内蒙古自治区赤峰市克什克腾旗土城子镇中学2022年高三数学理期末试题含解析

内蒙古自治区赤峰市克什克腾旗土城子镇中学2022年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略2.已知双曲线中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，其图像过点（1，2）且离心率为，则该双曲线的实轴长为A．

B．3

C．2

D．6参考答案：C3.设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的A、充分而不必要条件

B、必要而不充分条件

C、充分必要条件

D、既不充分也不必要条件参考答案：C略4.已知实数满足不等式组

则目标函数的最小值与最大值的积为A．

B．

C．

D．参考答案：A5.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（）A.6斤 B.7斤 C.9斤 D.15斤参考答案：D【分析】直接利用等差数列的求和公式求解即可.【详解】因为每一尺的重量构成等差数列，，，，数列的前5项和为．即金锤共重15斤，故选D．【点睛】本题主要考查等差数列求和公式的应用，意在考查运用所学知识解答实际问题的能力，属于基础题.6.已知直线⊥平面α，直线平面β，给出下列命题：①α∥βl⊥m

②α⊥βl∥m

③l∥mα⊥β

④l⊥mα∥β其中正确命题的序号是

（

）A.①②③

B.②③④

C.①③

D.②④参考答案：C略7.已知和点M满足.若存在实数m使得成立，则m=（

）A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：B8.设函数的极值点的最大值为，若，则整数n的值为（

）A.-2 B.-1 C.0 D.1参考答案：C【分析】先对f（x）求导，得，令再求导得单调性，进而求出f（x）极值点最大值的范围.【详解】函数，求导得=0的根，设，得，=0的根，所以当x<-2时，<0,当x>-2时，>0,

所以在递减，在递增.所以在x=-2处取得最小值，所以,时，，且，所以在上递减，在上递增.，.所以（-2,-1）使得；（0,1）使得，所以在上递减，在上递增，在上递减.

所以x=为极大值点，x=为极小值点.的极值点的最大值为，若，所以，整数n=0.故选：C.【点睛】本题考查了函数的极值点的取值范围，利用导数判断函数的单调性和极值点的范围，属于中档题.9.已知集合，则(

)A．(1,3)

B．(1,3]

C．[－1,2)

D．(－1,2)参考答案：C10.若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”。下列方程：①；②，③；④对应的曲线中存在“自公切线”的有

（

）

A．①②

B．②③

C．①④

D．③④参考答案：B画图可知选B.①x2﹣y2=1是一个等轴双曲线，没有自公切线；②=，在x=

和x=﹣

处的切线都是y=﹣，故②有自公切线．③=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，故此函数有自公切线．④由于，即x2+2|x|+y2﹣3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．故答案为B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）（2015?泰州一模）袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为．参考答案：【考点】：古典概型及其概率计算公式．【专题】：排列组合．【分析】：从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，根据概率公式计算即可解：从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，故从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率P==；故答案为：．【点评】：本题考查了古典概型概率的问题，属于基础题12.已知锐角A，B满足tan(A＋B)＝2tanA，则tanB的最大值是

▲

．参考答案：13.存在实数x，使，则a的取值范围是_________参考答案：略14.已知锐角△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于钝角△A2B2C2的三个内角的正弦值，其中，若，则的最大值为

.

参考答案：15.如图，BD是半圆O的直径，A在BD的延长线上，AC与半圆相切于点E，AC⊥BC，若，AE=6，则EC=

．

参考答案：3考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：连结OE，由切线的性质定理得到OE⊥AC，从而可得OE∥BC．根据切割线定理得AE2=AD?AB，解出AB=，可得AO=，最后利用比例线段加以计算得到AC长，从而可得EC的长．解答： 解：连结OE，∵AC与半圆相切于点E，∴OE⊥AC，又∵AC⊥BC，∴OE∥BC．由切割线定理，得AE2=AD?AB，即36=，解得AB=，因此，半圆的直径BD=，AO=BD=．可得，所以AC==9，EC=AC﹣AE=3．故答案为：3点评：本题给出半圆满足的条件，求线段EC之长．着重考查了切线的性质定理、切割线定理与相似三角形等知识，属于中档题．16.某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图(如图)，则这1000名学生在该次自主招生水平测试中不低于分的学生数是

．参考答案：60017.设满足约束条件若目标函数的最大值为1，则的最小值为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分14分）如图倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点．（1）求抛物线的焦点的坐标及准线的方程；（2）若为锐角，作线段的垂直平分线交轴于点，证明为定值，并求此定值．参考答案：（1）设抛物线的标准方程为，则，从而．因此焦点的坐标为，又准线方程的一般式为．从而所求准线的方程为．（2）解法一：如图作，，垂足分别为，则由抛物线的定义知，．记的横坐标分别为，，则，解得．类似地有，解得．记直线与的交点为，则．所以．故．解法二：设，，直线的斜率为，则直线方程为．将此式代入得，故．记直线与的交点为，则，，故直线的方程为，令，得点的横坐标，故．从而为定值．19.已知F1，F2为椭圆：的左右焦点，点为其上一点，且．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：交椭圆C于A，B两点，且原点O在以线段AB为直径的圆的外部，试求k的取值范围．参考答案：（1）（2）【分析】（1）由椭圆的定义及点在椭圆上，代入椭圆方程可求得a、b，进而得椭圆的标准方程。（2）设出A、B的坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出，代入得到关于k的不等式，解不等式即可得k的取值范围。【详解】解：（1）由题可知，解得，所以椭圆的标准方程为：.（2）设，由，得，由韦达定理得：，，由得或.又因为原点在线段为直径的圆外部，则，，即，综上所述：实数的取值范围为20.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0）（Ⅰ）求圆心C的极坐标；（Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．参考答案：考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可．（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值，最后列出关于r的方程即可求出r值．解答： 解：（1）由ρsin（θ+）=，得

ρ（cosθ+sinθ）=1，∴直线l：x+y﹣1=0．由得C：圆心（﹣，﹣）．∴圆心C的极坐标（1，）．（2）在圆C：的圆心到直线l的距离为：∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，∴．r=2﹣∴当r=2﹣时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．点评：本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容．21.(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．(1)求证：AB1⊥平面A1BD；(2)设点O为AB1上的动点，当OD∥平面ABC时，求的值．参考答案：(1)取BC的中点为M，连接AM，B1M，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，ABC为正三角形，所以AM⊥BC，22.（本小题满分14分）已知为常数，且，函数的最小值和函数的最小值都是函数R的零点.（1）用含的式子表示，并求出的取值范围；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.参考答案：（1），；（2）最大值为，最小值为.试题分析：（1）先求函数和的最小值，再利用函数的零点即可得用含的式子表示，进而根据一元二次方程的根的分布情况即可得的取值范围；（2）先对函数求导，再判断函数在上的单调性即可得函数在区间上的最大值和最小值.试题解析：（1）解：由于，，则，当且仅当，即时，.

…1分，当时，.………2分∵，∴，.由于，结合题意，可知，方程的两根是，，

………3分故，.

………4分∴.∴.

………5分而方程的一个根在区间上，另一个根在区间上.令，则

………6分即解得

………7分∴.

………8分∴，.求的取值范围的其它解法：另法1：由，得，

………6分∵，∴．………７分∵，∴．………8分另法2：设，，

则，………6分故函数在区间上单调递减．∴．………７分∴．