2021-2022学年广东省东莞市虎门成才实验学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省东莞市虎门成才实验学校八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）1．下列式子中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．2．计算的结果为（）A． B． C．2 D．4a3．下列计算错误的是（）A．3+2＝5 B．÷2＝ C．×＝ D．＝4．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．，， C．1，，2 D．，，85．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠1 B．x≥0 C．x＞0 D．x≥0且x≠16．如图，在△ABC中，AB＝6，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为（）A． B．3 C． D．7．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12 D．168．如图所示，E是▱ABCD内任一点，若S四边形ABCD＝6，则图中阴影部分的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．59．▱ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是（）A．3≤AB≤4 B．2＜AB＜14 C．1＜AB＜7 D．1≤AB≤710．如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小 C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定二、填空题（每题4分，共28分）11．计算＝．12．最简二次根式与是同类二次根式，则a＝，b＝．13．若的整数部分是a，小数部分是b，则a﹣b＝．14．如图，∠C＝∠ABD＝90°，AC＝4，BC＝3，BD＝12，则AD的长等于．15．如图，在矩形ABCD的边DC，BC上分别取一点E，F，使AE平分∠DAF，若∠BAF＝60°，则∠DAE＝．16．已知．17．已知0＜a＜1，化简＝．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）18．计算：（1）÷（﹣）﹣×+；（2）．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别是E、F，DE＝BF，求证：四边形ABCD是平行四边形．20．如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC＝90°，CD＝6m，AD＝8m，BC＝24m，AB＝26m，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．已知a＝2+，b＝2﹣，求下列各式的值（1）a2﹣b2（2）ab2+a2b．22．如图，等边△ABC的边长是4，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC连接CD和EF．（1）求证：DC＝EF；（2）求EF的长．23．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC；（1）已知∠A＝∠B，求证：AD＝BC；（2）已知AD＝BC，求证：∠A＝∠B．五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长．25．阅读下列材料，再解决问题：阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．例如：＝＝＝＝1+．解决问题：（1）在括号内填上适当的数：＝＝＝＝⑤，①：，②：，③，④：，⑤：；（2）根据上述思路，试将予以化简．

参考答案一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）1．下列式子中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．解：A选项，原式＝3，故该选项不符合题意；B选项，原式＝2，故该选项不符合题意；C选项，原式＝＝，故该选项不符合题意；D选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．2．计算的结果为（）A． B． C．2 D．4a解：＝＝2．故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确化简二次根式是解题关键．3．下列计算错误的是（）A．3+2＝5 B．÷2＝ C．×＝ D．＝解：A、3+2不能再进一步运算，此选项错误；B、÷2＝，此选项计算正确；C、×＝，此选项计算正确；D、﹣＝2﹣＝．此选项计算正确．故选：A．【点评】此题考查二次根式的混合运算，掌握运算方法与化简的方法是解决问题的关键．4．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．，， C．1，，2 D．，，8解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、（）2+（）2≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不能组构成直角三角形，故不符合题意；C、12+（）2＝22，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故符合题意；D、（）2+（）2≠82，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选：C．【点评】此题考查的是勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足：a2+b2＝c2时，则三角形ABC是直角三角形．解答时，只需看两较小数的平方和是否等于最大数的平方．5．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠1 B．x≥0 C．x＞0 D．x≥0且x≠1解：根据题意得：，解得：x≥0且x≠1．故选：D．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．6．如图，在△ABC中，AB＝6，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为（）A． B．3 C． D．解：在△ABC中，AB＝6，∠C＝90°，∠A＝30°，则BC＝AB＝3，∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝，故选：A．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、含30°角的直角三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．7．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12 D．16解：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠B′EF＝∠EFB＝60°，由折叠的性质得∠A＝∠A′＝90°，A′E＝AE＝2，AB＝A′B′，∠A′EF＝∠AEF＝180°﹣60°＝120°，∴∠A′EB′＝∠A′EF﹣∠B′EF＝120°﹣60°＝60°．在Rt△A′EB′中，∵∠A′B′E＝90°﹣60°＝30°，∴B′E＝2A′E，而A′E＝2，∴B′E＝4，∴A′B′＝2，即AB＝2，∵AE＝2，DE＝6，∴AD＝AE+DE＝2+6＝8，∴矩形ABCD的面积＝AB•AD＝2×8＝16．故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等的性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形并熟记性质是解题的关键．8．如图所示，E是▱ABCD内任一点，若S四边形ABCD＝6，则图中阴影部分的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．5解：设两个阴影部分三角形的底为AB，CD，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高，∴S△EAB+S△ECD＝AB•h1+CD•h2＝AB（h1+h2）＝S四边形ABCD＝×6＝3．故选B．【点评】主要考查了三角形的面积公式和平行四边形的性质（平行四边形的两组对边分别相等）．要求能灵活的运用等量代换找到需要的关系．9．▱ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是（）A．3≤AB≤4 B．2＜AB＜14 C．1＜AB＜7 D．1≤AB≤7解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝AC，BO＝BD，∵AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，BO＝3，∴4﹣3＜AB＜4+3，解得1＜AB＜7．故选：C．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系以及平行四边形的性质，关键是掌握“平行四边形的对角线互相平分”的性质．10．如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小 C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定解：连接AR．因为E、F分别是AP、RP的中点，则EF为△APR的中位线，所以EF＝AR，为定值．所以线段EF的长不改变．故选：C．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AR不变，则对应的中位线的长度就不变．二、填空题（每题4分，共28分）11．计算＝2．【解答】接：原式＝2﹣+＝2．故答案为2．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．12．最简二次根式与是同类二次根式，则a＝3，b＝2．解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴2b+1＝7﹣b，a﹣1＝2，解得：b＝2，a＝3，故答案为：3，2．【点评】本题考查了同类二次根式，解决本题的关键是明确同类二次根式的定义．13．若的整数部分是a，小数部分是b，则a﹣b＝1．解：因为，所以a＝1，b＝．故＝＝＝1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力之一，本题要求我们能够正确估算出一个无理数的大小．14．如图，∠C＝∠ABD＝90°，AC＝4，BC＝3，BD＝12，则AD的长等于13．解：在直角三角形ABC中，AC＝4，BC＝3，根据勾股定理，得AB＝5．在直角三角形ABD中，BD＝12，根据勾股定理，得AD＝13．【点评】熟练运用勾股定理进行计算．15．如图，在矩形ABCD的边DC，BC上分别取一点E，F，使AE平分∠DAF，若∠BAF＝60°，则∠DAE＝15°．解：在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，∵∠BAF＝60°，∴∠DAF＝90°﹣∠BAF＝30°，∵AE平分∠DAF，∴∠DAE＝∠DAF＝15°，故答案为：15°．【点评】此题考查矩形的性质，运用了矩形的四个角都是直角以及角平分线的概念即可解决．16．已知2．解：根据题意得，，解得x＝6，∴y＝3，∴．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．17．已知0＜a＜1，化简＝．解：∵0＜a＜1，∴＜，∴原式＝﹣＝﹣＝﹣（）＝2．【点评】注意当x＜0时，＝﹣x．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）18．计算：（1）÷（﹣）﹣×+；（2）．解：（1）÷（﹣）﹣×+＝﹣﹣+2＝﹣4﹣+2＝﹣4+；（2）＝3+2﹣2+2＝5．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别是E、F，DE＝BF，求证：四边形ABCD是平行四边形．【解答】证明：∵DE＝CF，∴DE+EF＝BF+EF，DF＝BE，∵AB∥CD，∴∠CDF＝∠ABE，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△CDF和△ABE中，，∴△CDF≌△ABE（ASA），∴CD＝AB，又∵AB∥CD四边形ABCD是平行四边形．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．20．如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC＝90°，CD＝6m，AD＝8m，BC＝24m，AB＝26m，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？解：连接AC，在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝62+82＝102，在△ABC中，AB2＝262，BC2＝242，而102+242＝262，即AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD＝•AC•BC﹣AD•CD，＝×10×24﹣×8×6＝96．所以需费用96×200＝19200（元）．【点评】本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．已知a＝2+，b＝2﹣，求下列各式的值（1）a2﹣b2（2）ab2+a2b．解：a+b＝2++2﹣＝4，a﹣b＝2，ab＝1（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝8；（2）ab2+a2b＝ab（a+b）＝4．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．22．如图，等边△ABC的边长是4，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC连接CD和EF．（1）求证：DC＝EF；（2）求EF的长．【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∵CF＝BC，∴DE＝CF，∵DE∥CF，∴四边形DCFE为平行四边形，∴DC＝EF；（2）解：∵△ABC为等边三角形，D为AB的中点，∴∠BCD＝∠BCA＝30°，CD⊥AB，∴BD＝BC＝2，∴CD＝＝＝2，∴EF＝CD＝2．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等边三角形的性质，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．23．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC；（1）已知∠A＝∠B，求证：AD＝BC；（2）已知AD＝BC，求证：∠A＝∠B．【解答】证明：（1）过C作CE∥AD，∵AB∥DC，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AD＝CE，∵AD∥CE，∴∠A＝∠CEB，∵∠A＝∠B，∴∠CEB＝∠B，∴CE＝CB，∴AD＝CB；（2）过C作CE∥AD，∵AB∥DC，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AD＝CE，∵AD＝BC，∴CE＝CB，∴∠B＝∠CEB，∵AD∥CE，∴∠A＝∠CEB，∴∠B＝∠A．【点评】此题主要考查了梯形，关键是正确做出平行线，