北京市东城区20152016学年高二上学期期末考试数学文试卷含答案

北京市东城区2015-2016学年上学期高二年级期末考试数学试卷（文科）本试卷共100分，考试时长120分钟。一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1.圆x2y22x4y10的半径为（）A.1B.2C.2D.42.直线3x3y10的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°3.过点（1，0）且与直线x2y20平行的直线方程为（）A.x2y10B.x2y10C.2xy20D.x2y104.双曲线2x2y28的实轴长为（）A.2B.22C.4D.425.已知m,n表示两条不一样直线，表示平面，以下说法正确的选项是（）A.若m⊥,n，则m⊥nB.若m⊥，m⊥n，则n∥C.若m∥,m⊥n，则n⊥D.若m∥,n∥，则m∥nxy0,6.若x,y知足xy1，则zx2y的最大值为（）x0,A.0B.13D.2C.27.已知抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为（）A.4B.6C.8D.128.一个四棱锥的底面为长方形，其三视图以下图，则这个四棱锥的体积是（）A.1B.2C.3D.49.过点P(3,1)的直线l与圆x2y21有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A.(0,3]B.(0,3]C.[0,3]D.[0,3]33甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系以下图。现有以下四种说法：①前三年该产品产量增加速度愈来愈快；②前三年该产品产量增加速度愈来愈慢；③第三年后该产品停止生产；④第三年后该产品年产量保持不变。此中说法正确的选项是（）①③B.①④A.

C.②③

D.②④二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）11.抛物线y24x的准线方程为____________。12.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于__________。13.x2y21的两条渐近线的方程为_________。双曲线91614.f(x)是f(x)1x32x1的导函数，则f(1)＝__________。315.x2y21(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2，右极点为A，上极点设椭圆C:2b2a为B，已知|AB|3|F1F2|，则C的离心率为________。216.以下图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，BDACO，M是线段D1O上的动点，过点M作平面ACD1的垂线交平面A1B1C1D1于点N，则点N到点A距离的最小值为__________。三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知三角形的三个极点A(4,6),B(3,0),C(1,4)，求BC边上中线和高线所在的直线方程。18.（本小题满分10分）已知圆C经过A(1,3),B(1,1)两点，且圆心在直线yx上。（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线l经过点(2,2)，且l与圆C订交所得弦长为23，求直线l的方程。19.（本小题满分10分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是AB的中点。（Ⅰ）求证：CD∥平面PAB；（Ⅱ）求证：PE⊥AD；（Ⅲ）若CA＝CB，求证：平面PEC⊥平面PAB。20.（本小题满分11分）已知函数f(x)2x3(63a)x212ax2,aR。（Ⅰ）若a1，求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（Ⅱ）求f(x)在[2,2]上的最小值。21.（本小题满分11分）已知椭圆x2y21(ab0)的长轴长为22，离心率e2，过右焦点F的直a2b22线l交椭圆于P，Q两点。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；（Ⅲ）若以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，求知足该条件的直线l的方程。【试题答案】一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）1.C2.A3.A4.C5.A6.D7.B8.B9.D10.D二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）11.x112.213.y3x414.32615.16.22三、解答题（共5小题，共52分）17.（本小题满分10分）解：设BC边中点为M(x0,y0)，由于B(3,0),C(1,4)，因此x03(1)22，0(4)2。y02因此M(2,2)。2分又A（4，6），kAM44分。3因此BC边上中线所在的直线方程为4x3y20。6分设BC边上的高线为AH，由于AH⊥BC，118分因此kAH。kBC2因此BC边上高线所在的直线方程为x2y80。10分18.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为(a,a)。依题意，有(a1)2(a3)2(a1)2(a1)2，即a26a9a22a1，解得a1。2分因此r2(11)2(31)24，4分因此圆C的方程为(x1)2(y1)24。5分（Ⅱ）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，因此直线x2切合题意。6分设直线l的方程为y2k(x2)，即kxy2k20，则|k3|1，解得k4。k213因此直线l的方程为y24(x2)，即4x3y20。9分3综上，直线l的方程为x20或4x3y20。10分19.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由于底面ABCD是菱形，因此CD∥AB。1分又由于CD平面PAB，2分且AB平面PAB，因此CD∥平面PAB。3分（Ⅱ）由于PA＝PB，点E是棱AB的中点，因此PE⊥AB，4分由于平面PAB⊥平面ABCD，PE平面PAB，因此PE⊥平面ABCD，6分由于AD平面ABCD，因此PE⊥AD。7分（Ⅲ）由于CA＝CB，点E是AB的中点，因此CE⊥AB。8分由（Ⅱ）可得PE⊥AB，又由于CEPEE，因此AB⊥平面PEC，9分又由于AB平面PAB，因此平面PAB⊥平面PEC。10分20.（本小题满分11分）解：f()6[x2(2a)x2a]6(x2)()。2分xxa（Ⅰ）当a1时，f(0)12,f(0)2，因此切线方程为y212x，即12xy20。4分（Ⅱ）令f(x)0，解得：x12,x2a。①a2，则当x(2,2)时，f(x)0,f(x)在(2,2)上单一递减，因此，当x2时，f(x)获得最小值，最小值为f(2)4236a。②2a2，则当x(2,2)时，当x变化时，f(x),f(x)的变化状况以下表：x－2(2,a)a(a,2)f(x)－0＋f(x)1012a↘极小值↗因此，当xa时，f(x)获得最小值，最小值为f(a)a3622。8分a③a2，则当x(2,2)时，f(x)0,f(x)在(2,2)上单一递加，因此，当x2时，f(x)获得最小值，最小值为f(2)1012a。10分综上，当a2时，f(x)的最小值为1012a；当2a2时，f(x)的最小值为a36a22；当a2时，f(x)的最小值为4236a。11分21.（本小题满分11分）

分24236a解：（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为x2y2b0)。1分a21(ab2由于长轴长为22，离心率e2，2因此bc1,a2，所求椭圆方程为x2y21。3分2（Ⅱ）由于直线l过椭圆右焦点F(1,0)，且斜率为1，因此直线l的方程为yx1。4分设P(x1,y1),Q(x2,y2)，由x22y22,得3y22y10，解得y11,y21，yx1,3因此SPOQ1|OF||y1y2|1|y1y2|2。6分223（Ⅲ）当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x1，此时∠POQ小于90°，OP，OQ为邻边的平行四边形不行能是矩形。7分当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x1)。x22y22,(12k2)x24k2x2k220。由k(x1),可得y由于16k44(12k2)(2k22)8(k