位移为2l＝18m所以力F做的功为：W＝F·2l＝1080J.

应用功的公式W＝Flcosα计算力对物体所做的功，必需搞明白式中各物理量的含义：l是力F的作用点的位移，且力的作用点的位移跟物体的位移在好多问题中往往不同，故必需找出力的作用点的位移．

功的计算2．如下图，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面的动摩擦因数为μ，现使斜面沿水平方向向左匀速移动距离为L.

求：(1)摩擦力对物体所做的功；(2)斜面弹力对物体所做的功；(3)重力对物体所做的功．

解：物体受力状况如下图，由于物体相对斜面静止，且斜面又向左匀速运动距离L，这些力均是恒力，故可用W＝Flcosθ计算各力的功．

由于物体做匀速运动，据平衡条件有：F1＝mgcosθ，F2＝mgsinθ.由W＝Flcosθ得：

(1)W1＝F2Lcos(180°－θ)＝－mgLsinθcosθ.(2)W2＝F1Lcos(90°－θ)＝mgLsinθcosθ.(3)W3＝mgLcos90°＝0.

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功的计算3.(2023年广东六校联考)如下图，滑雪者由静止开始沿斜坡从A点自由滑下，然后在水平面上前进至B点停下．已知斜坡、水平面与滑雪板之间的动摩擦因数都为μ，滑雪者(包括滑雪板)的质量为m.A、B两点间的水平距离为L.在滑雪者经过AB段运动的过程中，战胜摩擦力做的功

A．大于μmgLC．小于μmgL

B．等于μmgL

D．以上三种状况都有可能

解析：选B.设斜面的倾角为θ，则对滑雪者从A到B的运动过程中摩擦力做的功为：Wf＝μmgACcosθ＋μmgCB①，

由图可知ACcosθ＋CB＝L②，由①②两式联立可得：Wf＝μmgL，故B正确．

功的计算4.(2023年宝鸡质检)如下图，长为L的木板水平放置，在木板的A端放置一个质量为m的小物体，现缓慢抬高A端，使木板以左端为轴在竖直面内转动，当木板转到与水平面成α角时小物体开始滑动，此时中止转动木板，小物体滑到木板底端时的速度为v，则在整个过程中()

A．支持力对小物体做功为0

B．摩擦力对小物体做功为mgLsinα

1

C．摩擦力对小物体做功为2mv2－mgLsinα

12

D．木板对小物体做功为2mv

解析：选CD.木板由水平转到与水平面成α角的过程中，木板对物体的支持力做正功，重力做负功，两者相等，即WG＝WN＝mgLsinα，所以A错误；物体从开始下滑终究端的过程中，支持力不做功，重力做正功，摩

1212

擦力做负功，由动能定理得WG＋Wf＝2mv－0，即Wf＝2mv－mgLsinα，故C正确，B错误；对全过程运用能量观点，重力做功为0，无论支持力还

1

是摩擦力，施力物体都是木板，所以木板做功为2mv2，D正确．

功的计算5．分别对放在粗糙水平面上的同一物体施一水平拉力和一斜向上的拉力使物体在这两种状况下的加速度一致，当物体通过一致位移时，这两种状况下拉力的功和合力的功的正确关系是()

A．拉力的功和合力的功分别相等

7

B．拉力的功相等，斜向拉时合力的功大C．合力的功相等，斜向拉时拉力的功大D．合力的功相等，斜向拉时拉力的功小

解析：选D.两种状况下加速度相等，合力相等，位移相等，所以合力的功相等，第一种状况拉力的功W1＝F1x，其次种状况下拉力的功W2＝F2xcosθ，由受力分析F1－Ff1＝ma，F2cosθ－Ff2＝ma，Ff1＞Ff2，则F1＞F2cosθ，即W1＞W2，即斜向拉时拉力的功小．

功的计算6．如下图，在光滑的水平地面上有质量为M的长木板A，平板上放一质量为m的物体B，A、B之间动摩擦因数为μ.今在物体B上加一水平恒力F，使B和A发生相对滑动，经过时间t，B在A上滑动了一段距离但并未脱离A.求

(1)摩擦力对A所做的功；(2)摩擦力对B所做的功；

(3)若长木板A固定，B对A的摩擦力对A做的功．

解：(1)木板A在滑动摩擦力的作用下，向右做匀加速直线运动，经过时间t，A的位移为

121Ff2μmgt2sA＝2aAt＝2·Mt＝2M由于摩擦力Ff的方向和位移sA一致，即对A做正功，其大小为2

?μmgt?

Wf＝FfsA＝2M.

(2)物体B在水平恒力F和摩擦力的合力作用下向右做匀加速直线运动，

11F－Ff′

B的位移为sB＝2aBt2＝2·Mt2.

摩擦力Ff′方向和位移s2所以Ff′对B做负功，Wf′＝Ff′sBB方向相反，2

?μmgt?－μmgFt

＝－μmgsB，即Wf′＝.2M

(3)若长木板A固定，则A的位移sA′＝0，所以摩擦力对A做功为0，即对A不做功．

功的计算7．(2023年新课标全国卷)如下图，在外力作用下某质点运动的v－t图像为正弦曲线．从图中可以判断()

A．在0～t1时间内，外力做正功B．在0～t1时间内，外力的功率逐渐增大C．在t2时刻，外力的功率最大D．在t1～t3时间内，外力做的总功为零

解析：选AD.由速度图象可知，在0～t1时间内，由于物体的速度增大，

8

根据动能定理可知，外力对物体做正功，A正确；在0～t1时间内，由于物体的加速度减小，故所受的外力减小，由图可知t1时刻外力为零，故功率为零，因此外力的功率不是逐渐增大，B错误；在t2时刻，由于物体的速度为零，故此时外力的功率最小，且为零，C错误；在t1～t3时间内，由于物体的动能不变，故外力做的总功为零，D正确．

８．如下图，三个固定的斜面底边长度都相等，斜面倾角分别为30°、45°、60°，斜面的表面状况都一样．完全一致的物体(可视为质点)A、B、C分别从三斜面的顶部滑终究部的过程中()

A．物体A战胜摩擦力做的功最多B．物体B战胜摩擦力做的功最多C．物体C战胜摩擦力做的功最多D．三个物体战胜摩擦力做的功一样多

解析：选D.由于三个固定斜面的表面状况一样，A、B、C又是完全一致的三个物体，因此A、B、C与斜面之间的动摩擦因数一致，可设为μ，由功的定义：Wf＝－Ffl＝－μmgLcosθ＝－μmgd，三个固定斜面底边长度d都相等，所以摩擦力对三个物体做的功相等，都为－μmgd，因此D正确．

９．以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为Ff，则从抛出点至落回到原出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为()

A．0C．－2Ffh

中空气阻力对小球做功为：

W阻＝W阻上＋W阻下＝－Ffh＋(－Ffh)＝－2Ffh.答案：C

１０．物体沿直线运动的v－t关系如图5－2所示，已知在第1s内合外力对物体做的功为W，则()

9

B．－FfhD．－4Ffh

解析：小球在上升过程和下降过程中空气阻力都做负功，所以全过程

图5－2

A．从第1s末到第3s末合外力做功为4WB．从第3s末到第5s末合外力做功为－2WC．从第5s末到第7s末合外力做功为WD．从第3s末到第4s末合外力做功为－0.75W

解析：由题图知，第1s末速度、第3s末速度、第7s速度大小关系：

1

v1＝v3＝v7，由题知W＝2mv12－0，则由动能定理知第1s末到第3s末合外

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力做功W2＝2mv3－2mv12＝0，故A错．第3s末到第5s末合外力做功W3

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＝0－2mv32＝－W，故B错．第5s末到第7s末合外力做功W4＝2mv72－0

112

＝W，故C正确．第3s末到第4s末合外力做功W5＝2mv4－2mv32；因v4

1

＝2v3，所以W5＝－0.75W，故D正确．

答案：CD

１１.竖直上抛一球,球又落回原处,已知空气阻力的大小正比于球的速度,则()

A.上升过程中战胜重力做的功大于下降过程中重力所做的功B.上升过程中战胜重力做功等于下降过程中重力所做的功

C.上升过程中战胜重力做功的平均功率大于下降过程中重力做功的平均功率

D.上升过程中战胜重力做功的平均功率等于下降过程中重力做功的平均功率

解析:小球上升和下降时位移大小(h)相等,上升阶段小球战胜重力做功和下降阶段重力做功均为mgh,显然B对,A错.上升过程小球受到的合外力为mg+Ff,下降过程受到的合外力为mg-f,故上升加速度(a上)大于下降加速度(a下),在位移大小相等的状况下,上升时间(t上)比下降时间(t下)小,根据功率定义,P上=

答案:BC

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mghmgh,P下=,显然P上>P下,C对,D错.t上t下

１２如下图,质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上,物体与斜面的动摩擦因数为μ,现使斜面水平向左匀速移动距离l.

(1)摩擦力对物体做的功为(物体与斜面相对静止)()A.0B.μmglcosθC.-mglcosθsinθD.mglsinθcosθ[答案]C

(2)斜面对物体的弹力做的功为()

A.0B.μmglsinθcos2θC.-mglcos2θD.mglsinθcosθ[答案]D

(3)重力对物体做的功为()A.0B.mglC.mgltanθD.mglcosθ[答案]A

[解析]物体m受到重力mg,摩擦力Fμ和支持力FN的作用如下图,m有沿斜面下滑的趋势,Fμ为静摩擦力,位移l的方向与速度v的方向一致,据物体的平衡条件有Fμ=mgsinθ,FN=mgcosθ.由功的计算公式W=Fscosα有:(1)摩擦力Fμ对物体做功WFμ=Fμlcos(180°-θ)=-mglcosθsinθ.(2)弹力FN对物体做功WFN=FNlcos(90°-θ)=mglsinθcosθ.(3)重力G做功WG=mglcos90°=0.

１３.质量为M、长为L的长木板,放置在光滑的水平面上,长木板最右端放置一质量为m的小物块,如下图.现在长木板右端施加一水平恒力F,使长木板从小物块底下抽出,小物块与长木板间动摩擦因数为μ,求把长木板抽出来所做的功

11

１４.用水平力拉一物体在水平地面上从静止开始做匀加速运动,到t1秒末撤去拉力F,物体做匀减速运动,到t2秒末静止.其速度图象如图6所示,且αv2时,物体相对传送带向左运动,物体受到的滑动摩擦力方向向右,则物体先做匀加速运动直到速度达到v1,再做匀速运动,故传送带对物体先做正功后不做功,B错误,C正确.答案ACD

拓展探究若传送带以与图示方向相反的方向匀速转动,则传送带对物体做功的状况又如何?

答案因传送带足够长,物体在传送带上减速至零后,又反向运动,在这个过程中,传送带对物体先做负功,再做正功.

１７．如图5－1－14所示，木板质量为M，长度为L，小木块质量为1

m＝2M，水平地面光滑，一根不计质量的轻绳通过定滑轮分别与M和m连接，小木块与木板间的动摩擦因数为μ，开始时木块静止在木板左端，现用水平向右的力将m缓慢拉至右端，拉力至少做功为()

A．μmgLB．5μmgL/2C．3μmgLD．5μmgL解析：将m拉至右端，则小木块的位移为L/2，再由m受力知F＝FT

＋μmg，对M受力分析可知，FT＝μmg，所以拉力做的功为μmgL，选A.要注意此题中地面是光滑的，若地面不光滑且M与地面的动摩擦因数也为μ，则正确答案就选B了．

答案：A

１８.如图5－1－1所示，两个相互垂直的力F1与F2作用在同一物体上，使物体通过一段位移的过程中，力F1对物体做功4J，力F2对物体做功3J，则力F1与F2的合力对物体做功为()A．7JC．5J

B．1JD．3.5J

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解析：由于功是标量，合力对物体做的功，应等于各分力对物体做功的代数和，因此，合力对物体做的功应为W＝W1＋W2＝4J＋3J＝7J，选项A正确．答案：A

１９.如图5－1－4所示，一质量为m＝2.0kg的物体从半径为R＝5.0m的圆弧的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面内)．拉力F大小不变始终为15N，方向始终与物体在该点的切线成37°角．圆弧所对应的圆心角为60°，BO边为竖直方向，求这一过程中：(g取10m/s2)(1)拉力F做的功；(2)重力G做的功；

(3)圆弧面对物体的支持力FN做的功；(4)圆弧面对物体的摩擦力Ff做的功．

思路分析：在遇到求功的问题时，一定要注意分析是求恒力做的功还是变力做的功，假使是求变力做的功，看能否转化为求恒力做功的问题，不能转化的，还可以借助动能定理和能量守恒定律来求解．

解析：(1)将圆弧AB分成好多小段l1，l2，…，ln，拉力在每小段上做的功为W1，W2，…，Wn，因拉力F大小不变，方向始终与物体在该点的切线成37°角，所以：

W1＝Fl1cos37°，W2＝Fl2cos37°，…，Wn＝Flncos37°，所以WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcos37°·R＝20πJ＝62.8J.(2)重力G做的功WG＝－mgR(1－cos60°)＝－50J.

(3)物体受的支持力FN始终与物体的运动方向垂直，所以WFN＝0.(4)因物体在拉力F作用下缓慢移动，动能不变，由动能定理知：WF＋WG＋Wf＝0，

所以Wf＝－WF－WG＝(－62.8＋50)J＝－12.8J.答案：(1)62.8J(2)－50J(3)0(4)－12.8J

２０.如图6所示,木板可绕固定的水平轴O转动,在木板从水平位置OA缓慢转到OB位置的过程中,木板上重为5N的物块始终相对于木板静止,物块的重力势能增加了4J.用FN表示木板对物块的支持力,Ff表示木板对物块的摩擦力,则()A.物块被抬高了0.8m

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B.FN对物块做功4J,Ff对物块不做功C.FN对物块不做功,Ff对物块做功4JD.FN和Ff对物块所做功的代数和为0

解析物块重力势能的增加量ΔEp=mgΔh,所以Δh=0.8m,A正确;由于物块的运动方向始终与Ff方向垂直,所以Ff不做功;由功能关系得FN对物块做功为4J,B正确.答案AB

２１．(13分)(2023年四川理综卷)质量为M的拖拉机拉着耙来耙地，由静止开始做匀加速直线运动，在时间t内前进的距离为s.耙地时，拖拉机受到的牵引力恒为F，受到地面的阻力为自重的k倍，耙所受阻力恒定，连接杆质量不计且与水平面的夹角θ保持不变．求：

(1)拖拉机的加速度大小；(2)拖拉机对连接杆的拉力大小；(3)时间t内拖拉机对耙做的功．

1

解：(1)由匀变速直线运动的公式：s＝2at2①

2s得a＝t2.②

(2)设连接杆对拖拉机的拉力为f，由牛顿其次定律得：F－kMg－fc