2022-2023学年陕西省西安二十六中九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省西安二十六中九年级第一学期第一次月考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题目要求的）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x（x+3）＝0 B．x2﹣4y＝0 C．2x＝5 D．ax2+bx+c＝02．若，则的值为（）A． B． C． D．3．将方程x2+6x+1＝0配方后，原方程可变形为（）A．（x+3）2＝﹣10 B．（x﹣3）2＝﹣10 C．（x﹣3）2＝8 D．（x+3）2＝84．一只不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计20个，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.3，由此可估计袋子中红球的个数约为（）A．6 B．14 C．5 D．205．如图，AD∥BE∥CF，若AB＝2，AC＝5，EF＝4，则DE的长度是（）A．6 B． C． D．6．下列说法中正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直的四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形7．如图，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（）A．＝ B．＝ C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC8．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论：①∠BAE＝30°；②CE2＝AB•CF；③CF＝CD；④△ABE∽△AEF．正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．已知线段a、b、c、d是成比例线段，且a＝2cm，b＝0.6cm，c＝4cm，那么d＝cm．10．某射手在相同条件下进行射击训练，当射击次数很大时，该射手击中靶心的频率在常数0.9附近摆动，则在这种条件下，该射手射击一次击中靶心的概率的估计值是．11．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．点E在矩形ABCD的边BC上，连接AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的点B落在边AD上的点F处，得到矩形CDFE．若矩形CDFE与原矩形ABCD相似，则AD的长为．12．若0是一元二次方程（m﹣1）x2+6x+m2﹣1＝0的一个根，则m取值为．13．如图，在面积是12的平行四边形ABCD中，对角线AC绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AD、BC于点E、F，若BF＝2CF，则图中阴影部分的面积是．三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）14．解方程：．15．解方程：3x（2x+1）＝4x+2．16．如图，DE∥BC，且EC：BD＝2：3，AD＝6，求AE的长．17．如图，在△ABD中，∠B＝∠D．请用尺规作图法，在△ABD外求作一点C，使得四边形ABCD是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）18．如图，在正方形ABCD中，点P在边AD上，且不与点A，D重合，点H在边AB上，且不与点A，B重合，连接BP、CH，BP与CH交于点E．若BP＝CH，求证：BP⊥CH．19．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2＝0．若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．20．中国空间站作为国家太空实验室，也是重要的太空科普教育基地，对激发社会大众特别是青少年弘扬科学精神、热爱航天事业具有特殊优势．“天宫课”第三课已于2022年3月23日下午开讲并直播．航天员相互配合，生动演示了微重力环境下A．太空冰雪实验、B．液桥演示实验C．水油分离实验、D．太空抛物实验．某班的班主任为加深同学们的印象，让每位同学各自从这四个实验中随机抽取一个，制作手抄报讲解实验现象背后的科学原理．（1）求该班班长随机抽取的实验是“太空抛物实验”的概率；（2）小丽和小雨也是该班同学，利用树状图或列表的方法求小丽和小雨抽到不同实验的概率．21．为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，E，C，A三点共线，求旗杆AB的高度．22．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，延长边BC到点D，延长AB到E点，满足∠ADC＝∠E．（1）求证：△ACD∽△DBE：（2）若BC＝5，AE＝14，BD＝8，求AB的长．23．用长为6米的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，其中EF∥AD∥BC，设窗框的高度为AD＝x米．（1）设窗框宽度AB为y米，则y＝米（用含x的代数式表示）；（2）当窗户的透光面积为1.5平方米时，请你计算出窗框的高和宽分别是多少米（铝合金条的宽度忽略不计）．24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC，BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若BE＝5，OE＝3，求线段DE的长．25．某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，设每件衣服降价x元．（1）现在每天卖出件，每件盈利元（用含x的代数式表示）；（2）求当x为何值时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠；（3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．26．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（20，0）和（0，15），动点P从点A出发在线段AO上以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．（1）当t＝9s时，求△PEF的面积；（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t使得△PEF的面积等于40？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（3）直线EF、点P在运动过程中，存在t值使得以点E、O、P为顶点的三角形与△BOA相似，请求出所有满足条件的t值．

参考答案一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题目要求的）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x（x+3）＝0 B．x2﹣4y＝0 C．2x＝5 D．ax2+bx+c＝0【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．解：A．x（x+3）＝0是一元二次方程，故此选项符合题意；B．x2﹣4y＝0是二元二次方程，故此选项不符合题意；C．2x＝5是一元一次方程，故此选项不符合题意；D．当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故此选项不符合题意．故选：A．2．若，则的值为（）A． B． C． D．【分析】先把化成+1，再把代入进行计算，即可得出答案．解：∵，∴＝+1＝+1＝．故选：D．3．将方程x2+6x+1＝0配方后，原方程可变形为（）A．（x+3）2＝﹣10 B．（x﹣3）2＝﹣10 C．（x﹣3）2＝8 D．（x+3）2＝8【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．解：∵x2+6x+1＝0，∴x2+6x＝﹣1，则x2+6x+9＝﹣1+9，即（x+3）2＝8，故选：D．4．一只不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计20个，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.3，由此可估计袋子中红球的个数约为（）A．6 B．14 C．5 D．20【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．解：根据题意得：20×（1﹣0.3）＝20×0.7＝14（个），答：估计袋子中红球的个数约为14个；故选：B．5．如图，AD∥BE∥CF，若AB＝2，AC＝5，EF＝4，则DE的长度是（）A．6 B． C． D．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，即＝，解得：DE＝，故选：D．6．下列说法中正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直的四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形【分析】利用矩形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．解：A、有一个直角的平行四边形是矩形，故选项A不符合题意；B、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B不符合题意；C、两条对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故选项C不符合题意；D、有三个角是直角的四边形是矩形，故选项D符合题意，故选：D．7．如图，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（）A．＝ B．＝ C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．解：A、∵∠A＝∠A，＝，∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；B、根据＝和∠A＝∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项正确；C、∵∠A＝∠A，∠ABP＝∠C，∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；D、∵∠A＝∠A，∠APB＝∠ABC，∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；故选：B．8．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论：①∠BAE＝30°；②CE2＝AB•CF；③CF＝CD；④△ABE∽△AEF．正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据题意，可以先求出tan∠BAE的值，即可判断①；根据题意求出△ABE∽△ECF即可判断②；根据②中的结论可以得到CF，然后即可得到CF和CD的关系，从而可以判断③；根据相似三角形的判定方法可以判断④．解：设正方形ABCD的边长为2a，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝a，∴tan∠BAE＝＝＝≠＝tan30°，∴∠BAE≠30°，故①错误；∵AE⊥BF，∴∠AEB+∠FEC＝90°，而∠AEB+∠EAB＝90°，∴∠EAB＝∠FEC，又∵∠B＝∠C＝90°，∴Rt△ABE∽Rt△ECF，∴，∴BE•EC＝AB•CF，∵BE＝EC，∴CE2＝AB•CF，故②正确；∴CF＝＝，∴＝，故③错误；在Rt△CEF中，，在Rt△ABE中，AE＝＝a，∵，∴，而∠ABE＝∠AEF，∴△ABE∽△AEF，故④正确；故选：B．二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．已知线段a、b、c、d是成比例线段，且a＝2cm，b＝0.6cm，c＝4cm，那么d＝1.2cm．【分析】根据成比例线段的概念直接求解．解：∵a：b＝c：d，∴ad＝bc，∴2d＝4×0.6，∴d＝1.2cm．10．某射手在相同条件下进行射击训练，当射击次数很大时，该射手击中靶心的频率在常数0.9附近摆动，则在这种条件下，该射手射击一次击中靶心的概率的估计值是0.9．【分析】大量重复试验下射中靶心的频率可以估计射中靶心的概率，据此求解．解：当射击次数很大时，该射手击中靶心的频率在常数0.9附近摆动，、所以在这种条件下，该射手射击一次击中靶心的概率的估计值是0.9，故答案为：0.9．11．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．点E在矩形ABCD的边BC上，连接AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的点B落在边AD上的点F处，得到矩形CDFE．若矩形CDFE与原矩形ABCD相似，则AD的长为1+．【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．解：∵矩形CDFE∽矩形ADCB，∴＝，即＝，整理得，AD2﹣2AD﹣4＝0，解得，AD1＝1﹣（舍去），AD2＝1+，故答案为：1+．12．若0是一元二次方程（m﹣1）x2+6x+m2﹣1＝0的一个根，则m取值为﹣1．【分析】把x＝0代入已知方程后，列出关于m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．解：根据题意得：m2﹣1＝0，解得m＝±1，当m＝1时不符合题意，应舍去，则m＝﹣1；故答案为：﹣1．13．如图，在面积是12的平行四边形ABCD中，对角线AC绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AD、BC于点E、F，若BF＝2CF，则图中阴影部分的面积是2．【分析】连接BD，根据平行四边形的性质求出△COB的面积，根据BF＝2CF求出△FOC的面积，同理得到△EOA的面积，得到答案．解：连接BD，∵点O是AC的中点，∴点O在BD上，且点O是BD的中点，∴△COB的面积＝×四边形ABCD的面积＝3，∵BF＝2CF，∴△FOC的面积＝×△COB的面积＝1，再由旋转性质同理可得，△EOA的面积＝1，∴图中阴影部分的面积＝1+1＝2，故答案为：2．三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）14．解方程：．【分析】先求出b2﹣4ac＝4，再代入公式x＝计算求出即可．解：，这里a＝2，b＝﹣2，c＝1，∴b2﹣4ac＝﹣4×2×1＝4，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝，∴原方程的解是x1＝，x2＝．15．解方程：3x（2x+1）＝4x+2．【分析】把方程整理后利用提公因式法把方程左边因式分解即可求解．解：3x（2x+1）＝4x+2，3x（2x+1）﹣（4x+2）＝0，3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，（2x+1）（3x﹣2）＝0，2x+1＝0或3x﹣2＝0，解得，．16．如图，DE∥BC，且EC：BD＝2：3，AD＝6，求AE的长．【分析】由平行线分线段成比例定理即可得出结论．解：∵DE∥BC，∴即解得：AE＝4．17．如图，在△ABD中，∠B＝∠D．请用尺规作图法，在△ABD外求作一点C，使得四边形ABCD是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，两弧相交于点C，则CB＝CD＝AD＝AB，所以四边形ABCD是菱形．解：如图，点C是所求作的点；18．如图，在正方形ABCD中，点P在边AD上，且不与点A，D重合，点H在边AB上，且不与点A，B重合，连接BP、CH，BP与CH交于点E．若BP＝CH，求证：BP⊥CH．【分析】由“HL”可证Rt△ABP≌Rt△BCH，可得∠BCH＝∠ABP，由余角的性质可得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，在Rt△ABP和Rt△BCH中，，∴Rt△ABP≌Rt△BCH（HL），∴∠BCH＝∠ABP，∵∠ABP+∠CBP＝90°＝∠BCH+∠CBP，∴∠CEB＝90°，∴BP⊥CH．19．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2＝0．若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出a的范围即可；解：∵方程有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＝22﹣4×1×（a﹣2）＝12﹣4a＞0，解得：a＜3，则a的取值范围是a＜3．20．中国空间站作为国家太空实验室，也是重要的太空科普教育基地，对激发社会大众特别是青少年弘扬科学精神、热爱航天事业具有特殊优势．“天宫课”第三课已于2022年3月23日下午开讲并直播．航天员相互配合，生动演示了微重力环境下A．太空冰雪实验、B．液桥演示实验C．水油分离实验、D．太空抛物实验．某班的班主任为加深同学们的印象，让每位同学各自从这四个实验中随机抽取一个，制作手抄报讲解实验现象背后的科学原理．（1）求该班班长随机抽取的实验是“太空抛物实验”的概率；（2）小丽和小雨也是该班同学，利用树状图或列表的方法求小丽和小雨抽到不同实验的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意画出树状图得出16种等可能的结果数，找出小丽和小雨抽到不同实验的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．解：（1）该班班长随机抽取的实验是“太空抛物实验”的概率是；（2）根据题意画图如下：共有16种等可能的情况数，其中小丽和小雨抽到不同实验的有12种，则小丽和小雨抽到不同实验的概率是＝．21．为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，E，C，A三点共线，求旗杆AB的高度．【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB＝EF＝1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出＝，把相关条件代入即可求得AH＝11.9，于是得到结论．解：过E作EH⊥AB于H，交CD于G，∵CD⊥FB，AB⊥FB，则四边形EFDG和四边形BHGD是矩形，∴CD∥AB，EF＝GD＝HB，EG＝FD，EH＝FB，∴△CGE∽△AHE，∴＝，即：＝，∴＝，∴AH＝11.9，∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．答：旗杆AB的高度为13.5m．22．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，延长边BC到点D，延长AB到E点，满足∠ADC＝∠E．（1）求证：△ACD∽△DBE：（2）若BC＝5，AE＝14，BD＝8，求AB的长．【分析】（1）根据“等边对等角”证明∠ACB＝∠ABC，再根据“等角的补角相等”证明∠ACD＝∠DBE，又因为∠ADC＝∠E，即可证明△ACD∽△DBE；（2）由BC＝5，BD＝8求得CD＝3，由相似三角形的对应边成比例及AB＝AC可列出方程＝，解方程求出符合题意的AB的值即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴180°﹣∠ACB＝180°﹣∠ABC，∴∠ACD＝∠DBE，∵∠ADC＝∠E，∴△ACD∽△DBE．（2）解：∵BC＝5，BD＝8，∴CD＝8﹣5＝3，∵AE＝14，∴BE＝14﹣AB，∵△ACD∽△DBE，且AB＝AC，∴＝，∴＝，整理得（AB﹣12）（AB﹣2）＝0，∴AB＝12或AB＝2（不符合题意，舍去），∴AB的长为12．23．用长为6米的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，其中EF∥AD∥BC，设窗框的高度为AD＝x米．（1）设窗框宽度AB为y米，则y＝米（用含x的代数式表示）；（2）当窗户的透光面积为1.5平方米时，请你计算出窗框的高和宽分别是多少米（铝合金条的宽度忽略不计）．【分析】（1）利用AB的长＝，即可用含x的代数式表示出y值；（2）根据窗户的透光面积为1.5平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出窗框的高，再将其代入（1）的结论中即可求出窗框的宽．解：（1）依题意得：y＝米．故答案为：．（2）依题意得：x•＝1.5，整理得：x2﹣2x+1＝0，解得：x1＝x2＝1，∴y＝＝＝1.5．答：窗框的高为1米，宽为1.5米．24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC，BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若BE＝5，OE＝3，求线段DE的长．【分析】（1）证∠ADB＝∠ABD，则AD＝AB，再由AB＝BC，得AD＝BC，则四边形ABCD是平行四边形，然后由AB＝BC，即可得出结论；（2）由菱形的性质得OB＝OD，根据DE⊥BC，由直角三角形斜边上的中线性质可得OE＝BD，然后根据勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∵AB＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，∵DE⊥BC，∴OE＝BD，∴BD＝2OE＝6，在Rt△BED中，BE＝5，由勾股定理得：DE＝＝．∴线段DE的长为．25．某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，设每件衣服降价x元．（1）现在每天卖出（20+2x）件，每件盈利（40﹣x）元（用含x的代数式表示）；（2）求当x为何值时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠；（3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．【分析】（1）根据题意列出相应的代数式即可；（2）根据题意列出方程，即每件童装的利润×销售量＝总盈利，再求解，把不符合题意的舍去；（3）根据题意列出方程进行求解即可．解：（1）由题意得：每天卖出衣服的数量为：（20+2x）件，每