2022-2023学年湖北省孝感市孝昌县邹岗中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2022-2023学年湖北省孝感市孝昌县邹岗中学九年级第一学期月考数学试卷（10月份）一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列四种标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．下列方程中属于一元二次方程的是（）A．2x﹣1＝3x B．x2＝4 C．x2+3y+1＝0 D．x3+1＝x3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°．将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得△A′B′C，且点B在A′B′上，CA′交AB于点D，则∠BCB′的度数为（）A．70° B．50° C．60° D．40°4．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，m2+1）关于原点的对称点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（）A．30° B．45° C．90° D．135°6．用配方法解方程x2﹣2x﹣8＝0时，配方后得到的方程为（）A．（x+1）2＝7 B．（x﹣1）2＝7 C．（x+1）2＝9 D．（x﹣1）2＝97．正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE＝x．则y关于x的函数图象大致是（）A． B． C． D．8．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）中x与y的部分对应值如下表：x﹣2﹣101234y50﹣3﹣4﹣305给出以下三个结论：（1）二次函数y＝ax2+bx+c最小值为﹣4；（2）若y＜0，则x的取值范围是0＜x＜2；（3）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧，则其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是．10．若关于x的方程x2+6x﹣a＝0无实数根，则a的取值范围是．11．已知x＝1是方程2x2﹣5x+k＝0的一个根，则方程的另一根是．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣1交y轴于点A，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，点P在抛物线上，连接PA、PB，若点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，则△ABP的面积是．13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是．14．我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则所列方程为．15．如图，AO与x轴正向的夹角为30°，已知点A的坐标为（，1），将线段OA绕原点O旋转150°得点A′，则此时点A′的坐标为．16．若二次函数y＝x2+mx的图象的对称轴是直线x＝3，则关于x的方程x2+mx＝0的解为．三、用心做一做（本大题共8小题，满分72分）．17．解下列方程：（1）x2﹣2x﹣5＝0；（2）2x2﹣13x+15＝0．18．已知二次函数，求该抛物线与x轴的交点坐标，顶点坐标和最值．19．如图，等腰直角△AOB中，∠AOB＝90°，点D在AB上．将△AOD绕顶点O沿顺时针方向旋转90°后得到△BOE．（1）画出△BOE，并求出∠DBE的度数；（2）连DE，若OA＝4，AD：DB＝1：3时，求△DBE的面积．20．已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程4x2﹣4mx+2m﹣1＝0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？21．根据某市统计局发布的统计数据显示，某市近5年国民生产总值数据如图1所示，2017年国民生产总值中第一产业、第二产业、第三产业所占比例如图2所示．请根据图中信息，解答下列问题：（1）则2017年第一产业生产总值为亿元；2017年比2016年的国民生产总值增加的百分率是（精确到1%）（2）若要使2019年的国民生产总值达到1573亿元，求2017年至2019年该市国民生产总值年平均增长率．22．我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．23．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D．（1）如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；（2）如图2，若α＝60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形．24．在平面直角坐标系中，O为原点，直线y＝﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线y＝﹣x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．（1）过A，B，C三点的抛物线的解析式为；（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q．①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②若点P的横坐标为t（﹣1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大，并说明理由．

参考答案一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列四种标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．2．下列方程中属于一元二次方程的是（）A．2x﹣1＝3x B．x2＝4 C．x2+3y+1＝0 D．x3+1＝x【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．解：A、2x﹣1＝3x是一元一次方程，不符合题意；B、x2＝4是一元二次方程，符合题意；C、x2+3y+1＝0是二元二次方程，不符合题意；D、x3+1＝x是一元三次方程，不符合题意，故选：B．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握方程的定义是解本题的关键．3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°．将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得△A′B′C，且点B在A′B′上，CA′交AB于点D，则∠BCB′的度数为（）A．70° B．50° C．60° D．40°【分析】由等腰三角形的性质可得BC＝B'C，∠ABC＝∠B'＝70°，由等腰三角形的性质可求解．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝20°．∴∠ABC＝70°，∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得△A′B′C，∴BC＝B'C，∠ABC＝∠B'＝70°，∴∠B'＝∠CBB'＝70°，∴∠BCB'＝40°，故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．4．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，m2+1）关于原点的对称点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】依据m2+1＞0，即可得出点P（﹣3，m2+1）在第二象限，再根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出结论．解：∵m2+1＞0，∴点P（﹣3，m2+1）在第二象限，∴点P（﹣3，m2+1）关于原点的对称点在第四象限，故选：D．【点评】本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特征，关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数．5．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（）A．30° B．45° C．90° D．135°【分析】△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，由图可知，∠AOC为旋转角，可利用△AOC的三边关系解答．解：如图，设小方格的边长为1，得，OC＝＝，AO＝＝，AC＝4，∵OC2+AO2＝+＝16，AC2＝42＝16，∴△AOC是直角三角形，∴∠AOC＝90°．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，旋转前后对应角相等，本题也可通过两角互余的性质解答．6．用配方法解方程x2﹣2x﹣8＝0时，配方后得到的方程为（）A．（x+1）2＝7 B．（x﹣1）2＝7 C．（x+1）2＝9 D．（x﹣1）2＝9【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤求解可得．解：∵x2﹣2x﹣8＝0，∴x2﹣2x＝8，则x2﹣2x+1＝8+1，即（x﹣1）2＝9，故选：D．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．7．正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE＝x．则y关于x的函数图象大致是（）A． B． C． D．【分析】由已知得BE＝CF＝DG＝AH＝1﹣x，根据y＝S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BEF﹣S△CFG﹣S△DGH，求函数关系式，判断函数图象．解：依题意，得y＝S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BEF﹣S△CFG﹣S△DGH＝1﹣4×（1﹣x）x＝2x2﹣2x+1，即y＝2x2﹣2x+1（0≤x≤1），抛物线开口向上，对称轴为x＝，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意，列出函数关系式，判断图形的自变量取值范围，开口方向及对称轴．8．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）中x与y的部分对应值如下表：x﹣2﹣101234y50﹣3﹣4﹣305给出以下三个结论：（1）二次函数y＝ax2+bx+c最小值为﹣4；（2）若y＜0，则x的取值范围是0＜x＜2；（3）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧，则其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据表格中的x与y的对应值，确定出二次函数顶点坐标，以及与x轴的交点，即可作出判断．解：由表格得：二次函数顶点坐标为（1，﹣4），开口向上，与x轴交点坐标为（﹣1，0）与（3，0），则（1）二次函数y＝ax2+bx+c最小值为﹣4，正确；（2）若y＜0，则x的取值范围是﹣1＜x＜3，错误；（3）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧，正确，故选：C．【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解本题的关键．二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是y＝（x﹣4）2﹣2．【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加，求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．解：∵抛物线y＝（x﹣3）2﹣4的顶点坐标为（3，﹣4），∴向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后的顶点坐标是（4，﹣2），∴所得抛物线解析式是y＝（x﹣4）2﹣2，故答案为：y＝（x﹣4）2﹣2．【点评】主要考查的是函数图象的平移，由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．10．若关于x的方程x2+6x﹣a＝0无实数根，则a的取值范围是a≤9．【分析】根据方程x2+6x+a＝0有实数根得到根的判别式Δ≥0，列出a的不等式，求出a的取值范围．解：∵关于x的方程x2+6x+a＝0有实数根，∴Δ＝36﹣4a≥0，∴a≤9．故答案为：a≤9．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．11．已知x＝1是方程2x2﹣5x+k＝0的一个根，则方程的另一根是．【分析】设方程另一个根为x2，根据根与系数的关系得1+x2＝，然后解方程即可．解：设方程另一个根为x2，根据题意得1+x2＝，解得x2＝．故答案为：．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣1交y轴于点A，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，点P在抛物线上，连接PA、PB，若点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，则△ABP的面积是2．【分析】求得C的坐标，进而求得B的坐标，根据点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上得出三角形的高，然后根据三角形面积公式即可求得．解：令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣1＝﹣1，∴A（0，﹣1），把y＝﹣1代入y＝x2﹣2x﹣1得﹣1＝x2﹣2x﹣1，解得x1＝0，x2＝2，∴B（2，﹣1），∴AB＝2，∵点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，∴△PAB边AB上的高为2，∴S＝×2×2＝2．故答案为2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求得A、B的坐标以及三角形的高是解题的关键．13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是+1．【分析】如图，连接AM，由题意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，得到△ACM为等边三角形根据AB＝BC，CM＝AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO＝AC＝1，OM＝CM•sin60°＝，最终得到答案BM＝BO+OM＝1+．解：如图，连接AM，由题意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，∴△ACM为等边三角形，∴AM＝CM，∠MAC＝∠MCA＝∠AMC＝60°；∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴AC＝2＝CM＝2，∵AB＝BC，CM＝AM，∴BM垂直平分AC，∴BO＝AC＝1，OM＝CM•sin60°＝，∴BM＝BO+OM＝1+，故答案为：1+．【点评】本题考查了图形的变换﹣旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．14．我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则所列方程为x（x+12）＝864．【分析】利用长乘以宽＝864，进而得出答案．解：设阔（宽）为x步，则所列方程为：x（x+12）＝864．故答案为：x（x+12）＝864．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出矩形的长是解题关键．15．如图，AO与x轴正向的夹角为30°，已知点A的坐标为（，1），将线段OA绕原点O旋转150°得点A′，则此时点A′的坐标为（﹣2，0）或（﹣1，﹣）．【分析】分顺时针、逆时针两种情况进行解答，画出相应的图形，根据旋转所引起角度的变化可求出点A′在x轴的负半轴上和在第三象限，根据勾股定理可求出OA，通过角度的计算以及直角三角形的边角关系可得答案．解：如图，当线段OA绕原点O，逆时针旋转150°得点A′，∵∠AOM＝30°，∠AOA′＝150°，∴点A′在x轴的负半轴上，∵OA′＝OA＝＝2，∴点A′的坐标为（﹣2，0）；当线段OA绕原点O，顺时针旋转150°得点A″，过点A″作A″N⊥y轴，垂足为N，由题意可知，OA″＝OA＝2，∠A″ON＝30°，∴A″N＝OA″＝1，ON＝OA″＝，又∵点A″在第三象限，∴点A″的坐标为（﹣1，﹣），所以点A′的坐标为（﹣2，0）或（﹣1，﹣），故答案为：（﹣2，0）或（﹣1，﹣）．【点评】本题考查解直角三角形的应用、旋转，理解旋转引起角度的变化以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．16．若二次函数y＝x2+mx的图象的对称轴是直线x＝3，则关于x的方程x2+mx＝0的解为x1＝0，x2＝6．【分析】根据题意可以求得m的值，从而可以求得关于x的方程x2+mx＝0的解．解：∵二次函数y＝x2+mx的图象的对称轴是直线x＝3，∴﹣＝3，解得，m＝﹣6，∴y＝x2﹣6x，∴x2﹣6x＝0，解得x1＝0，x2＝6，故答案为：x1＝0，x2＝6．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答此类问题的关键是明确题意，求出b的值，明确二次函数与一元二次方程之间的关系．三、用心做一做（本大题共8小题，满分72分）．17．解下列方程：（1）x2﹣2x﹣5＝0；（2）2x2﹣13x+15＝0．【分析】（1）根据配方法即可求出答案．（2）根据因式分解法即可求出答案．解：（1）x2﹣2x﹣5＝0，x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝5+1，即（x﹣1）2＝6，∴x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣；（2）2x2﹣13x+15＝0，（2x﹣3）（x﹣5）＝0，∴2x﹣3＝0或x﹣5＝0，∴x1＝，x2＝5．【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．18．已知二次函数，求该抛物线与x轴的交点坐标，顶点坐标和最值．【分析】求出y＝0时x的值即可得抛物线与坐标轴的交点，将函数解析式配方成顶点式可得顶点坐和最值标．解：当y＝0时，x2﹣2x﹣＝0，解得：x＝﹣1或x＝5，即抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；∵y＝x2﹣2x﹣＝（x2﹣4x）﹣＝（x﹣2）2﹣，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣），因为二次项系数大于0，所以函数有最小值为﹣．【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质及抛物线与坐标轴交点坐标的求法．19．如图，等腰直角△AOB中，∠AOB＝90°，点D在AB上．将△AOD绕顶点O沿顺时针方向旋转90°后得到△BOE．（1）画出△BOE，并求出∠DBE的度数；（2）连DE，若OA＝4，AD：DB＝1：3时，求△DBE的面积．【分析】（1）根据旋转的性质结合网格即可画出图形，再根据等腰直角三角形的性质以及旋转的性质即可出∠DBE的度数；（2）根据旋转的性质得出BE＝AD，由等腰直角三角形的性质得出AB的长，再根据AD：DB＝1：3得出BE的长，即可求解．解：如图所示，△BOE即为所求，∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∵将△AOD绕顶点O沿顺时针方向旋转90°后得到△BOE．∴∠OBE＝∠OAD＝45°，∴∠DBE＝∠ABO+∠OBE＝90°；（2）∵将△AOD绕顶点O沿顺时针方向旋转90°后得到△BOE．∴AD＝BE，∵AD：DB＝1：3，∴BE＝AD＝，∵△AOB是等腰直角三角形，OA＝4，∴AB＝OA＝4，∴BE＝，由（1）知，∠DBE＝90°，∴S＝4．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．20．已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程4x2﹣4mx+2m﹣1＝0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？【分析】（1）由题意Δ＝0，求出m的值，再解方程即可解决问题；（2）先求出m的值，再求出方程的另一个根即可．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD．又∵AB、AD的长是关于x的方程4x2﹣4mx+2m﹣1＝0的两个实数根，∴Δ＝（﹣4m）2﹣4×4×（2m﹣1）＝0，∴m＝1．∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．当m＝1时，原方程为4x2﹣4x+1＝0，解得：x1＝x2＝，∴菱形ABCD的边长是．（2）把x＝2代入原方程，得：4×22﹣4×2m+2m﹣1＝0，解得：m＝．∴2AD＝2m﹣1，即2AD＝4．∴AD＝2．∴AB＝AD＝2．∴▱ABCD是菱形，∴4AB＝8．∴▱ABCD的周长为8．【点评】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．根据某市统计局发布的统计数据显示，某市近5年国民生产总值数据如图1所示，2017年国民生产总值中第一产业、第二产业、第三产业所占比例如图2所示．请根据图中信息，解答下列问题：（1）则2017年第一产业生产总值为91亿元；2017年比2016年的国民生产总值增加的百分率是8%（精确到1%）（2）若要使2019年的国民生产总值达到1573亿元，求2017年至2019年该市国民生产总值年平均增长率．【分析】（1）观察图中数据，根据各数量之间的关系，即可求出结论；（2）设2017年至2019年该市国民生产总值年平均增长率为x，利用2019年该市国民生产总值年＝2017年该市国民生产总值年×（1+2017年至2019年该市国民生产总值年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：（1）1300×7%＝91（亿元），×100%≈8%．故答案为：91；8%．（2）设2017年至2019年该市国民生产总值年平均增长率为x，依题意得：1300（1+x）2＝1573，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）．答：2017年至2019年该市国民生产总值年平均增长率为10%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、近似数和有效数字以及扇形统计图，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22．我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．【分析】（1）根据总利润＝每件利润×销售量，列出函数关系式，（2）由（1）的关系式，即y≥240，结合二次函数的性质即可求x的取值范围（3）由题意可知，利润不超过80%即为利润率＝（售价﹣进价）÷进价，即可求得售价的范围．再结合二次函数的性质，即可求．解：由题意（1）y＝（x﹣5）（100﹣×5）＝﹣10x2+210x﹣800故y与x的函数关系式为：y＝﹣10x2+210x﹣800（2）要使当天利润不低于240元，则y≥240，∴y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5＝240解得，x1＝8，x2＝13∵﹣10＜0，抛物线的开口向下，∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13（3）∵每件文具利润不超过80%∴，得x≤9∴文具的销售单价为6≤x≤9，由（1）得y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5∵对称轴为x＝10.5∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大∴当x＝9时，取得最大值，此时y＝﹣10（9﹣10.5）2+302.5＝280即每件文具售价为9元时，最大利润为280元【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝时取得．23．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D．（1）如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；（2）如图2，若α＝60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形．【分析】（1）利用旋转的性质得CA＝AD，∠EAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ACD，从而利用互余和计算出∠ADE的度数，则∠CDE的度数可求出；（2）证得∠FBA＝∠BAC＝30°，则DE＝BF，延长BF交AE于点G，可得∠BGE＝∠DEA，则BF∥ED，结论得证．【解答】（1）解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝60°，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，∴CA＝AD，∠EAD＝∠BAC＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣30°）＝75°，∵∠EDA＝∠ACB＝60°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠EDA＝15°；（2）证明：∵点F是边AC中点，∴BF＝AF＝AC，∵∠BAC＝