第八章二元函数的极值

第八章二元函数的极值第一页，共三十九页，2022年，8月28日多元函数极值一、多元函数的极值和最值H=2ezsurf('-x*y/exp(x^2+y^2)',[-h,h,-h,h,-h,h])第二页，共三十九页，2022年，8月28日1、二元函数极值的定义第三页，共三十九页，2022年，8月28日(1)(2)(3)第四页，共三十九页，2022年，8月28日2、多元函数取得极值的条件第五页，共三十九页，2022年，8月28日证第六页，共三十九页，2022年，8月28日仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.注意：驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？第七页，共三十九页，2022年，8月28日第八页，共三十九页，2022年，8月28日解第九页，共三十九页，2022年，8月28日第十页，共三十九页，2022年，8月28日第十一页，共三十九页，2022年，8月28日3、多元函数的最值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法设f(x,y)在D上连续，D内可微且在D内至多有有限个驻点,这时若f(x,y)在D内取得最值,则这个最值也一定是极值将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.故一般方法是第十二页，共三十九页，2022年，8月28日在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数在区域内部确有最大值（最小值），这时如果函数在区域内只有一个驻点，则可以断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值（最小值）解如图,第十三页，共三十九页，2022年，8月28日第十四页，共三十九页，2022年，8月28日例3

要造一个容量一定的长方体箱子，问选择怎样的尺寸，才能使所用材料最少？解设箱子的长、宽、高分别是x,y,z，容量为V，表面积为S。则： V=xyz S=2(xy+yz+yx)第十五页，共三十九页，2022年，8月28日根据实际问题可知S一定存在最小值。唯一的极值应该是最小值。第十六页，共三十九页，2022年，8月28日例4

某工厂生产两种产品甲与乙，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品甲与y单位的产品乙总费用是

求取得最大利润时，两种产品的产量各多少?解设L(x,y)表示产品甲与乙分别生产x与y单位时所得的总利润．因为总利润等于总收入减去总费用，所以第十七页，共三十九页，2022年，8月28日得驻点(120,80)．由题意知，生产120单位产品甲与80单位产品乙设所得利润最大．

是极大值第十八页，共三十九页，2022年，8月28日解由第十九页，共三十九页，2022年，8月28日无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.条件极值：对自变量有附加条件的极值．第二十页，共三十九页，2022年，8月28日二、条件极值与拉格朗日乘数法第二十一页，共三十九页，2022年，8月28日一些较简单的条件极值问题可以把它转化为无条件极值来求解——降元法，但这种方法需要经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就不容易做到，有时甚至是不可能的。解决条件极值问题的一般方法是Lagrange乘数法——升元法求z=f(x,y)其几何意义是其中点(x,y)在曲线L上第二十二页，共三十九页，2022年，8月28日假定点P(x0,y0)为条件极值点在(x0,y0)的某个邻域内且不同时为0f(x,y)可微确定了一个隐函数y=y(x)故z=f[x,y(x)]在P(x0,y0)处取得极值故即又由隐函数的微分法知第二十三页，共三十九页，2022年，8月28日代入上式令得P

(x0,y0)为条件极值点的必要条件为第二十四页，共三十九页，2022年，8月28日xyzoz=f(x,y)LM无条件极值点.P条件极值点.第二十五页，共三十九页，2022年，8月28日第二十六页，共三十九页，2022年，8月28日例6解销售某产品需作两种方式的广告宣传，当宣传费用分别为x和y(单位：千元)时，销售量S（单位：件）是x和y的函数若销售产品所得的利润是销售量的1/5减去总的广告费，两种广告费共25（单位：千元）．应怎样分配两种方式的广告费，能使利润最大，最大利润是多少?根据题意，利润函数为第二十七页，共三十九页，2022年，8月28日设拉格朗日函数求其对x，y，的一阶偏导数，并使之为零，得方程组

第二十八页，共三十九页，2022年，8月28日解得，故点(15,10)是惟一的驻点，也是最大值点．于是，当两种宣传方式的广告费分别为15和10(单位：千元)时，其利润最大、最大利润是第二十九页，共三十九页，2022年，8月28日例7求内接于椭球的最大长方体的体积,长方体的各面平行于坐标面解一设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第一卦限的顶点的坐标为(x,y,z)则长方体的体积为V=8xyz令第三十页，共三十九页，2022年，8月28日解得或两式相除同理即代入解得三式相加得第三十一页，共三十九页，2022年，8月28日解二任意固定z0(0<z0<c)先在所有高为2z0的长方体中求体积最大者因为高是固定的，故当底面积最大时体积最大今上底面为内接于椭圆边平行于x,y轴的长方形当长方形的边长分别为（一元函数极值问题）第三十二页，共三十九页，2022年，8月28日长方形面积最大得到高为2z0的长方体中最大体积为V(z0)

最大这时长方体在第一卦限的顶点的坐标为解三作变换问题变成在下求XYZ的最大值易知为立方体第三十三页，共三十九页，2022年，8月28日解四即求的最大值而此三个正数的和一定（=1）当积最大第三十四页，共三十九页，2022年，8月28日四、小结多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）