第五章数值积分

第五章数值积分第一页，共三十七页，2022年，8月28日

在[a,b]上取ax0<x1<…<xn

b，做f的n次插值多项式，即得到Ak由决定，与无关。节点

f(x)插值型积分公式第二页，共三十七页，2022年，8月28日误差第三页，共三十七页，2022年，8月28日例：对于[a,b]上1次插值，有考察其代数精度。f(x)abf(a)f(b)梯形公式解：逐次检查公式是否精确成立代入P0=1：=代入P1=x：=代入P2=x2：代数精度=1第四页，共三十七页，2022年，8月28日抛物型求积公式：二次插值求积公式：第五页，共三十七页，2022年，8月28日Simpson公式第六页，共三十七页，2022年，8月28日定义

若某个求积公式所对应的误差R[f]满足：R[Pk

]=0对任意

k

n阶的多项式成立，且R[Pn+1

]0对某个

n+1阶多项式成立，则称此求积公式的代数精度为n

。代数精度：第七页，共三十七页，2022年，8月28日怎样验证代数精度：第八页，共三十七页，2022年，8月28日注：形如的求积公式至少有n

次代数精度

该公式为插值型（即：）第九页，共三十七页，2022年，8月28日思考：代数精度是否是越高越好？第十页，共三十七页，2022年，8月28日梯形公式的误差第十一页，共三十七页，2022年，8月28日定理证明第十二页，共三十七页，2022年，8月28日辛普森(Simpson)求积公式的误差：第十三页，共三十七页，2022年，8月28日思考：结论是什么？怎么办？第十四页，共三十七页，2022年，8月28日复合求积：高次插值有Runge现象，故采用分段低次插值分段低次合成的复合求积公式。复合梯形公式：在每个上用梯形公式：第十五页，共三十七页，2022年，8月28日=

Tn/*中值定理*/怎么办？第十六页，共三十七页，2022年，8月28日44444=

Sn注：为方便编程，可采用另一记法：令n’=2n为偶数，这时，有复合Simpson公式：第十七页，共三十七页，2022年，8月28日复化求积例：第十八页，共三十七页，2022年，8月28日复化求积例：两种方法谁好？第十九页，共三十七页，2022年，8月28日给定精度，如何取n?通常采取将区间不断对分的方法，即取n=2k上例中2k

68k=7注意到区间再次对分时可用来判断迭代是否停止。第二十页，共三十七页，2022年，8月28日§5.2高斯型积分构造具有2n+1次代数精度的求积公式将节点x0…xn

以及系数A0…An

都作为待定系数。令f(x)=1,x,x2,…,x2n+1

代入可求解，得到的公式具有2n+1

次代数精度。这样的节点称为Gauss点，公式称为Gauss型求积公式。第二十一页，共三十七页，2022年，8月28日例：在两点数值积分公式中，如果积分点也作为未知量，则有4个未知量,可以列出4个方程：（在[-1,1]为例）可解出：数值积分公式具有3阶代数精度，比梯形公式1阶代数精度高第二十二页，共三十七页，2022年，8月28日推广：加权Gauss积分公式权函数第二十三页，共三十七页，2022年，8月28日例：求的2

点Gauss公式。解：设，应有3次代数精度。+101100)()()(xfAxfAdxxfx代入f(x)=1,x,x2,x3不是线性方程组，不易求解。第二十四页，共三十七页，2022年，8月28日

x0…xn

为Gauss点

与任意次数不大于n的多项式P(x)（带权）正交。定理求Gauss点

求w(x)第二十五页，共三十七页，2022年，8月28日证明：“”

x0…xn

为Gauss点,则公式至少有2n+1

次代数精度。对任意次数不大于n的多项式Pm(x)，Pm(x)w(x)的次数不大于2n+1，则代入公式应精确成立：0=0“”要证明x0…xn为Gauss点，即要证公式对任意次数不大于2n+1的多项式Pm(x)精确成立，即证明：设0第二十六页，共三十七页，2022年，8月28日

正交多项式族{0,1,…,n,…}有性质：任意次数不大于n的多项式P(x)必与n+1

正交。若取w(x)为其中的n+1，则n+1的根就是Gauss点。第二十七页，共三十七页，2022年，8月28日再解上例：+101100)()()(xfAxfAdxxfxStep1：构造正交多项式2设cbxxxaxxx++=+==2210)(,)(,1)(jjj53-=a0)(10=+dxaxx0),(10=jj=++-==++=1021102100))(53(0),(0)(0),(dxcbxxxxdxcbxxxjjjj215910=-=cb即：第二十八页，共三十七页，2022年，8月28日Step2：求2=0

的2个根，即为Gauss点x0，x1Step3：代入f(x)=1,x

以求解A0，A1解线性方程组，简单。结果与前一方法相同：

利用此公式计算的值第二十九页，共三十七页，2022年，8月28日Matlab积分函数函数名功能quad采用Simpson计算积分。精度高，较常用quad8采用8样条Newton-Cotes公式计算积分。精度高，最常用trapz采用梯形法计算积分。精度差，速度快cumtrapz采用梯形法求一区间上的积分曲线。精度差，速度快sum等宽矩形法求定积分。精度很差，速度快，一般不用cumsum等宽矩形法求一区间上的积分曲线。精度很差，速度快，一般不用第三十页，共三十七页，2022年，8月28日q=quad(‘fun’,a,b,tol,trace,p1,p2,…)q=quad8(‘fun’,a,b,tol,trace,p1,p2,…)参数‘fun’是被积函数,可以是表达式字符串、内联函数、M函数文件名，被积函数的自变量一般采用字母x；a、b分别是积分的上、下限，都为确定的值；tol是一二元向量，第一个元素控制相对误差，第二个元素控制绝对误差；trace若取非零值，将以动态图形展现积分的整个过程，若取零值，则不画图，其缺省值为0；p1、p2是向被积函数传递的参数。在调用函数时，前三个参数是必须的，其余参数可缺省。第三十一页，共三十七页，2022年，8月28日Matlab积分函数符号积分：int(f)—对f表达式的缺省变量求积分int(f,v)—对f表达式的v变量求积分int(f,v,a,b)—对f表达式的v变量在（a,b)区间求定积分第三十二页，共三十七页，2022年，8月28日§5.3