2021-2022学年广东省佛山市顺德区大墩中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省佛山市顺德区大墩中学八年级（下）期中数学试卷一.选择题（12个题，每题3分，共36分）1．下列图形是中心对称图形的是（）A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正七边形2．在不等式x﹣1≥0的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．3．△ABC中，AB＝AC，顶角是100°，则一个底角等于（）A．40° B．50° C．80° D．100°4．a，b都是实数，且a＜b，则下列不等式的变形正确的是（）A．a+c＞b+c B．﹣a+c＜﹣b+c C．2a＜2b D．＞5．如图，△ABC平移后得到△DEF，∠A＝55°，∠B＝45°，则∠DFG的度数是（）A．55° B．45° C．110° D．100°6．已知点A（a，1）与点B（5，b）关于原点对称，则a+b的值为（）A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．67．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．1.8 B．2.2 C．3.5 D．3.88．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．若a＝b，则a2＝b2 B．对顶角相等 C．若a＞b，则a2＞b2 D．两直线平行，同位角相等9．如图，某市的三个城镇中心A、B、C构成△ABC，该市政府打算修建一个大型体育中心P，使得该体育中心到三个城镇中心A、B、C的距离相等，则P点应设计在（）A．三个角的角平分线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点10．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝10，点D在BA的延长线上，CA＝CD，BD＝6，则AD＝（）A．1 B．2 C．3 D．411．在一次“青年大学习”知识竞赛中，竞赛试题共有25道题，每道题都给出了4个答案，其中只有一个答案是对的，要求学生把正确答案选出来，每道题选对得4分，不选或错选扣2分，如果小明在本次竞赛中，得分不低于80分，那么他至少选对（）A．20道 B．21道 C．22道 D．23道12．如图，将长方形ABCD绕点A旋转至长方形AB'C′D'位置，此时AC'的中点恰好与D点重合，AB'交CD于点E．若BC＝3，则△AEC的面积为（）A．6 B．12 C．2 D．3二.填空题（6个题，每题4分，共24分）13．用不等式表示“a与b的2倍的和小于3”：．14．如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，请你添加一个条件，使得△ACB≌△BDA．你添加的条件是：．写出一个符合题意的即可）15．若一次函数y＝2x+b的图象与x轴交于点（2，0），则y＞0时，x的取值范围是．16．如图，边长为2的等边△ABO在平面直角坐标系的位置如图所示，点O为坐标原点，点A在x轴上，以点O为旋转中心，将△ABO按顺时针方向旋转120°，得到△OA'B′，则点A′的坐标为．17．已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则a2﹣b2的值是．18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点D，∠CAD：∠DAB＝1：2，则∠B的度数为．三.选择题（6个题，共60分）19．解不等式组，把它的解集表示在数轴上，并求出这个不等式组的整数解．20．如图，把△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A'B'C'．（1）在图中画出△A'B'C'；（2）若△ABC上有一点P（a，b），平移后的对应点为P'，则P'的坐标是（用含a，b的代数式表示）．（3）连接A'C、C'C，求△A'CC'的面积．21．为响应创建全国文明城市，某校决定安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买1个温馨提示牌和2个垃圾箱共需270元，若购买2个温馨提示牌和1个垃圾箱共需180元．（1）求一个温磐提示牌和一个垃圾箱各需多少元？（2）根据计划，该校需购买温馨提示牌和垃圾箱共60个，且温馨提示牌数量不超过垃圾箱数量的一半，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．22．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°．（1）尺规作图：在BC边上确定一点D，使得D点到AC边和到AB边的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，过D点作DE⊥AB，垂足为点E，若AC＝2，求CD的长；（3）猜想：AB、AC、CD之间有何数量关系？并证明．23．已知直线l1：y1＝x﹣3m+15，l2：y2＝﹣2x+3m﹣9．（1）当m＝3时，求直线l1与l2的交点坐标；（2）若直线l1与l2的交点在第一象限，求m的取值范围；（3）若等腰三角形的两边为（2）中的整数解，求该三角形的面积．24．旋转是图形变换的一种，它能解决很多的数学问题．（1）如图1：点P是等边△ABC内的一点，把△PBC绕点B旋转到△P′BA的位置，请确定△PBP′的形状，并证明你的结论．（2）如图2：在（1）的条件下，连接PA，若PA＝，PB＝3，PC＝2，求∠BPC的度数．（3）类比学习：如图3，点P是等腰三角形ABC内的一动点，∠ACB＝90°，若AC＝2，设a＝PA+PB+PC，当a取最小值时，求此时a2的值．

参考答案一.选择题（12个题，每题3分，共36分）1．下列图形是中心对称图形的是（）A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正七边形【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．解：等边三角形、正五边形、正七边形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，正方形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．在不等式x﹣1≥0的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．解：x﹣1≥0，x≥1，在数轴上表示为：，故选：A．【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能正确在数轴上表示不等式的解集是解此题的关键．3．△ABC中，AB＝AC，顶角是100°，则一个底角等于（）A．40° B．50° C．80° D．100°【分析】根据等腰三角形的性质解答即可．解：∵△ABC中，AB＝AC，顶角是100°，∴一个底角＝（180°﹣100°）÷2＝40°．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．4．a，b都是实数，且a＜b，则下列不等式的变形正确的是（）A．a+c＞b+c B．﹣a+c＜﹣b+c C．2a＜2b D．＞【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．解：A、∵a＜b，∴a+c＜b+c，故A不符合题意；B、∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴﹣a+c＞﹣b+c，故B不符合题意；C、∵a＜b，∴2a＜2b，故C符合题意；D、∵a＜b，∴＜，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．5．如图，△ABC平移后得到△DEF，∠A＝55°，∠B＝45°，则∠DFG的度数是（）A．55° B．45° C．110° D．100°【分析】先根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状可得∠ACB＝∠DFE，然后根据三角形的内角和定理及邻补角定义列式计算即可得解．解：∵△ABC中，∠A＝65°，∠B＝45°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°．∵△ABC平移后得到△DEF，∴∠ACB＝∠DFE＝70°，∴∠∠DFG＝180°﹣∠DFE＝180°﹣70°＝110°．故选：C．【点评】本题主要考查了平移的性质，熟记平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状是解题的关键．6．已知点A（a，1）与点B（5，b）关于原点对称，则a+b的值为（）A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．解：∵点A（a，1）与点B（5，b）关于原点对称，∴a＝﹣5，b＝﹣1，则a+b的值为：﹣5﹣1＝﹣6．故选：A．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．7．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．1.8 B．2.2 C．3.5 D．3.8【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再根据垂线段最短求出AP的最小值，然后得到AP的取值范围，从而得解．解：∵∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，∴AC＝AB＝×4＝2，∵点P是BC边上的动点，∴2＜AP＜4，∴AP的值不可能是1.8．故选：A．【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，垂线段最短，熟记性质并求出AP的取值范围是解题的关键．8．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．若a＝b，则a2＝b2 B．对顶角相等 C．若a＞b，则a2＞b2 D．两直线平行，同位角相等【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．解：A、若a＝b，则a2＝b2的逆命题是若a2＝b2，则a＝b，逆命题是假命题，不符合题意；B、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；C、若a＞b，则a2＞b2的逆命题是若a2＞b2，则a＞b，逆命题是假命题，不符合题意；D、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，逆命题是真命题，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．9．如图，某市的三个城镇中心A、B、C构成△ABC，该市政府打算修建一个大型体育中心P，使得该体育中心到三个城镇中心A、B、C的距离相等，则P点应设计在（）A．三个角的角平分线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可．解：∵体育中心到城镇中心A、B的距离相等，∴PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，同理，点P在线段AC的垂直平分线上，∴P点应设计在三条边的垂直平分线的交点，故选：C．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．10．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝10，点D在BA的延长线上，CA＝CD，BD＝6，则AD＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】过C点作CE⊥AD于E，由等腰三角形的性质可得AD＝2DE，利用含30°角的直角三角形的性质可求解BE的长，即可求得DE的长，进而可求解．解：过C点作CE⊥AD于E，∵CA＝CD，∴AD＝2DE，∵∠ABC＝60°，∠CEB＝90°，∴∠BCE＝30°，∴BE＝BC＝5，∵BD＝6，∴DE＝BD﹣BE＝6﹣5＝1，∴AD＝2．故选：B．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．11．在一次“青年大学习”知识竞赛中，竞赛试题共有25道题，每道题都给出了4个答案，其中只有一个答案是对的，要求学生把正确答案选出来，每道题选对得4分，不选或错选扣2分，如果小明在本次竞赛中，得分不低于80分，那么他至少选对（）A．20道 B．21道 C．22道 D．23道【分析】设小明选对了x道题，则不选或选错（25﹣x）道题，利用得分＝4×选对题目数﹣2×不选或选错题目数，结合得分不低于80分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．解：设小明选对了x道题，则不选或选错（25﹣x）道题，依题意得：4x﹣2（25﹣x）≥80，解得：x≥，又∵x为正整数，∴x的最小值为22，即小明至少选对22道题．故选：C．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．12．如图，将长方形ABCD绕点A旋转至长方形AB'C′D'位置，此时AC'的中点恰好与D点重合，AB'交CD于点E．若BC＝3，则△AEC的面积为（）A．6 B．12 C．2 D．3【分析】由旋转的性质可得AC＝AC'，由矩形的性质和直角三角形的性质分别求出AD，EC的长，即可求解．解：由旋转的性质可知：AC＝AC'，∵D为AC'的中点，∴AD＝AC'＝AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥CD，∴∠ACD＝30°，∵AB∥CD，∴∠CAB＝30°，∴∠C'AB'＝∠CAB＝30°，∴∠EAC＝30°＝∠C'AB'＝∠CAB，AD＝DE，DE＝AE，∴AE＝EC，DE＝＝AE＝EC，∴CE＝2，∴S△AEC＝EC•AD＝×3×2＝3，故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．二.填空题（6个题，每题4分，共24分）13．用不等式表示“a与b的2倍的和小于3”：a+2b＜3．【分析】根据“a与b的2倍的和小于3”，即可列出不等式，此题得解．解：依题意得a+2b＜3．故答案为：a+2b＜3．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出不等式是解题的关键．14．如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，请你添加一个条件，使得△ACB≌△BDA．你添加的条件是：AC＝BD（答案不唯一）．写出一个符合题意的即可）【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．解：添加的条件是AC＝BD（答案不唯一），理由如下：∵∠ACB＝∠BDA＝90°，∴△ACB和△BDA是直角三角形，在Rt△ACB和Rt△BDA中，，∴△ACB≌△BDA（HL），故答案为：AC＝BD（答案不唯一）．【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．15．若一次函数y＝2x+b的图象与x轴交于点（2，0），则y＞0时，x的取值范围是x＞2．【分析】由一次函数解析式可得y随x增大而增大，再由直线与x轴交点坐标求解．解：∵y＝2x+b中2＞0，∴y随x增大增大，∵直线经过（2，0），∴x＞2时，y＞0，故答案为：x＞2．【点评】本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数与方程及不等式的关系．16．如图，边长为2的等边△ABO在平面直角坐标系的位置如图所示，点O为坐标原点，点A在x轴上，以点O为旋转中心，将△ABO按顺时针方向旋转120°，得到△OA'B′，则点A′的坐标为（1，）．【分析】首先根据旋转确定OB′在x轴上，然后利用等边三角形的性质与勾股定理即可确定B的坐标．解：∵△ABC为等边三角形，∴∠AOB＝60°，而以点O为旋转中心，将△ABO按顺时针方向旋转120°，得到△OA'B′，∴OB′在x轴上，如图，过A′作A′M⊥OB′于M，∴∠OA′M＝30°，OM＝MB′，又OB′＝2，∴OM＝1，根据勾股定理得A′M＝，则点A′的坐标为（1，）．故答案为：（1，）．【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣旋转，同时也利用了等边三角形的性质及勾股定理．17．已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则a2﹣b2的值是﹣3．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集求出a、b的值，再代入计算即可．解：由2x﹣a＜1，得：x＜，由x﹣2b＞3，得：x＞2b+3，∵不等式组的解集为﹣1＜x＜1，∴2b+3＝﹣1，＝1，解得a＝1，b＝﹣2，则a2﹣b2＝12﹣（﹣2）2＝1﹣4＝﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点D，∠CAD：∠DAB＝1：2，则∠B的度数为36°．【分析】先根据线段垂直平分线及等腰三角形的性质得出∠B＝∠DAB，再根据∠DAE与∠DAC的度数比为2：1可设出∠B的度数，再根据直角三角形的性质列出方程，求出∠B的度数即可．解：∵D是线段AB垂直平分线上的点，∴AD＝BD，∴△DAB是等腰三角形，∠B＝∠DAB，∵∠CAD：∠DAB＝1：2，∴设∠DAC＝x，则∠B＝∠DAB＝2x，∴x+2x+2x＝90°，∴x＝18°，即∠B＝36°，故答案为：36°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．三.选择题（6个题，共60分）19．解不等式组，把它的解集表示在数轴上，并求出这个不等式组的整数解．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出整数解．解：，由①得：x＜3，由②得：x＞﹣1，∴不等式组的解集为﹣1＜x＜3，解集在数轴上表示，如图所示：，则该不等式的整数解为0，1，2．【点评】此题考查了一元一次方程组的整数解，在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．20．如图，把△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A'B'C'．（1）在图中画出△A'B'C'；（2）若△ABC上有一点P（a，b），平移后的对应点为P'，则P'的坐标是（a+2，b+4）（用含a，b的代数式表示）．（3）连接A'C、C'C，求△A'CC'的面积．【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；（2）利用平移变换的性质求解即可；（3）利用割补法求解即可．解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；（2）若△ABC上有一点P（a，b），平移后的对应点为P'，则P'的坐标是（a+2，b+4）（用含a，b的代数式表示）．故答案为：（a+2，b+4）；（3）△A'CC'的面积＝3×7﹣×3×3﹣×2×4﹣×1×7＝9．【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．21．为响应创建全国文明城市，某校决定安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买1个温馨提示牌和2个垃圾箱共需270元，若购买2个温馨提示牌和1个垃圾箱共需180元．（1）求一个温磐提示牌和一个垃圾箱各需多少元？（2）根据计划，该校需购买温馨提示牌和垃圾箱共60个，且温馨提示牌数量不超过垃圾箱数量的一半，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．【分析】（1）设购买1个温馨提示牌需要x元，购买1个垃圾箱需要y元，根据“购买1个温馨提示牌和2个垃圾箱共需270元”得x+2y＝270，根据“购买2个温馨提示牌和1个垃圾箱共需180元”得2x＝180，组合成二元一次方程组便可；（2）设购买温馨提示牌a个，垃圾箱（60﹣a）个，总费用为w元，根据题意列出不等式得出a的取值范围，再列出w与x的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可．解：（1）设一个温馨提示牌x元，一个垃圾箱y元，依题意得：，解得：，答：一个温馨提示牌30元，一个垃圾箱120元；（2）设购买温馨提示牌a个，垃圾箱（60﹣a）个，总费用为w元，则：a≤（60﹣a），解得：a≤20，W＝30a+120（60﹣a），即：W＝﹣90a+7200，∵k＝﹣90＜0，∴W随a的增大而减小，∴当a＝20时，W取最小值，W最小＝﹣90×20+7200＝5400，此时：垃圾箱：60﹣20＝40（个），答：应购买20个温馨提示牌和40个垃圾箱才能使得总费用最少，最少费用为5400元．【点评】本题考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组和一次函数解析式，利用一次函数的性质解答．22．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°．（1）尺规作图：在BC边上确定一点D，使得D点到AC边和到AB边的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，过D点作DE⊥AB，垂足为点E，若AC＝2，求CD的长；（3）猜想：AB、AC、CD之间有何数量关系？并证明．【分析】（1）作∠CAB的角平分线AD，交BC于点D，则点D为所求；（2）设CD＝x，则DE＝BE＝x，由等腰直角三角形的性质可求BD的长，即可求解；（3）由“HL”可证Rt△ADC≌Rt△ADE，可得AC＝AE，即可求解．解：（1）如图，作∠CAB的角平分线AD，交BC于点D，则点D为所求；（2）如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，CD⊥AC，∴CD＝DE，∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠B＝∠BAC＝45°，∵DE⊥AB，∴DE＝BE，设CD＝x，则DE＝BE＝x，∴BD＝x，∵BC＝AC＝2，∴x+x＝2，∴x＝2﹣2，∴CD的长为2﹣2；（3）AB＝AC+CD，理由如下：在Rt△ADC和Rt△ADE中，，∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AE，∵CD＝DE＝BE，∴AB＝AE+BE＝AC+DC．【点评】本题是三角形综合题，考查了基本作图，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．23．已知直线l1：y1＝x﹣3m+15，l2：y2＝﹣2x+3m﹣9．（1）当m＝3时，求直线l1与l2的交点坐标；（2）若直线l1与l2的交点在第一象限，求m的取值范围；（3）若等腰三角形的两边为（2）中的整数解，求该三角形的面积．【分析】（1）将m＝3代入直线l1：y1＝x﹣3m+15，l2：y2＝﹣2x+3m﹣9，联立得方程组，即可求解；（2）联立直线l1与l2得方程组，解方程组得交点为（2m﹣8，﹣m+7），根据交点在第一象限，即可求解；（3）分两种情况，作等腰三角形底边上的高，根据等腰三角形的性质以及勾股定理即可求解．解：（1）将m＝3代入直线l1：y1＝x﹣3m+15，l2：y2＝﹣2x+3m﹣9得，y1＝x﹣9+15＝x+6，y2＝﹣2x+9﹣9＝﹣2x，联立得，解得，∴直线l1与l2的交点坐标为（﹣2，4）；（2）联立直线l1与l2得方程组，解得，∴直线l1与l2的交点为（2m﹣8，﹣m+7），∵交点在第一象限，∴，解得4＜m＜7，即m的取值范围为4＜m＜7；（3）∵4＜m＜7，∴等腰三角形的两边为5，6，①如图，当AB＝AC＝6，BC＝5时，过点A作AD⊥BC于D，∴BD＝CD＝BC＝，∴AD＝＝＝，∴S△ABC＝×5×＝；②如图，当AB＝AC＝5，BC＝6时，过点A作AD⊥BC于D，∴BD＝CD＝BC＝3，∴AD＝＝＝4，∴S△ABC＝×6×4＝12．综上所述，该三角形的面积为或4．【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了两直线的交点，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．24．旋转是图形变换的一种，它能解决很多的数学问题．（1）如图1：点P是等边△ABC内的一点，把△PBC绕点B旋转到