全国普通高等学校单招统一招生考试数学模拟试卷一（含详解）

全国普通高等学校单招统一招生考试数学模拟试卷一一 、选择题（本大题共8小题，每小题8分，共64分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）LISTNUMOutlineDefault\l3(8分)已知集合M＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，N＝{y|y=﹣eq\f(1,2)x2＋1，x∈R}，则M∩N等于()A.{x|﹣2≤x＜1}B.{x|1＜x＜2}C.{x|﹣1＜x≤1}D.{x|1≤x＜2}LISTNUMOutlineDefault\l3(8分)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)=－f(x)，且在[0，2)上单调递减，则下列结论正确的是()A.0＜f(1)＜f(3)B.f(3)＜0＜f(1)C.f(1)＜0＜f(3)D.f(3)＜f(1)＜0LISTNUMOutlineDefault\l3(8分)不等式eq\f(1,x－1)<x＋1的解集为()A.{x|x>－3}B.{x|eq\f(4,3)<x<2eq\r(2)}C.{x|x>1}D.{x|x>eq\r(2)或－eq\r(2)<x<1}LISTNUMOutlineDefault\l3(8分)若函数f(x)满足f(1﹣lnx)＝eq\f(1,x)，则f(2)等于()A.eq\f(1,2)B.eC.eq\f(1,e)D.﹣1LISTNUMOutlineDefault\l3(8分)已知向量a=(m,2)，b=(2，－1)，且a⊥b，则eq\f(|2a－b|,a·a＋b)等于()A.－eq\f(5,3)B.1C.2D.eq\f(5,4)LISTNUMOutlineDefault\l3(8分)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()A.1升B.eq\f(67,66)升C.eq\f(47,44)升D.eq\f(37,33)升LISTNUMOutlineDefault\l3(8分)函数f(x)＝2cos(ωx＋eq\f(π,4))(ω＞0)的图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称，且在(eq\f(π,2),π)上单调递增，则函数f(x)在区间[﹣eq\f(π,2),eq\f(π,3)]上的最小值为()A.﹣2B.﹣eq\r(2)C.﹣1D.﹣eq\f(\r(2),2)LISTNUMOutlineDefault\l3(8分)已知底面是边长为2的正方形的四棱锥P­ABCD中，四棱锥的侧棱长都为4，E是PB的中点，则异面直线AD与CE所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(6),4)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(2),2)二 、填空题（本大题共4小题，每小题8分，共32分）LISTNUMOutlineDefault\l3(8分)已知函数y=f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y=eq\f(1,2)x＋2，则f(1)＋f′(1)=________.LISTNUMOutlineDefault\l3(8分)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，且|AF|＝4|FB|，O为坐标原点，若△AOB的面积为eq\f(5,8)，则p＝________.LISTNUMOutlineDefault\l3(8分)向圆(x﹣2)2＋(y﹣eq\r(3))2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率为________.LISTNUMOutlineDefault\l3(8分)已知A，B，C，D是半径为5的球面上的点，且BC=CD=DB=3eq\r(3)，当四面体ABCD的体积最大时，AB=________.三 、解答题（本大题共3小题，共54分）LISTNUMOutlineDefault\l3(18分)已知函数f(x)=(2cos2x－1)·sin2x＋eq\f(1,2)cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)若α∈(0，π)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,4)－\f(π,8)))=eq\f(\r(2),2)，求taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))的值.LISTNUMOutlineDefault\l3(18分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA，且B为钝角.(1)证明：B－A=eq\f(π,2)；(2)求sinA＋sinC的取值范围.LISTNUMOutlineDefault\l3(18分)已知双曲线C：x2﹣y2＝1及直线l：y＝kx﹣1.(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积是eq\r(2)，求实数k的值.

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案解析LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：C.解析：M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{y|y≤1}，则M∩N＝{x|﹣1＜x≤1}，故选C.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：C；解析：由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)=0.由f(x＋2)=－f(x)，得f(x＋4)=－f(x＋2)=f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)=f(－1).又f(x)在[0，2)上单调递减，所以函数f(x)在(－2，2)上单调递减，所以f(－1)＞f(0)＞f(1)，即f(1)＜0＜f(3)，故选C.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：D解析：原不等式可以变形为eq\f(1－x2－1,x－1)<0，即eq\f(x2－2,x－1)>0，故原不等式的解集为{x|x>eq\r(2)或－eq\r(2)<x<1}.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：B；解析：解法一：令1﹣lnx＝t，则x＝e1﹣t，于是f(t)＝eq\f(1,e1－t)，即f(x)＝eq\f(1,e1－x)，故f(2)＝e.解法二：由1﹣lnx＝2，得x＝eq\f(1,e)，这时eq\f(1,x)＝eq\f(1,\f(1,e))＝e，即f(2)＝e.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：B解析：∵a⊥b，∴2m－2=0，∴m=1，则2a－b=(0,5)，a＋b=(3,1)，∴a·(a＋b)=1×3＋2×1=5，|2a－b|=5，∴eq\f(|2a－b|,a·a＋b)=eq\f(5,5)=1.故选B.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：B；解析：设该等差数列为{an}，公差为d，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66).))∴a5＝eq\f(13,22)＋4×eq\f(7,66)＝eq\f(67,66).故选B.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：B.解析：由题意得eq\f(π,2)ω＋eq\f(π,4)＝2kπ＋π(k∈Z)，解得ω＝4k＋eq\f(3,2)(k∈Z).又∵f(x)在(eq\f(π,2),π)上单调递增，∴eq\f(π,ω)≥eq\f(π,2)，∴0＜ω≤2，∴ω＝eq\f(3,2)，则f(x)＝2cos(eq\f(3,2)x＋eq\f(π,4))，∵﹣eq\f(π,2)≤x≤eq\f(π,3)，∴﹣eq\f(π,2)≤eq\f(3,2)x＋eq\f(π,4)≤eq\f(3π,4)，∴﹣eq\f(\r(2),2)≤cos(eq\f(3,2)x＋eq\f(π,4))≤1，故f(x)在区间[﹣eq\f(π,2),eq\f(π,3)]上的最小值为﹣eq\r(2).LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：A.解析：解法一：选A.如图，取PC的中点F，连接EF，则EF＝1，且∠ECB为异面直线AD与CE所成的角.在△PEF中，由余弦定理，得cos∠EPF＝eq\f(22＋22－12,2×2×2)＝eq\f(7,8).在△PEC中，由余弦定理，得CE2＝PE2＋PC2﹣2PE×PC×cos∠EPC＝22＋42﹣2×2×4×eq\f(7,8)＝6，所以cos∠ECB＝eq\f(EC2＋BC2－EB2,2×EC×BC)＝eq\f(6＋4－4,2×\r(6)×2)＝eq\f(\r(6),4)，故选A.解法二：设O为正方形ABCD的对角线AC与BD的交点，根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，﹣1，0)，D(﹣1，﹣1，0)，C(﹣1，1，0)，E(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，eq\f(\r(14),2))，所以eq\o(AD,\s\up10(→))＝(﹣2，0，0)，eq\o(CE,\s\up10(→))＝(eq\f(3,2)，﹣eq\f(1,2)，eq\f(\r(14),2))，所以|cos〈eq\o(AD,\s\up10(→))，eq\o(CE,\s\up10(→))〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AD,\s\up10(→))·\o(CE,\s\up10(→)),|\o(AD,\s\up10(→))||\o(CE,\s\up10(→))|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－3,2×\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(14),2)))\s\up12(2)))))＝eq\f(\r(6),4)，故选A.二 、填空题LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：3；解析：由导数的几何意义得f′(1)=eq\f(1,2)，由点M在切线上得f(1)=eq\f(1,2)×1＋2=eq\f(5,2)，所以f(1)＋f′(1)=3.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：1.解析：易知抛物线y2＝2px的焦点F的坐标为(eq\f(p,2),0)，准线为x＝﹣eq\f(p,2)，不妨设点A在x轴上方，如图，过A，B作准线的垂线AA′，BB′，垂足分别为A′，B′，过点B作BH⊥AA′，交AA′于H，则|BB′|＝|A′H|，设|FB|＝t，则|AF|＝|AA′|＝4t，∴|AH|＝|AA′|﹣|A′H|＝3t，又|AB|＝5t，∴在Rt△ABH中，cos∠HAB＝eq\f(3,5)，∴tan∠HAB＝eq\f(4,3)，则可得直线AB的方程为y＝eq\f(4,3)(x﹣eq\f(p,2)).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(4,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))得8x2﹣17px＋2p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(17,8)p＋p＝eq\f(25,8)p，易知点O到直线AB的距离为d＝|OF|·sin∠A′AB＝eq\f(p,2)×eq\f(4,5)＝eq\f(2,5)p.∴S△AOB＝eq\f(1,2)×eq\f(25,8)p×eq\f(2,5)p＝eq\f(5p2,8)＝eq\f(5,8)，∴p2＝1，又p＞0，∴p＝1.LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：eq\f(1,6)﹣eq\f(\r(3),4π).解析：如图所示，连接CA，CB，依题意，圆心C到x轴的距离为eq\r(3)，所以弦AB的长为2.又圆的半径为2，所以弓形ADB的面积为eq\f(1,2)×eq\f(2,3)π×2﹣eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\f(2,3)π﹣eq\r(3)，所以向圆(x﹣2)2＋(y﹣eq\r(3))2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率P＝eq\f(1,6)﹣eq\f(\r(3),4π).LISTNUMOutlineDefault\l3答案为：3eq\r(10).解析：由已知可得，△BCD是边长为3eq\r(3)的等边三角形，设△BCD的中心为O1，则BO1=eq\f(2,3)×3eq\r(3)×sin60°=3，要使四面体ABCD的体积最大，则有四面体ABCD的高为5＋eq\r(52－32)=9，此时AB=eq\r(92＋32)=3eq\r(10).三 、解答题LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)f(x)=(2cos2x－1)sin2x＋eq\f(1,2)cos4x=cos2xsin2x＋eq\f(1,2)cos4x=eq\f(1,2)(sin4x＋cos4x)=eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,4)))，∴f(x)的最小正周期T=eq\f(π,2).令2kπ＋eq\f(π,2)≤4x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，得eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,16)≤x≤eq\f(kπ,2)＋eq\f(5π,16)，k∈Z.∴f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)＋\f(π,16)，\f(kπ,2)＋\f(5π,16)))，k∈Z.(2)∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,4)－\f(π,8)))=eq\f(\r(2),2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))=1.∵α∈(0，π)，－eq\f(π,4)＜α－eq\f(π,4)＜eq\f(3π,4)，∴α－eq\f(π,4)=eq\f(π,2)，故α=eq\f(3π,4).因此taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))=eq\f(tan\f(3π,4)＋tan\f(π,3),1－tan\f(3π,4)tan\f(π,3))=eq\f(－1＋\r(3),1＋\r(3))=2－eq\r(3).LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)证明：由a=btanA及正弦定理，得eq\f(sinA,cosA)=eq\f(a,b)=eq\f(sinA,sinB)，所以sinB=cosA，即sinB=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋A)).又B为钝角，因此eq\f(π,2)＋A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，故B=eq\f(π,2)＋A，即B－A=eq\f(π,2).(2)由(1)知，C=π－(A＋B)=π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,2)))=eq\f(π,2)－2A＞0，所以A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))).于是sinA＋sinC=sinA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2A))=sinA＋cos2A=－2sin2A＋sinA＋1=－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinA－\f(1,4)))2＋eq\f(9,8).因为0＜A＜eq\f(π,4)，所以0＜sinA＜eq\f(\r(2),2