第三章 动态电路分析

第三章动态电路分析1第一页，共八十八页，2022年，8月28日第三章动态电路分析本章主要内容动态电路的基本概念一阶电路的分析阶跃信号与阶跃响应二阶电路简介第二页，共八十八页，2022年，8月28日第三章动态电路分析学习目标深刻理解零输入响应、零状态响应、全响应的含义，并掌握它们的分析计算方法。掌握动态电路方程的建立及解法。熟练掌握输入为直流信号激励下的一阶电路的三要素分析法。第三页，共八十八页，2022年，8月28日3.1动态电路的基本概念电阻电路与动态电路电阻电路：电路中仅由电阻元件和电源元件构成。(即时电路)KCL、KVL方程和元件特性均为代数方程。描述电路的方程为代数方程。动态电路：含储能元件L、C。(记忆电路)KCL、KVL方程仍为代数方程，而元件方程中含微分或积分形式。因此描述电路的方程为微分方程。第四页，共八十八页，2022年，8月28日3.1动态电路的基本概念动态电路定义:含有电容和电感等储能元件的电路.对含有或简化后含有一个储能元件的电路，称为一阶电路.含有或简化后含有两个储能元件的电路，称为二阶电路.稳态与暂态稳态：电路的响应稳恒不变或按周期规律变化.暂态：电路中含有储能元件时,由于电路结构或元件参数的变化,使电路的响应从一个稳态到另一个稳态的过渡过程.第五页，共八十八页，2022年，8月28日3.1动态电路的基本概念什么是电路的过渡过程？S未动作前S接通电源后进入另一稳态i=0,uC=0i

=0,uC=USS+–uCUSRCiS+–uCUSRCi过渡过程：电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。稳定状态(稳态)过渡状态(动态)第六页，共八十八页，2022年，8月28日3.1动态电路的基本概念uCtt1USO初始状态过渡状态新稳态过渡过程产生的原因：1.电路中含有储能元件(内因)能量不能跃变2.电路结构或电路参数发生变化(外因)支路的接入、断开；开路、短路等S+–uCUSRCi+uSR1R2R3

参数变化换路+–uCC+uSR1R3第七页，共八十八页，2022年，8月28日3.1动态电路的基本概念

是否含动态储能元件的电路就一定有暂态呢?否,在直流激励下,电容相当于开路,电感相当于短路,所以含电容电感的电路在直流激励下处于稳态.换路定义：由于电路结构的改变或元件参数的突然变化,从而使电路由稳态进入暂态的过程.

换路在瞬间进行,设换路时刻为0;0_:换路前接近换路的一瞬间;0+:换路后的初始瞬间;第八页，共八十八页，2022年，8月28日换路定律换路定律定义：指若电容电流、电感电压为有限值，则uC、iL不能跃变，即换路前后一瞬间的uC

、iL是相等的。CiuC+–

换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。LiLu+–换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。换路定则是建立在能量不能突变的基础上！第九页，共八十八页，2022年，8月28日换路定律证明：对于线性电容元件，在任意时刻t，其电荷、电压与电流的关系为：在t0=0-，t

=0+

时刻在换路时刻，由于iC为有限值，则积分项为0，故对初值为0的电容，在换路后瞬间电容上的电压值为0，相当于短路第十页，共八十八页，2022年，8月28日换路定律同理：对于线性电感元件，在任意时刻t，其磁链、电流与电压的关系为：在t0=0-

，t

=0+

时刻在换路时刻，由于uL为有限值，则积分项为0，故对初值为0的电感，在换路后瞬间电感上的电流值为0，相当于开路第十一页，共八十八页，2022年，8月28日初始条件的确定含动态元件电路的分解及电路初始条件的确定对一阶动态电路的分析可运用前面学过的分解方法和等效变换进行。将电路看成两个单口网络，其一为所有含源电阻网络，另一部分为一动态元件。第十二页，共八十八页，2022年，8月28日初始条件的确定以含电容电路为例，将N1进行戴维南等效后列电路方程：整理得：解此方程求出uc，然后用一个电压源置换电容，使原电路成为电阻电路，就可求出任意时刻的其他电路变量。以上电路诺顿等效后电路方程：第十三页，共八十八页，2022年，8月28日初始条件的确定同理对电感电路，将N1进行戴维南等效后电路方程：

解此方程求出iL，然后用一个电流源置换电感，使原电路成为电阻电路，就可求出任意时刻的其他电路变量。含电感电路诺顿等效后电路方程：

对微分方程的求解，在确定初始条件时应运用电容电压和电感电流连续的性质。第十四页，共八十八页，2022年，8月28日初始值的确定1.确定uC(0+)和iL(0+)换路后瞬间电容电压、电感电流的初始值，用uC(0+)和iL(0+)来表示，它是利用换路前瞬间t=0-电路确定uC(0-)和iL(0-)，再由换路定律得到uC(0+)和iL(0+)的值。2.求解其他变量电路中其他变量如iR、uR、uL、iC的初始值不遵循换路定律的规律，它们的初始值需由t=0+电路来求得。具体求法：画出t=0+电路，在该电路中若uC(0+)=uC(0-)=US，电容用一个电压源US代替，若uC(0+)=0则电容用短路线代替。若iL(0+)=iL(0-)=IS，电感一个电流源IS代替，若iL(0+)=0则电感作开路处理。第十五页，共八十八页，2022年，8月28日例题例1：t=0时打开开关S，求uC(0+),iC(0+).+10ViiCuCS10k40k+C+10Vi(0+)iC(0+)8V10k+由换路定则：uC

(0+)=uC

(0)=8V解：0+等效电路：第十六页，共八十八页，2022年，8月28日例题例2：t=0时闭合开关S，求uL(0+).10VS14iLLuL+–10V14iL(0+)uL(0+)+–iL(0+)=iL(0)=2A0+等效电路：解：注意：第十七页，共八十八页，2022年，8月28日例题例3：求iC(0+),uL(0+).S(t=0)+–uLCuCLISRiL+–+–uL(0+)uC(0+)R+–iC(0+)iL(0+)0+等效电路：解：iL(0+)=iL(0)=ISuC(0+)=uC(0)=RISuL(0+)=uC(0+)=RISiC(0+)=iL(0+)uC(0+)/R=RISRIS=0第十八页，共八十八页，2022年，8月28日初始值的确定通过以上例题，可以归纳出求初始值的一般步骤如下：(1)根据t=0-时的等效电路，求出uC(0-)及iL(0-)。(2)由换路定则，得uC(0+)和iL(0+)；(3)由t=0+等效电路:电容用电压为uC(0+)的电压源替代电感用电流为iL(0+)的电流源替代(4)由0+电路求所需的u(0+)、i(0+)。第十九页，共八十八页，2022年，8月28日例题例4：如图所示电路，开关S在t=0时闭合，开关闭合前电路已处于稳定状态。试求初始值uC(0+)、iL(0+)、i1(0+)、i2(0+)、iC(0+)和uL(0+)。第二十页，共八十八页，2022年，8月28日解：(1)确定uC(0+)和iL(0+)t=0-时刻的等效电路如图(b)所示，由该图可知：（2）由换路定理得第二十一页，共八十八页，2022年，8月28日例题

因此，在t=0+瞬间，电容元件相当于一个4V的电压源，电感元件相当于一个2A的电流源。（3）在t=0+电路中，应用直流电阻电路的分析方法，可求出电路中其他电流、电压的初始值，即：第二十二页，共八十八页，2022年，8月28日例题例5：电路如图(a)所示，开关S闭合前电路无储能，开关S在t=0时闭合，试求i1、i2、i3、uC、uL的初始值。解：（1）由题意知：（2）由换路定理得

第二十三页，共八十八页，2022年，8月28日

因此，在t=0+电路中，电容应该用短路线代替，电感以开路代之。得到t=0+电路，如图(b)所示。

i3(0+)=0uL(0+)=20×i2(0+)=20×0.3=6V(3)在t=0+电路中，应用直流电阻电路的分析方法求得:第二十四页，共八十八页，2022年，8月28日3.2一阶电路分析响应暂态过程中特定支路电流或电压的变化规律,即电路的响应;激励独立电源称为电路的激励.电路的响应可以由独立电源引起,也可以由电路的初始状态引起.零输入响应：仅由电路的初始状态引起的响应;零状态响应：仅由独立电源引起的响应;全响应：由独立电源合初始状态共同引起的响应.第二十五页，共八十八页，2022年，8月28日3.2一阶电路分析一阶电路的零输入响应定义：当外加激励为零,仅有动态元件初始储能所产生的电流和电压,称为动态电路的零输入响应.一阶电路二阶电路零输入零状态全响应第二十六页，共八十八页，2022年，8月28日RC电路的零输入响应1i+-UCISR0R2C(a)uR+-+-uCCi(b)

t>0后，电路中无电源作用，电路的响应均是由电容的初始储能而产生，故属于零输入响应。

t<0时开关在位置1，电容被电流源充电，电路已处于稳态，电容电压uC(0-)=R0IS;

t=0时，开关扳向位置2，这样在t≥0时，电容将对R放电，电路中形成电流i。第二十七页，共八十八页，2022年，8月28日RC电路的零输入响应A为待定的积分常数，可由初始条件确定。p为１式对应的特征方程的根。（１）t>0时，根据KVL有：uR=i

R,

-uR+uC=0+-+-uCCi(b)uR通解形式为（２）第二十八页，共八十八页，2022年，8月28日RC电路的零输入响应通解放电电流为t≥0

t≥0

确定积分常数A初始条件:代入确定特征根p特征方程为:第二十九页，共八十八页，2022年，8月28日RC电路的零输入响应故称τ为时间常数,这样上两式可分别写为：t≥0

t≥0uC和i均按指数规律衰减；当t→∞时，uC和i衰减到零。令它具有时间的量纲，即第三十页，共八十八页，2022年，8月28日RC电路的零输入响应RC电路零输入响应电压电流波形图

画出uc及i的波形如图所示：t≥0t≥0U0tuCOI0tiCO第三十一页，共八十八页，2022年，8月28日RC电路的零输入响应从理论上讲t时,电路才能达到稳态.但实际上一般认为经过35

的时间,过渡过程结束,电路已达到新的稳态.C的能量不断释放,被R吸收,直到全部储能消耗完毕.t02345U00.368U00.135U00.05U00.02U00.007U0(实验测的方法)能量关系：RC第三十二页，共八十八页，2022年，8月28日RL电路的零输入响应

t>0后，放电回路中的电流及电压均是由电感L的初始储能产生的，所以为零输入响应。

t=0-

时开关S闭合，电路已达稳态，电感L相当于短路，流过L的电流为I0。即iL(0-)=I0，故电感储存了磁能。

t=0时开关S打开，所以在t≥0时，电感L储存的磁能将通过电阻R放电，在电路中产生电流和电压。第三十三页，共八十八页，2022年，8月28日RL电路的零输入响应换路事A为待定的积分常数，可由初始条件确定。p为１式对应的特征方程的根。t>0时，根据KVL有：通解形式为（２）（１）uL+uR=0第三十四页，共八十八页，2022年，8月28日RL电路的零输入响应通解电感电压为确定积分常数A初始条件:代入确定特征根p特征方程为:令t≥0t≥0电阻电压为t≥0第三十五页，共八十八页，2022年，8月28日RL电路的零输入响应

它们均从各自的初始值开始，按同一指数规律逐渐衰减到零。衰减的快慢取决于时间常数τ.I0tiLORI0tuLORL电路零输入响应电压电流波形图第三十六页，共八十八页，2022年，8月28日RL电路的零输入响应

对于任意时间常数为非零有限值的一阶电路，不仅电容电压、电感电流，而且所有电压、电流的零输入响应，都是从它的初始值按指数规律衰减到零。且同一电路中，所有的电压、电流的时间常数相同。若用f(t)表示零输入响应，用f(0+)表示其初始值，则零输入响应可用以下通式表示为t≥0分析可知:注意事项:RC电路的时间常数:RL电路的时间常数:第三十七页，共八十八页，2022年，8月28日例题例1：如图电路，在t=0时开关打开，在打开前一瞬间，电容电压为6V。试求t≥0时，3Ω电阻中的电流。解：uC

(0+)=uC(0)=6V=U0第三十八页，共八十八页，2022年，8月28日例题例2：iL

(0+)=iL(0)=35/0.2=175A=I0uV(0+)=875kV!现象：电压表烧坏!L=0.4HVRV5k35VS(t=0)iLuV+–R=0.2实际电压表的内阻值约为10M欧解：第三十九页，共八十八页，2022年，8月28日例题L=0.4H35VS(t=0)iLR=0.2预防措施：D第四十页，共八十八页，2022年，8月28日例题例3：如图所示电路，t=0-时电路已处于稳态，t=0时开关S打开。求t≥0时的电压uC、uR和电流iC。

作出t=0+等效电路如图(b)所示解:

由于在t=0-时电路已处于稳态，在直流电源作用下，电容相当于开路,所以:第四十一页，共八十八页，2022年，8月28日例题电容用4V电压源代替，由图(b)可知换路后从电容两端看进去的等效电阻如图(C)所示，时间常数为由换路定律，得第四十二页，共八十八页，2022年，8月28日例题At≥0Vt≥0也可以由Vt≥0计算零输入响应，得

求出t≥0第四十三页，共八十八页，2022年，8月28日小结：1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应都是一个指数衰减函数。2.衰减快慢取决于时间常数.

RC电路：

=RC,RL电路：

=L/R式中R为电容C（或电感L）移去后其两端等效电阻。3.一阶电路的零输入响应和初值成正比。第四十四页，共八十八页，2022年，8月28日一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应定义：电路的初始储能为零，仅由激励引起的响应叫零状态响应。t→∞时，电路达到稳态，这时电容相当于开路，充电电流ic(∞)=0，uR(∞)=0，uc=(∞)=Us。RC电路的零状态响应

t>0时,电容开始充电,uC将逐渐升高,uR则逐渐降低，iR（等于ic）逐渐减小。t=0

时刻:第四十五页，共八十八页，2022年，8月28日RC电路的零状态响应t>0时，根据KVL有：uR=i

R,

uR+uc=US其解由两部分组成：齐次解uCh

，非齐次特解uCP

；即uc=uch+ucp

齐次方程的通解(自由分量,暂态解)非齐次方程的特解ucp(强制分量,稳态解)（1）方程（1）式的解（完全解）为第四十六页，共八十八页，2022年，8月28日初始条件:代入由于稳态值uc(∞)=US，故上式可写成t≥0

t=4~5τ时:

uc上升到其稳态值US的98.17%~99.3%

一般认为充电过程即告结束。t=0时:

uc(0)=0;t=τ时:

uc(τ)=US（1-e–1）=63.2%US;第四十七页，共八十八页，2022年，8月28日电路中其他响应分别为：t≥0

t≥0t≥0uc、ic、iR、uR的波形变化过程如下:RC电路零状态响应uc、ic、iR及uR波形图第四十八页，共八十八页，2022年，8月28日RL电路的零状态响应t→∞时，电路达到稳态，这时电感相当于短路。

t＜0时，电感L中的电流为零;t=0

时刻:第四十九页，共八十八页，2022年，8月28日RL电路的零状态响应t>0时，根据KVL有：其解由两部分组成：齐次解iLh

；非齐次特解iLP，即iL=iLh+iLpuL+uR=US

（1）齐次方程的通解(自由分量,暂态解)非齐次方程的特解iLP(强制分量,稳态解)方程（1）式的解（完全解）为第五十页，共八十八页，2022年，8月28日RL电路的零状态响应初始条件:代入t≥0由于稳态值故上式可写成第五十一页，共八十八页，2022年，8月28日RL电路的零状态响应电路中其他响应分别为：t≥0

t≥0t≥0一阶RL电路的零状态响应波形图uL、iL、iR、uR的波形变化过程如下:第五十二页，共八十八页，2022年，8月28日RL电路的零状态响应

其物理过程是，S闭合后，iL(即iR)从初始值零逐渐上升(线圈的自感)，uL从初始值uL(0+)=US逐渐下降，而uR从uR(0+)=0逐渐上升;

当t=∞，电路达到稳态，这时L相当于短路，iL(∞)=US／R，uL(∞)=0，uR(∞)=US。从波形图上可以直观地看出各响应的变化规律。第五十三页，共八十八页，2022年，8月28日一阶电路的全响应一阶电路的全响应定义：由电路的初始状态和外加激励共同作用而产生的响应，叫全响应。例:如图所示，设uC=uC(0-)=U0，S在t=0时闭合，求解电路中的全响应?t≥0时，电路的微分方程为:（1）第五十四页，共八十八页，2022年，8月28日（1）与描述零状态电路的微分方程类似，设解为（2）通解为:代入初始条件得:分析：

说明:

零输入响应和零状态响应都是全响应的一种特殊情况。US=0时，即为RC零输入电路的微分方程。U0=0时，即为RC零状态电路的微分方程。第五十五页，共八十八页，2022年，8月28日稳态响应或强制分量:

（2）式中第二项是非齐次方程的特解，其解的形式一般与输入信号形式相同;

解的分解：1全响应分解为暂态响应和稳态响应之和；暂态响应或称自由分量（固有分量）:

（2）式中第一项为齐次微分方程的通解，是按指数规律衰减的;全响应=暂态响应+稳态响应（2）第五十六页，共八十八页，2022年，8月28日全响应=零输入响应+零状态响应（3）零状态响应,由外加的输入信号激励2全响应分解为零输入响应和零状态响应之和:零输入响应,由储能元件的初始储能激励电路的响应是两种激励各自所产生响应线性叠加：第五十七页，共八十八页，2022年，8月28日求解一阶电路的三要素法全响应=稳态响应+暂态响应全响应为:初始条件:代入得：第五十八页，共八十八页，2022年，8月28日

式中f(0+)、f(∞)和三要素公式适用于求一阶电路的任一种响应，具有普遍适用性。三要素法

上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电压、电流响应的三要素公式。式中f(0+)、f(∞)和称为三要素.第五十九页，共八十八页，2022年，8月28日

作t=0+

电路:利用换路后一瞬间的电路确定变量的初始值三要素法应用步骤：1确定初始值f(0+)

f(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+

时的数值.

若uC(0+)=uC(0-)=U0，iL(0+)=iL(0-)=I0:则电路中C用电压源U0代替，L用电流源I0代替;

若uC(0+)=uC(0-)=0或iL(0+)=iL(0-)=0:则C用短路线代替，L视为开路。可用图说明;先作t=0-

电路:确定换路前电路的状态uC(0-)或iL(0-)

此为t＜0阶段的稳态，电路中电容C视为开路，电感L用短路线代替。第六十页，共八十八页，2022年，8月28日

作t=0+电路后，即可按一般电阻性电路来求解各变量的u(0+)、i(0+)第六十一页，共八十八页，2022年，8月28日2确定稳态值f(∞)作t=∞电路。暂态过程结束后，电路进入了新的稳态，用此时的电路确定各变量稳态值u(∞)、i(∞)。在此电路中，电容C视为开路，电感L用短路线代替，可按一般电阻性电路来求各变量的稳态值。3求时间常数τRC电路中，τ=RC；RL电路中，τ=L/R；其中，R是将电路中所有独立源置零后，从C或L两端看进去的等效电阻，(即戴维南等效源中的R0)。第六十二页，共八十八页，2022年，8月28日例：如图(a)所示电路中，t=0时将S合上.求t≥0时的i1、iL、uL。解:(1)先求iL(0-)。作t=0-电路，见图(b)，电感用短路线代替，则:第六十三页，共八十八页，2022年，8月28日(2)求f(0+)。作t=0+电路，见图(C),据KVL，图(C)左边回路中有：图(C)右边回路中有得：3i1(0+)+6[i1(0+)-iL(0+)]=12第六十四页，共八十八页，2022年，8月28日(3)求f(∞)。作t=∞电路如图(d)，电感用短路线代替，则uL(∞)=0(4)求τ。从动态元件L两端看进去的戴维南等效电阻为第六十五页，共八十八页，2022年，8月28日（5）代入三要素公式t≥0t≥0t≥0第六十六页，共八十八页，2022年，8月28日(6)i1(t)、iL(t)及uL(t)的波形图如下:第六十七页，共八十八页，2022年，8月28日3.3单位阶跃响应单位阶跃函数用ε(t)表示，定义如下：ε(t)=

0t≤0-1t≥0+ε(t)的波形如图(a)所示，它在（0-，0+）时域内发生了单位阶跃。单位阶跃函数阶跃函数第六十八页，共八十八页，2022年，8月28日3.3单位阶跃响应等效电路:单位阶跃函数可以用来描述图(b)所示的开关动作，它表示在t=0时把电路接入1V直流源时u(t)的值，即：

u(t)=ε(t)Vε(t-t0)=0t≤t0-

1t≥t0+

如果在t=t0时发生跳变，这相当于单位直流源接入电路的时间推迟到t=t0，其波形如图所示，它是延迟的单位阶跃函数，可表示为:函数描述阶跃延迟第六十九页，共八十八页，2022年，8月28日3.3单位阶跃响应阶跃响应当激励为单位阶跃函数ε(t)时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。单位阶跃响应:

只要令US=ε(t)就能得到，例如电容电压为:单位阶跃延迟时间t0,则阶跃响应为:第七十页，共八十八页，2022年，8月28日3.3单位阶跃响应若激励uS=Kε(t)（K为任意常数），则根据线性电路的性质，电路中的零状态响应均应扩大K倍，对于电容有:第七十一页，共八十八页，2022年，8月28日例题例：求图(a)电路的阶跃响应uC。ε(t)解:

先将电路ab左端的部分用戴维南定理化简，得图(b)所示电路。由图(a)可得第七十二页，共八十八页，2022年，8月28日例题∵3u1+u1=0∴u1=0则

于是将ab端短路，设短路电流为ISC（从a流向b）式中第七十三页，共八十八页，2022年，8月28日3.4二阶电路简介uC(0+)=U0i(0+)=0已知求

uC(t),i(t),uL(t).RLC+-iucuL+-(t=0)解：2α，衰减系数谐振角频率二阶电路的零输入响应第七十四页，共八十八页，2022年，8月28日二阶电路的零输入响应根的性质不同，响应的变化规律也不同第七十五页，共八十八页，2022年，8月28日二阶电路的零输入响应RLC+-iucuL+-(t=0)第七十六页，共八十八页，2022年，8月28日二阶电路的零输入响应U0tuc设|P2|>|P1||P1|小|P2|大第七十七页，共