高斯求和1课件

高斯求和高斯的故事

德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人。大约10岁时，老师在算术课上出了一道难题：“把1到100的整数写下来，然后把它们加起来！”每当有考试时他们班有如下的习惯：第一个做完的就把石板（当时通常用于写字）面朝下地放在老师的桌子上，第二个做完的就把石板摆在第一张石板上，就这样一个个落起来。这道难题当然难不倒学过算术级数的人，但对于刚学算术不久的孩子来说，难度较大。老师心想：终于可以休息一下了！但他错了，因为还不到几秒钟，高斯已经把石板放在讲桌上了。同时说道：“答案在这儿”。而其他学生还在埋头苦干，把数字一个个加起来，有的额头都出汗了。但高斯却静静地坐着，对老师投来的怀疑眼光毫不在意。考完后，老师一张张地检查着石板，大部分都做错了，当然也免不了吃一顿鞭打。最后，高斯的石板被翻了过来，只见上面只有一个数字：5050。这正是正确的答案。老师吃了一惊！

1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，高斯把这道题巧算为：（1+100）×100÷2＝5050。

高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：（1）1，2，3，4，5，…，100；（2）1，3，5，7，9，…，99；（3）8，15，22，29，36，…，71。（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：

等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2。

根据等差数列的求和公式，可以变形得到如下的数量关系：

项数=（末项-首项）÷公差+1

末项=首项+公差×（项数-1）

首项=末项-公差×（项数-1）

公差＝（后项－前项）÷两项数之差例1：⑴1＋2＋3＋4＋5＋…＋19＋20＝？⑵2＋4＋6＋8＋…＋48＋50＝？

分析：观察上面两道题，不难发现它们都是等差数列。第⑴题的首项是1，末项是20，共有20个数。而第⑵题的首项是2，末项是50，共有25个数。由等差数列求和公式可得：

⑴1＋2＋3＋4＋5＋…＋19＋20＝（1＋20）×20÷2＝21×20÷2＝210

⑵2＋4＋6＋8＋…＋48＋50＝（2＋50）×25÷2＝52×25÷2＝650注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。练一练：

⑴计算1＋2＋3＋4＋5＋…＋49＋50的和解：原式＝（1＋50）×50÷2

＝51×50÷2＝1275

⑵计算1＋3＋5＋7＋…＋97＋99的和解：原式＝（1＋99）×50÷2＝100×50÷2＝2500⑶第一行放了1颗糖，第二行放了2颗糖，第三行放了3颗糖，依此类推，第四十行放了40颗糖，第一～四十行一共放了多少颗糖？1＋2＋3＋4＋5＋…＋40

＝（1＋40）×40÷2＝41×40÷2＝820（颗）例2：求5＋8＋11＋14＋…＋29＋32的和

分析：这是一个公差为3、首项为5、末项为32的等差数列。如果按等差数列求和的公式计算，还必须先找出项数。根据：项数＝（末项－首项）÷公差＋1，这个等差数列的项数是（32－5）÷3＋1＝10。

解：项数：（32－5）÷3＋1

＝27÷3＋1

＝9＋1

＝10

和：

5＋8＋11＋14＋…＋29＋32

＝（5＋32）×10÷2

＝37×10÷2

＝185练一练：⑴计算3＋7＋11＋…＋43＋47的和解：（47－3)÷4＋1＝44÷4＋1＝11＋1＝123＋7＋11＋…＋43＋47＝(3＋47)×12÷2＝50×12÷2＝600÷2＝300练一练：⑵计算5＋10＋15＋…＋90＋95＋100的和解：（100－5)÷5＋1＝95÷5＋1＝19＋1＝205＋10＋15＋…＋90＋95＋100＝(5＋100)×20÷2＝105×20÷2＝2100÷2＝1050练一练：⑶美羊羊学做蛋糕，第一天做了5个蛋糕，以后每天都比前一天多做2个，最后一天做了25个蛋糕，美羊羊这些天中一共做了多少个蛋糕？

（25－5)÷2＋1＝20÷2＋1＝10＋1＝11

(5＋25)×11÷2＝30×11÷2＝330÷2＝165例3：有一列数按如下规律排列：10、17、24、31…这列数中前80个数的和是多少？

分析：这是一个公差为7、首项为10、项数为80的等差数列，末项未知。如果按等差数列求和的公式计算，还必须先找出末项。根据末项=首项+公差×（项数-1），这个等差数列的末项是10＋7×（80－1）＝563。解：10＋7×（80－1）＝10＋7×79＝10＋553＝563（10＋563）×80÷2＝573×80÷2＝22920练一练：⑴有一列数按如下规律排列：5、9、13、17……这列数中前24个数的和是多少？5＋4×（24－1）＝5＋4×23＝5＋92＝97（5＋97）×24÷2＝102×24÷2＝1224练一练：⑵小明练习写毛笔字，第一天写了8个大字，以后每一天都比前一天多写3个，小明30天一共写了多少个毛笔字？8＋3×（30－1）＝8＋3×29＝8＋87＝95（8＋95）×30÷2＝103×30÷2＝1545练一练：⑶有一堆粗细均匀的圆木，最上面有33根，每一层都比上一层多1根，一共堆了15层，这堆圆木一共有多少根？33＋1×（15－1）＝33＋1×14＝33＋14＝47（33＋47）×15÷2＝80×15÷2＝600例4：（2＋4＋6＋…＋2012）－（1＋3＋5＋…＋2011）

分析：这道题可以分别求出括号内两个数列的和，然后相减。仔细观察，不难发现，这两个数列的项数一样多。而且前面括号内第一个数与后面括号内第一个数相减得1，前面括号内第二个数与后面括号内第二个数相减也得1……以此类推。解法一：（2012－2）÷2＋1＝2010÷2＋1＝1005＋1＝1006（2＋4＋6＋…＋2012）－（1＋3＋5＋…＋2011）＝（2＋2012）×1006÷2－（1＋2011）×1006÷2＝2014×1006÷2－2012×1006÷2＝1013042－1012036＝1006解法二：（2＋4＋6＋…＋2012）－（1＋3＋5＋…＋2011）＝（2－1）＋（4－3）＋…＋（2012－2011）＝1×1006＝1006练一练：⑴（7＋9＋11＋…＋25）－（5＋7＋9＋…＋23）解法一：（25－7）÷2＋1＝18÷2＋1＝9＋1＝10

（7＋9＋11＋…＋25）－（5＋7＋9＋…＋23）＝（7＋25）×10÷2－（5＋23）×10÷2＝32×10÷2－28×10÷2＝160－140＝20解法二：（7＋9＋11＋…＋25）－（5＋7＋9＋…＋23）＝（7－5）＋（9－7）＋…＋（25－23）＝2×10＝20练一练：⑵1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋…＋58＋59－60

分析：计算这道题，可以变减为加，整体推算。其中，减数均为3的倍数，共有60÷3＝20（个）1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋…＋58＋59－60＝（1＋60）×60÷2－（3＋60）×20÷2×2＝61×60÷2－63×20÷2×2＝1830－1260＝570练一练：⑴100以内所有加5后是6的倍数的数的和是多少？分析：100以内“加5后是6的倍数的数”，换一个说法，也就是“被6除余1的数。在这些数中最小的是1，最大的是91，而且相邻两数都相差6。即这些数依次是1、7、13、…91。显然，它们成等差数列，所以可以利用等差数列求和的公式来求和。首项是1，末项是91，公差是6。

解：项数＝（91－1）÷6＋1

＝90÷6＋1

＝15＋1

＝16总和＝（1＋91）×16÷2

＝92×16÷2

＝736练一练：⑵在1—400中，所有不是9的倍数的数的和是多少？分析：1—400中，所有“不是9的倍数的数的和”，可以先求出1—400各数的和，再去掉所有9的倍数的数的和，就能得到所要求的结果。而在所有9的倍数的数中，最小的是9，最大的是396，相邻两数都相差9。即这些数依次是9、18、27、…396。显然，它们成等差数列。项数是（396－9）÷9＋1＝44（1＋2＋3＋…＋400）－（9＋18＋27＋…＋396）

＝（1＋400）×400÷2－（9＋396）×44÷2

＝401×400÷2－405×44÷2

＝80200－8910

＝71290练一练：

⑶求所有被7除余数是1的三位数的和是多少？分析：在被7除