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文档简介
第1章三角形的初步知识
1.1认识三角形
第1课时三角形的有关概念及三边关系
01基础题
知识点1三角形及相关概念
1.(1)如图,点D在AABC内,写出图中所有除AABC外的三角形:ZXABD,
△ACD,410;
⑵在4ACD中,NACD所对的边是些;在AABD中,边AD所对的角是工
ABD.
知识点2三角形内角和定理
2.(温州校级期中)在AABC中,ZA=50°,ZB=70°,则NC的度数
是(B)
A.40°B.60
C.80°D.100°
3.如图,一个长方形纸片,剪去部分后得到一个三角形,则图中N1+
N2的度数是(C)
A.30°B.60°
C.90°D.120°
第3题图第4题图
4.(南三县期末)一副三角板如图叠放在一起,则图中Na的度数为(4)
A.75°B.60°
C.65°D.55°
知识点3三角形按角的大小分类
5.(诸暨期末)在AABC中,若NA=35°,NB=55°,则△ABC为(0
A.锐角三角形B.钝角三角形
C.直角三角形。任意三角形
6.如图,图中有2个三角形,其中,△ABC,4ACD是锐角三角形,AACE,
△ABE,AADE是直角三角形,Z\ABD是钝角三角形.
知识点4三角形的三边关系
7.(萧山区四校联考)在下列长度的四根木棒中,能与4cm、9c加长的
两根木棒钉成一个三角形的是(。)
A.4cmB.5cmC.9cmD.13cm
8.(盐城中考)若a,b,c为AABC的三边长,且满足|a—41+后后=0,
则c的值可以为(A)
A.5B.6
C.7D.8
AD
C
9.如图,从点A到点D有三条路线:A—B—D,A—C—D,A—D,其中最
短的路线是A—D.
10.(1)在AABC中,AB=3,AC=4,那么BC边的长度应满足什么条件?
(2)如果一个三角形的两边长分别为5cm,7cm,第三边的长为xcm,
且x是一个奇数,求三角形的周长;
⑶如果三角形的三边为连续整数,且周长为24cm,求它的最短边长.
解:(1)1<BC<7.
(2)三角形的周长为15c勿或17c勿或19c勿或21以?或23cm.
(3)它的最短边长为7cm.
02中档题
11.若a,b,c是三角形的三边长,则化简:|a—b—c|+|a+c—b|一
Ic—a—b|=(〃)
A.3a—b—cB.—a—b+3c
C.a+b+cD.a—3b+c
12.(盐城中考)一个等腰直角三角板与一把直尺如图放置,若Nl=60°,
则N2的度数为(B)
A.85°
B.75°
C.60°
D.45°
13.(义乌模拟)如图,用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框
(形状不限),不计螺丝大小,其中相邻两螺丝的距离依次为3、4、5、7,
且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框,则
任意两个螺丝间的距离的最大值为(D)
A.6B.7
C.8D.9
14.(温州八中期中)如图,AABC中,ZDBC=|zABC,NDCB=;NACB,
oo
NA=45°,则NBDC=135°.
15.在农村电网改造中,四个自然村分别位于如图所示的A,B,C,D处,
现计划安装一台变压器,使到四个自然村的输电线路的总长最短,那么
这个变压器安装在AC,BD的交点E处,你知道为什么吗?
解:另任取一点E'(异于点E),分别连结AE',BE',CE',DE',
在ABDE'中,DE'+BE'>DB.
在ZkACE'中,AE'+CE'>AC.
.•.AE'+BE'+CE'+DEZ>AC+BD,
即AE+BE+CE+DE最短.
16.(杭州期中改编)若三角形的周长为18,且三边都是整数,则满足条
件的三角形有多少个?分别写出三角形的三边长.
解:满足条件的三角形共有7个.三边长分别是8,8,2;8,7,3;
8,6,4;8,5,5;7,7,4;7,6,5;6,6,6.
03综合题
17.观察并探求下列各问题:
⑴如图1,在AABC中,点P为边BC上一点,则BP+PC<AB+AC(iM
“〈”或“=”);
(2)将(1)中的点P移到AABC内,得图2,试观察比较ABPC的周长与AABC
的周长的大小,并说明理由;
(3)将(2)中的点P变为两个点巴,P2,得图3,试观察比较四边形BPRC
的周长与AABC的周长的大小,并说明理由.
图3
解:(2)Z^BPC的周长〈^ABC的周长.
理由如下:延长BP交AC于点M.
在4ABM中,BP+PMVAB+AM,
在ZiPMC中,PC<PM+MC,
两式相加,得BP+PCXAB+AC,
BP+PC+BC<AB+AC+BC,
EPABPC的周长(Z\ABC的周长.
⑶四边形BPRC的周长〈AABC的周长,
理由如下:分别延长BP”CP2交于点M.
由(2)知,BM+CM<AB+AC.
又,.,PH<PiM+P2M,
,
..BPI+P1P2+P2C<BM+CM<AB+AC.
.*.BP1+P1P2+P2C+BC<AB+AC+BC,
即四边形BPRC的周长〈ZiABC的周长.
第2课时三角形的重要线段
01基础题
知识点1三角形的角平分线
1.在AABC中,ZB=60°,AD是AABC的角平分线,ZDAC=31°,则
NC的度数为(D)
A.62°B.60°
C.92°D.58°
2.如图,已知N1=N2,N3=N4,则下列结论正确的个数为(方)
①AD平分NBAF;②AF平分NDAC;③AE平分NDAF;④AE平分NBAC.
A.1B.2C.3D.4
第2题图第3题图
3.(邵阳中考)如图,在AABC中,ZB=46°,NC=54°,AD平分NBAC,
交BC于D,DE/7AB,交AC于E,贝ijNADE的大小是(C)
A.45°B.54°
C.40°D.50°
知识点2三角形的中线
4.如图所示,点D,E分别是aABC的边AC,BC的中点,则下列说法不
正确的是(C)
A
D
BEC
A.DE是ABCD的中线
B.BD是AABC的中线
C.AD=DC,BD=EC
D.在ACDE中,ZC的对边是DE
5.如图,在AABC中,AD是BC边上的中线.
⑴若BC=6cm,则CD=3CH;
(2)若CD=acm,贝”BC=2aaz?;
(3)右SAABD_8an,贝!JSAACD=8(?/Z72.
第5题图第6题图
6.如图,在AABC中,AD是BC边上的中线,已知AB=7M,AC=5cm,
则4ABD和4ACD的周长差为2cm.
知识点3三角形的高线
7.(杭州上城区期中)下列各图中,正确画出AC边上的高的是(〃)
ECEACEAC
ABCD
8.如图,Z^ABC中,ZC=90°,CD±AB,图中线段可以作为AABC的高
的有(B)
42条A3条
C.4条D.5条
第8题图第9题图
9.(嘉兴桐乡实验中学期中)如图,在△ABC中,NB=30°,NACB=110。,
AD是BC边上高线,AE平分NBAC,则NDAE的度数为40°.
A
-----------
10.(温州新城学校初中部月考)如图,在AABC中,高BD,CE相交于点
H,若NBHC=110°,则NA等于70°.
02中档题
11.如图所示,在AABC中,NACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,
使点B落在点B,的位置,则线段AC具有性质(D)
A.是NBAB'的平分线
B.是边BB'上的高
C.是边BB'上的中线
D.以上三种线重合
12.如图,AD是aABC的角平分线,CE是AABC的高,ZBAC=60°,Z
BCE=40°,则NADB的度数为(D)
A.40°B.60°
C.80°D.100°
13.(绵阳中考)如图,在AABC中,NB、NC的平分线BE、CD相交于点
F,NABC=42°,NA=60°,则NBFC=(0
A.118°B.119°C.120°D.121°
第13题图第14题图
14.(温州永嘉县岩头中学期中)如图,在4ABC中,点D、E、F分别为
BC、AD、CE的中点,且S^BC=8ck则阴影部分4AEF的面积为1c片
15.如图,在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD将AABC的周长分成
为12c勿和15前两部分,求三角形的底边BC的长.
解:①当AB+AD=15cm时,
•・•〃是。。的中点,
11
:.AD=~AC=~AB.
:.AB+AD=AB^AB=15,解得48=10cm.
乙
.•.4。=10cm.
.,.^=15+12-10X2=7(cm).
此时能构成三角形,且底边长为7cm;
②当4?+”=12cm时一,
AB+AD=AB+^AB=12,解得48=8cm.
乙
.,.AC=8cm.
.*.^=15+12-8X2=11(cm).
此时能构成三角形,且底边长为11cm.
综上,底边火的长为7cm或11cm.
16.如图,在AABC中,AB=AC,点P是BC边上任意一点,PFJ_AB于点
F,PE_LAC于点E,BD为AABC的高线,BD=8,求PF+PE的值.
.\!AC•BD=|AB•PF+|AC•PE.
VAB=AC,
.*.BD=PF+PE.
APF+PE=8.
03综合题
17.(噪州校级期中)如图,在AABC中,AD±BC,AE平分NBAC.
(1)若NBAC=80°,ZC=30°,求NDAE的度数;
⑵若NB=80°,ZC=40°,求NDAE的度数;
⑶探究:小明认为如果只知道NB—NC=40°,也能得出NDAE的度数?
你认为可以吗?若能,请你写出求解过程;若不能,请说明理由.
解:(1)VZBAC=80°,ZC=30°,
.,.ZB=70°.
VAD1BC,
AZBAD=20°.
:AE平分NBAC,
.•.ZBAE=|zBAC=40°.
:.ZDAE=ZBAE-ZBAD=40°-20°=20°.
(2)VZB=80°,AD1BC,
.•.ZBAD=10°.
「AE平分NBAC,
AZBAE=|zBAC=1(180°-ZB-ZC)=1x60°=30°.
乙乙乙
.,.ZDAE=ZBAE-ZBAD=30°-10°=20°.
⑶能求得NDAE=:(NB—NC)=20°.
理由:VAD±BC,
.,.ZBAD=90°-ZB.
•「AE平分NBAC,
11/。\
AZBAE=-ZBAC=-(180°-ZB-ZC).
AZDAE=ZBAE-ZBAD=1(180°-ZB-ZC)-(90°-NB)=1
(ZB-ZC)=20°.
1.2定义与命题
第1课时定义与命题
01基础题
知识点1定义
1.下列语句中,属于定义的是(C)
A.两点之间线段最短
B.三人行,必有我师焉
C.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线
D.两条直线相交,只有一个交点
2.下列语句中,属于定义的是(〃)
A.两点确定一条直线
B.同角或等角的余角相等
C.两直线平行,内错角相等
〃•点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
3.下列语句中,属于定义的有(〃)
①含有未知数的等式称为方程;②三角形内角和等于180°;③等式
(a+b)2=a2+2ab+b2称为两数和的完全平方公式;④如果a,b为实数,
那么(a—b)2=a2—2ab+b\
41个氏2个C3个4个
知识点2命题
4.(杭州萧山区期中)下列语句是命题的是(C)
4作直线AB的垂线B.在线段AB上取点C
C.同旁内角互补D.垂线段最短吗?
5.下列语句中,不是命题的是(A)
A.延长线段AB
B.自然数也是整数
C.两个锐角的和一定是直角
D.同角的余角相等
6.下列语句中,是命题的是(C)
①钝角大于90°;②两点之间,线段最短;③明天可能要下雪;④同旁
内角不互补,两直线不平行;⑤作NACB的角平分线.
A.①②③B.①②⑤
C.①②③④D.①②④
7.下列语句中,哪些是命题,哪些不是命题?
(1)若a〈b,则一b<—a;
(2)三角形的三条高交于一点;
(3)在△ABC中,若AB>AC,则NONB吗?
(4)两点之间线段最短;
(5)解方程X2—2x—3=0;
(6)1+2^3.
解:(1)(2)(4)(6)是命题,(3)(5)不是命题.
知识点3命题的条件和结论
8.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是(〃)
A.垂直
B.两条直线
C.同一条直线
D.两条直线垂直于同一条直线
9.写出下列命题的条件和结论.
(1)如果那么a=b;
(2)同角或等角的补角相等;
⑶同旁内角互补,两直线平行.
解:(1)条件:a2=b2;结论:a=b.
(2)条件:两个角是同角或等角的补角;结论:这两个角相等.
(3)条件:同旁内角互补;结论:两直线平行.
10.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式.
(1)在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行;
(2)绝对值相等的两个数一定相等;
(3)每一个有理数都对应数轴上的一个点.
解:(1)在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这
两条直线互相平行.
(2)如果两个数的绝对值相等,那么这两个数一定也相等.
(3)如果一个数是有理数,那么这个数一定对应着数轴上的一个点.
02中档题
11.下列语句中,是命题的是(A)
①若Nl=60°,Z2=60°,则N1=N2;②对顶角相等吗?③画线段
AB=CD;④如果a>b,b>c,那么a>c;⑤直角都相等.
A.①④⑤B.①②④
C.①②⑤D.②③④
12.“所谓按行排序就是根据一行或几行中的数据值对数据清单进行排
序,排序时将按指定行的值和指定的‘升序'或'降序’排列次
序重新设定行.”这段话是对名称按行排列进行定义.
13.指出下列命题的条件和结论,并改写成“如果……那么……”的形
式:
(1)对顶角相等;
(2)同角的余角相等;
(3)三角形的内角和等于180°;
(4)角平分线上的点到角的两边距离相等.
解:(1)条件是“两个角是对顶角”,
结论是“这两个角相等”.
可以改写成“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”.
(2)条件是“两个角是同一个角的余角”,
结论是“这两个角相等”.
可以改写成“如果两个角是同一个角的余角,那么这两个角相等”.
(3)条件是“三个角是一个三角形的三个内角”,
结论是“这三个角的和等于180°
可以改写成“如果三个角是一个三角形的三个内角,那么这三个角
的和等于180°
(4)条件是“一个点在一个角的平分线上”,
结论是“这个点到这个角的两边距离相等”.
可以改写成“如果一个点在一个角的平分线上,那么这个点到这个
角的两边距离相等”.
14.用语言叙述这个命题:如图,AB〃CD,EF交AB于点G,交CD于点H,
GM平分NBGH,HM平分NGHD,则
A-----------B
C—D
'F
解:两条平行线间的同旁内角的角平分线互相垂直.
15.观察下列给出的方程,找出它们的共同特征,试给出名称,并作出
定义.
x3+x2-3x+4=0;x3+x—1=0;
x:'-2x?+3=x;y;,+2y2—5y—1=0.
解:共同特征:都是整式方程,均含有一个未知数,未知数的最高
次数均为3;
名称:一元三次方程;
定义:含有一个未知数,且未知数的最高次数为3的整式方程是一
元三次方程.
第2课时真假命题及定理
01基础题
知识点1真命题和假命题
1.F列命题中的真命题是(C)
A.锐角大于它的余角
B.锐角大于它的补角
C.钝角大于它的补角
D.锐角与钝角之和等于平角
2.在同一平面内,下列命题中,属于假命题的是(A)
A.若a±b,b±c,贝ija±c
B.若@〃1),b〃c,贝(Ja〃c
C.若@_1_(:,b±c,贝!Ja〃b
D.若a_Lc,b〃a,则b_l_c
3.下面给出的四个命题中,假命题是(人)
A.如果a=3,那么|a|=3
B.如果x?=4,那么x=±2
C.如果(a—1)(a+2)=0,那么a—1=0或a+2=0
D.如果(a—1T+(b+2)?=0,那么a=l或b=-2
4.已知四个命题:
①若一个数的相反数等于它本身,则这个数是0;
②若一个数的倒数等于它本身,则这个数是1;
③若一个数的算术平方根等于它本身,则这个数是1;
④若一个数的绝对值等于它本身,则这个数是正数.
其中真命题有(A)
41个A2个
C.3个4个
5.请在横线上填上适当的词,使所得到的命题是假命题:相等的角是答
案不唯一,如:对顶角(或直角或平角等).
知识点2举反例
6.(竦州期末)对于命题“如果Nl+N2=90°,那么N1WN2”,能说
明它是假命题的反例是(C)
A.Zl=50°,Z2=40°
B.Zl=50°,N2=50°
C.N1=N2=45°
D.Zl=40°,N2=40°
7.(杭州萧山区戴村期中)已知命题A:任何偶数都是8的整数倍.在下
列选项中,可以作为“命题A是假命题”的反例的是(〃)
A.2kB.15
C.24D.42
8.(温州新城学校初中部月考)可以用来证明命题“如果a,b是有理数,
那么Ia+b|=|a|+|b|"是假命题的反例可以是a=-l,b=3(答案不唯
一).
知识点3基本事实和定理
9.下列不是基本事实的是(C)
A.两点确定一条直线
B.两点之间线段最短
C.两条平行线被第三条直线所截,内错角相等
D.经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
10.下列说法中,正确的是(B)
A.定理是假命题
B.基本事实不需要证明
C.定理不一定都要证明
D.所有的命题都是定理
11.“定义、定理、基本事实、命题、真命题、假命题”它们之间的关
系恰好可以用下图表示,请指出A,B,C,D,E,F分别与它们中的哪一
个对应.
解:A表示命题,B表示假命题,C表示真命题,D,E,F分别表示
定义、定理、基本事实中任意一个.
02中档题
12.下列命题中,是假命题的是(。)
A.在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行
B.对顶角相等
C.互补的角是邻补角
D.邻补角是互补的角
13.对于同一平面内的三条直线a,b,c,给出下列五个论断:①a〃b;
②b〃c;③a,c;@a//c;以其中的两个论断为条件,一个论
断为结论,写出一个真命题.
解:答案不唯一,如:如果a〃b,b〃c,那么a〃c.
14.(杭州萧山区四校联考期中)请判断下列命题的真假性,若是假命题,
请举反例说明.
(1)若a>b,则£>£;
(2)两个无理数的和仍是无理数;
(3)若三条线段a,b,c满足a+b>c,则这三条线段a,b,c能够
组成三角形.
解:(1)是假命题,例如:0>—1,但02V(-1)2.
(2)是假命题,例如:一裂和姆是无理数,但一小+/=0,和是
有理数.
(3)是假命题,例如:三条线段a=3,b=2,c=l满足a+b>c,但
这三条线段不能够组成三角形.
15.如图,已知NACE=NAEC,CE平分NACD,则AB〃CD,用推理的方
法说明它是一个真命题.
解:平分NACD,
.*.ZACE=ZECD.
VZACE=ZAEC,
.\ZECD=ZAEC.
AAB//CD.
,它是一个真命题.
16.如图,NABC的两边分别平行于NDEF的两条边,且NABC=45°.
图1图2
(1)图1中NDEF=4^^,图2中NDEF=135°;
⑵请观察图1、图2中NDEF分别与NABC有怎样的关系,请你归纳
出一个命题.
解:图1中NDEF=NABC,
图2中NDEF+NABC=180°.
命题:如果两个角的两边互相平行,那么这两个角相等或互补.
1.3证明
第1课时证明的含义及表述格式
01基础题
知识点1证明的定义
1.下列能作为证明依据的是(〃)
A.已知条件B.定义和基本事实
C.定理和推论D.以上三项都可以
2.通过观察你能肯定的是(。)
A.图形中线段是否相等
B.图形中线段是否平行
C图形中线段是否相交
D.图形中线段是否垂直
知识点2证明过程的书写
3.如图,直线a〃b,直线c与a,b都相交,Nl=55°,则N2=(4)
4.如图,下面推理正确的是(B)
A.VZ1=Z2,...AB〃CD
B.VZ1+Z2=18O°,AABCD
C.VZ3=Z4,AABCD
D.VZ1+Z4=18O°,;.AB〃CD
5.如图,AB〃CD,AD和BC相交于点0,NA=20°,ZC0D=100°,贝(J
NC的度数是(。)
A.80°B.70°
a60°D.50°
第5题图第6题图
6.(海宁新仓中学期中)如图,FE〃0N,0E平分NMON,NFE0=28°,则
NMFE=匣度.
7.如图所示,已知Nl=N2=N3=60°,则N4=120°.
第7题图第8题图
8.如图所示,点B,C,D在同一条直线上,CE〃AB,ZACB=90°,如
果NECD=36°,那么NA=54°.
9.已知:如图,AD_LBC于点D,EFJ_BC于点F,交AB于点G,交CA延
长线于点E,N1=N2.求证:AD平分NBAC.
E
BFD
填写分析和证明中的空白.
分析:要证明AD平分NBAC,只要证明NBAD=NCAD,而已知N1=N2,
所以应联想这两个角分别和Nl、N2的关系,由已知BC的两条垂线可推
出也〃比,这时再观察这两对角的关系已不难得到结论.
证明:VAD±BC,EF_LBC(已知),
.•.以〃比(在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行).
...NBAD=N1(两直线平行,内错角相等),
NCAD=N2(两直线平行,同位角相等).
•.•N1=N2(已知),
...NBAD=NCAD,即AD平分NBAC(角平分线的定义).
10.如图,已知AB〃CD,ZB=40°,ZD=40°,求证:BC〃DE.
证明:VAB^CD,
.•.NC=NB=40°.
VZD=40°,
.,.ZC=ZD.
ABC//DE.
02中档题
11.如图所示,已知直线2〃1),Zl=40°,N2=60°,则N3等于(4)
A.100°B.60°
C.40°D.20°
E
B
)3G
第11题图第12题图
12.将一副三角板按如图放置,则下列结论:①N1=N3;②如果N2=
30°,那么AC〃DE;③如果N2=30°,那么BC〃AD;④如果N2=30°,
那么N4=NC.其中正确的有(B)
A.①②③B.①②④
C.③④D.①②③④
13.已知,如图,Z1=ZACB,N2=N3,求证:ZBDC+ZDGF=180°.
A
上
BFC
证明:•••N1=NACB(已知),
...DE〃BC(同位角相等,两直线平行).
.•.N2=NDCF(两直线平行,内错角相等).
•.•/2=N3(已知),
.•.N3=NDCF(等量代换).
.,.CD//FG(同位角相等,两直线平行).
.\ZBDC+ZDGF=180°(两直线平行,同旁内角互补).
14.如图,已知BE〃CF,BE,CF分别平分NABC,NBCD.求证:AB//CD.
证明::BE,CF分别平分NABC,NBCD(已知),
1
.*.Z1=-ZABC,
乙
N2=:NBCD(角平分线的定义).
•.,BE〃CF(已知),
.•.N1=N2(两直线平行,内错角相等).
11
.*.-ZABC=-ZBCD,
乙乙
即NABC=NBCD.
.•.AB〃CD(内错角相等,两直线平行).
03综合题
15.阅读:如图1,VCE/7AB,.\Z1=ZA,Z2=ZB.AZACD=Z1+
N2=NA+NB.这是一个有用的事实,请用这个事实,在图2中的四边
形ABCD内引一条和边平行的直线,求出NA+NB+NC+ND的度数.
解:过点D作DE〃AB交BC于点E.
则NDEB=NC+NEDC.
VDE//AB,
.,.ZA+ZADE=180°,ZB+ZDEB=180°.
...ZA+ZB+ZC+NADC=NA+ZB+ZC+ZEDC+NADE=ZA+
ZADE+ZB+ZDEB=360
第2课时三角形内角和定理的推论
01基础题
知识点1几何命题的证明
1.证明命题“在同一平面内,如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,
那么它也垂直于另一条”是真命题.
J——_B
('---H---D
解:已知:如图,AB/7CD,EF_LAB于M,交CD于点N.
求证:EF±CD.
证明:•「AB〃CD,
.,.ZAMN+ZCNM=180°.
VEF±AB,
.,.ZAMN=90°.
.-.ZCNM=90°.
.*.EF±CD.
2.证明命题“两条平行线被第三条直线所截,得到的一组同旁内角的角
平分线互相垂直”是真命题.
解:已知:如图,AB〃CD,EF交AB于点G,交CD于点H,GM平分
ZBGH,HM平分NDHG.
求证:GM1HM.
证明:VAB/7CD,
.,.ZBGH+ZDHG=180°.
「GM平分NBGH,HM平分NDHG,
11
.*.ZMGH=-ZBGH,ZGHM=-ZDHG.
乙乙
ZMGH+ZGHM=1(ZBGH+ZDHG)180°=90°.
.*.ZM=180o-ZMGH-ZGHM=180°-90°=90°.
AGMIHM.
知识点2三角形内角和定理的推论
3.(甘孜中考)如图,在AABC中,NB=40°,ZC=30°,延长BA至点
D,则NCAD的大小为(C)
A.110°B.80°C.70°D.60°
C
第3题图第4题图
4.(金华六校联考)如图,AD是NCAE的平分线,NB=30°,NDAE=65°,
那么NACD等于(B)
A.60°B.80°
C.65°或80°D.100°
5.(蛛州校级期中)如图,一副分别含有30。和45。角的两个直角三角
板,拼成如下图形,其中NC=90°,ZB=45°,ZE=30°,则NBFD
的度数是(A)
A.15°B.25°
C.30°D.10°
第5题图第6题图
6.(嘉兴桐乡实验中学期中)如图所示,ZA,Zl,N2的大小关系是(⑶
A.ZA>Z1>Z2B.Z2>Z1>ZA
C.ZA>Z2>Z1D.Z2>ZA>Z1
7.(丽水中考)如图,在aABC中,ZA=63°,直线MN〃BC,且分别与
AB,AC相交于点D,E,若NAEN=133°,则NB的度数为70°.
8.(噪州期末)如图,在ZiABC中,E点是AB上的一点,DE_LAB交AC的
延长线于D点,已知NB=28°,ZD=46°,求NBCD的度数.
解:VDE1AB,AZAED=90°.
VZD=46°,:.ZA=44°.
.*.ZBCD=ZA+ZB=44O+28°=72°.
9.如图所示,在4ABC中,ZABC=ZC,BD是NABC的平分线,ZBDC
=87。,求NA的度数.
A
解::BD是NABC的平分线,
,NABC=2NCBD=2NABD.
VZCBD+ZC+ZBDC=180°,ZABC=ZC,
.,.3ZABD+870=180°.
.,.ZABD=31°.
VZCDB=ZA+ZABD,
.,.ZA=87°-31°=56°.
02中档题
10.(恩施中考)如图,已知AB〃DE,NABC=70°,NCDE=140°,则/BCD
的值为(B)
A.20°B.30°C.40°D.70°
第10题图第11题图
11.如图,N1、N2、N3分别是4ABC的3个外角,则N1+N2+N3
12.如图所示,^ABC中,点D,E分别是AC,BD上的点,且NA=65°,
ZABD=ZDCE=30°,则NBEC的度数是125°.
A
D
B7y
----------------Scc
第12题图第13题图
13.如图所示,已知NBDC=142°,ZB=34°,NC=28°,贝i]NA=80°.
14.(温州校级期中)如图,把AABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形
BCDE内部时,则NA与N1+N2之间有一种数量关系始终保持不变.请
试着找一找这个规律,你发现的规律是2NA=/1+N2.
15.如图,在AABC中,ZADB=100°,ZC=80°,ZBAD=|zDAC,BE
平分NABC,求NBED的度数.
解:VZADB=100°,ZC=80°,
AZDAC=ZADB-ZC=100°-80°=20°.
1
VZBAD=-乙ZDAC,
.*.ZBAD=1x20o=10°.
乙
在AABD中,NABC=180°-ZADB-ZBAD=180°-100°-10°=
70°,
VBE平分NABC,
ZABE=|zABC=1x70°=35°.
乙乙
ZBED=ZBAD+ZABE=100+35°=45°.
16.(温州新城学校初中部月考)如图,在aABC中,ZC=90°,BE平分
ZABC,AF平分外角NBAD,BE与FA交于点E,求NE的度数.
解:设NABC=x°,
•.•/BAD是AABC的夕卜角,ZC=90°,
.,.ZBAD=ZABC+ZC=90°+x°.
:AF平分外角NBAD,
.-.ZBAF=|zBAD=1(90°+x°).
VBE平分NABC,
11°
.,.ZABE=-ZABC=-x°.
乙乙
ZE=ZBAF-ZABE=1(90°+x°)--x°=45。.
乙乙
03综合题
17.图中的两个图形是五角星和它的变形.
(1)如图1是一个五角星,求证:ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180°;
⑵图1中的点A向下移到BE上时一(如图2),五个角的和(即NCAD
+NB+NC+ND+NE)有无变化?证明你的结论.
解:(1)证明:VZ1=ZC+ZE,N2=NB+ND,
Zl+Z2+ZA=180°,
.•.ZC+ZE+ZB+ZD+ZA=180°.
(2)无变化.VZ1=ZC+ZE,Z2=ZB+ZD,Zl+Z3+Z2=
180°,
.,.ZC+ZE+ZB+ZD+ZCAD=180°.
1.4全等三角形
01基础题
知识点1全等图形及全等三角形
1.在下列各组图形中,是全等的图形是(C)
△△11啰0口|
ABCD
2.如图,把4ACB沿着AB翻转,点C与点D重合,请用符号表示图中所
有的全等三角形.
解:ZkACE也ZiADE;ABCE^ABDE;AABC^AABD.
知识点2全等三角形的对应元素
3.如图所示,图中的两个三角形能完全重合,下列写法正确的是(〃)
A.AABE^AAFB
B.△ABEABF
C.AABE^AFBA
D.AABE^AFAB
4.已知:如图,Z^ABD与ACDB全等,ZABD=ZCDB,写出其余的对应
角和各对对应边.
解:NA与NC,NADB与NCBD是对应角;
BD与DB,AD与CB,AB与CD是对应边.
知识点3全等三角形的性质
5.如图所示,ZXABC义ZXCDA,并且AB=CD,那么下列结论错误的是(〃)
A.Z1=Z2
B.CA=AC
C.ZD=ZB
D.AB=BC
6.已知AABC也AA'B/C,若NA=50°,NB'=80°,则NC的度
数是(C)
A.30°B.40°C.50°D.60
7.如图,AABC也△DEF,请根据图中提供的信息,写出x=题.
8.如图,已知△AOC^^BOD.求证:AC//BD.
证明:VAAOC^ABOD,
.,.ZA=ZB.
,AC〃BD.
9.如图,4ABD0/XEBC,AB=3cm,BC=4.5cm,点A,B,C在一条直
线上.
⑴求DE的长;
(2)判断AC与BD的位置关系,并说明理由.
解:(1)VAABD^AEBC,
,AB=EB,BD=BC.
.*.DE=BD-BE=4,5—3=1.5(c%).
(2)AC±BD.
理由:VAABD^AEBC,
ZABD=ZEBC.
又•.•NABD+NEBC=180°,
.,.ZEBC=90°.
AACIBD.
02中档题
10.如图,AABC也AAED,那么图中相等的角有(C)
A.3对B.4对
C.5对D.6对
E
4
第10题图第11题图
11.如图,已知△ABC0^DEF,DF/7BC,且NB=60°,ZF=40°,点A
在DE上,则NBAD的度数为(夕)
A.15°B.20°
C.25°D.30°
12.如图,已知4ACF也△DBE,ZA=ZD,ZE=ZF,AD=11cm,BC=
7cm,则AB的长为2cm.
第12题图第13题图
13.如图,在AABC中,NB=25°,现将AABC绕其顶点C顺时针旋转
30°后,得△£口(;,则NBFD的度数为55°.
14.如图,将长方形纸片ABCD(AD>AB)沿AM折叠,使点D落在BC上(与
点N重合),如果AD=18.4cm,ZDAM=40°,求AN的长和NNAB的度
数.
解:\,沿AM折叠后,点D与点N重合,
AAADM^AANM.
,AN=AD=18.4cm,
ZMAN=ZMAD=40°.
•.•四边形ABCD是长方形,
.•.ZDAB=90°.
ZNAB=ZBAD-ZMAN-ZMAD=10°.
15.(温州新城学校初中部月考)如图,AABC之AADE,且NCAD=35°,
NB=ND=20°,ZEAB=105°,求NBFD和NBED的度数.
解:VAABC^AADE,
.\ZCAB=ZEAD.
又•.•NCAD=35°,ZEAB=105°,ZEAD+ZDAC+ZCAB=ZEAB=
105°,
.•.NEAD=NDAC=NCAB=35°.
ZDFB=ZDAB+ZB=70°+20°=90°,
ZBED=ZBFD-ZD=90°-20°=70°.
03综合题
16.已知,如图,A,D,E三点在同一直线上,且ABAD之Z\ACE.
(1)试说明BD=DE+CE;
(2)4ABD满足什么条件H寸,BD//CE?
解:(1)VABADACE,
A
.*.BD=AE,AD=CE.
VAE=AD+DE,
.*.AE=CE+DE.
.•.BD=CE+DE.
⑵4ABD满足NADB=90°时,BD//CE,
理由如下:•.•NADB=90°,
AZBDE=180°-90°=90°.
又•:ABADACE,
ZCEA=ZADB=90°.
ZCEA=ZBDE.
,BD〃CE.
1.5三角形全等的判定
第i课时三角形全等的判定(ssa
01基础题
知识点1利用“SSS”证明三角形全等
1.如图,下列三角形中,与aABC全等的是(C)
A.①B.②C.③D.④
2.如图所示,在AABC中,AB=AC,BE=CE,则由“SSS”可以判定(0
A.AABD^AACD△BDE^ACDE
C.AABE^AACE以上都不对
D
第2题图第3题图
3.如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC.将仪器上
的点A与NPRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边
上,过点A,C画一条射线AE,AE就是NPRQ的平分线.此角平分仪的画
图原理是:根据仪器结构,可得AABC之AADC,则说明这两个三角形全
等的依据是些S
4.如图,点C是AB的中点,AD=CE,CD=BE.求证:4ACD也ZXCBE.
证明:•.•点C是AB的中点,
,AC=CB.
在4ACD和△CBE中,
'AD=CE,
<CD=BE,
、AC=CB,
ZXACD也△CBE(SSS).
知识点2“SSS”与全等三角形性质的综合运用
D
BEC
5.如图所示,在AABC中,AD=ED,AB=EB,NA=80°,则NBED=80°.
6.(海宁新仓中学期中)如图,AF=DB,BC=EF,AC=ED,求证:CB/7EF.
证明:VAF=DB,
.,.AF+FB=DB+FB,
即AB=DF.
在4ACB和aDEF中,
'AB=DF,
<AC=DE,
、BC=FE,
.•.△ACB之△DEF(SS5).
.,.ZABC=ZDFE,
.•.CB〃EF.
知识点3三角形的稳定性
7.如图所示,不具有稳定性的是(方)
8.下列生产和生活:①用人字架来建筑房屋;②用窗钩来固定窗扇;③
在栅栏门上斜钉着一根木条;④商店的推拉活动防盗门等.其中,用到
三角形的稳定性的有(C)
A.1种B.2种
C.3种D.4种
知识点4用尺规作已知角的平分线
9.已知Na(如图),用直尺和圆规作Na的平分线.
解:如图所示.
02中档题
10.如图,AB=AC,AD=AE,BE=CD,Z2=110°,ZBAE=60°,下歹U
结论错误的是(。)
A.AABE^AACDB.△ABDACE
C.ZACE=30°
11.(临海期末)王师傅用4根木条钉成一个四边形木架,如图.要使这
个木架不变形,他至少还要再钉上几根木条?(B)
A.0根B.1根C.2根D.3根
12.如图所示,^ABC是不等边三角形,DE=BC,以D、E为两个顶点作
位置不同的三角形,使所作三角形与AABC全等,这样的三角形最多可
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