信道编码纠错码

信道编码纠错码第一页，共一百零七页，2022年，8月28日6.1

纠错编译码的基本原理与分析方法6.2线性分组码6.3卷积码内容2第二页，共一百零七页，2022年，8月28日信源编码提高数字信号有效性将信源的模拟信号转变为数字信号 降低数码率,压缩传输频带(数据压缩)信道编码提高数字通信可靠性

数字信号在信道的传输过程中,由于实际信道的传输特性不理想以及存在加性噪声,在接收端往往会产生误码。编码3第三页，共一百零七页，2022年，8月28日6.1纠错编译码的基本原理

与分析方法4第四页，共一百零七页，2022年，8月28日6.1.1差错和差错控制系统分类差错率是衡量传输质量的重要指标之一,它有几种不同的定义。码元差错率/符号差错率指在传输的码元总数中发生差错的码元数所占的比例(平均值),简称误码率。是指信号差错概率比特差错率/比特误码率：在传输的比特总数中发生差错的比特数所占比例是指信息差错概率对二进制传输系统,符号差错等效于比特差错;对多进制系统,一个符号差错对应多少比特差错却难以确定5第五页，共一百零七页，2022年，8月28日差错率根据不同的应用场合对差错率有不同的要求:在电报传送时,允许的比特差错率约为:10－4～10－5；计算机数据传输,一般要求比特差错率小于:10－8～10－9；在遥控指令和武器系统的指令系统中,要求有更小的误比特率或码组差错率6第六页，共一百零七页，2022年，8月28日差错图样为定量地描述信号的差错,定义差错图样EE=C－R(模M)最常用的二进制码可当作特例来研究,其差错图样等于收码与发码的模2加,即

E=C⊕R

或C=R⊕E设发送的码字C1111111111

接收的码字R1001001111

差错的图样E0110110000差错图样中的“1”既是符号差错也是比特差错,差错的个数叫汉明距离。0:传输中无错1:传输中有错

7第七页，共一百零七页，2022年，8月28日差错图样随机差错：差错是相互独立的,不相关存在这种差错的信道是无记忆信道或随机信道突发差错：指成串出现的错误,错误与错误间有相关性,一个差错往往要影响到后面一串字E:001001000000

1001110000000

突发长度=4突发长度=68第八页，共一百零七页，2022年，8月28日纠错码分类从功能角度讲,差错码分为检错码和纠错码检错码：用于发现差错纠错码：能自动纠正差错纠错码与检错码在理论上没有本质区别,只是应用场合不同,而侧重的性能参数也不同。9第九页，共一百零七页，2022年，8月28日纠错码分类按照对信息序列的处理方法,有分组码和卷积码分组码：将k个信息码元分成一组,由这k个码元按照一定规则产生r个监督码元,组成长度n=k+r的码字

卷积码：先将信息序列分组,不同的是编解码运算不仅与本组信息有关,而且还与前面若干组有关。kk010101010001110010xxxx101xxxx010xxxxrnr10第十页，共一百零七页，2022年，8月28日纠错码分类按照码元与原始信息位的关系,分为线性码：所有码元均是原始信息元的线性组合,编码器不带反馈回路。非线性码：码元并不都是信息元的线性组合,可能还与前面已编的码元有关,编码器可能含反馈回路。由于非线性码的分析比较困难,早期实用的纠错码多为线性码,但当今发现的很多好码恰恰是非线性码。11第十一页，共一百零七页，2022年，8月28日纠错码分类按照适用的差错类型,分成:纠随机差错码:用于随机差错信道,其纠错能力用码组内允许的独立差错的个数来衡量。纠突发差错码:针对突发差错而设计,其纠错能力主要用可纠突发差错的最大长度来衡量12第十二页，共一百零七页，2022年，8月28日差错控制系统分类前向纠错(FEC)：发送端的信道编码器将信息码组编成具有一定纠错能力的码。接收端信道译码器对接收码字进行译码,若传输中产生的差错数目在码的纠错能力之内时,译码器对差错进行定位并加以纠正。13第十三页，共一百零七页，2022年，8月28日差错控制系统分类自动请求重发(ARQ)：发端发送检错码，收端译码器判断当前码字传输是否出错；当有错时按某种协议通过一个反向信道请求发送端重传已发送的码字(全部或部分)。14第十四页，共一百零七页，2022年，8月28日差错控制系统分类混合纠错(HEC)：是FEC与ARQ方式的结合。发端发送同时具有自动纠错和检测能力的码组,收端收到码组后,检查差错情况,如果差错在码的纠错能力以内,则自动进行纠正。如果信道干扰很严重,错误很多,超过了码的纠错能力,但能检测出来,则经反馈信道请求发端重发这组数据。信息反馈(IRQ)：收端把收到的数据,原封不动地通过反馈信道送回到发端,发端比较发的数据与反馈来的数据,从而发现错误,并且把错误的消息再次传送,直到发端没有发现错误为止。15第十五页，共一百零七页，2022年，8月28日检错与纠错原理0:晴,1:雨若1→0,0→1。收端无法发现错误00晴1001110011雨能发现一个错误禁用码组插入1位监督码后具有检出1位错码的能力,但不能予以纠正。16第十六页，共一百零七页，2022年，8月28日检错与纠错原理000晴010001111000111雨晴在只有1位错码的情况下,可以判决哪位是错码并予以纠正,可以检出2位或2位以下的错码。100011101110雨17第十七页，共一百零七页，2022年，8月28日检错与纠错原理最大似然译码：将接收到的码字译码为与它差别最小的许用码字,并且认为这个许用码字就是它所对应的发送码字,从而在码字的纠错能力内实现自动纠错。纠错编码之所以具有检错、纠错能力,是因为在信息码元之外加入了监督码。监督码不载信息,只是用来监督信息码在传输中有无差错。纠错编码所提高的可靠性,是以牺牲信道利用率为代价换取的。监督码引入越多,检错、纠错能力越强,但信道的传输效率下降也越多。18第十八页，共一百零七页，2022年，8月28日信道编码在被传输信息中附加一些冗余码,即监督码元,利用附加码元与信息码元间的约束关系加以校验,以检测和纠正错误。信源编码减少了冗余度冗余度是随机的、无规律的信道编码增加了冗余度冗余度是特定的、有规律的,故可利用其在接收端进行检错和纠错。信道编码19第十九页，共一百零七页，2022年，8月28日传输冗余比特必然要动用冗余的资源。时间：比如一个比特重复发几次,或一段消息重复发几遍,或根据收端的反馈重发受损信息组。频带：插入冗余比特后传输效率下降,若要保持有用信息的速率不变,方法之一是增大符号传递速率(波特率),结果就占用了更大的带宽。功率：采用多进制符号,用8进制ASK符号代替4进制ASK符号来传送2比特信息,可腾出位置另传1冗余比特。8进制ASK符号的平均功率肯定比4进制时要大,这就是动用冗余的功率资源来传输冗余比特。设备复杂度：加大码长,采用网格编码调制,是在功率、带宽受限信道中实施纠错编码的有效方法,代价是算法复杂度的提高,需动用设备资源。20第二十页，共一百零七页，2022年，8月28日信道编码的基本思想信道编码按一定规则给数字序列m增加一些多余的码元,使不具有规律性的信息序列m变换为具有某种规律性的数码序列C；码序列中的信息序列码元与多余码元之间是相关的；信道译码器利用这种预知的编码规则译码。检验接收到的数字序列R是否符合既定的

规则,从而发现R中是否有错,或者纠正其中的差错；根据相关性来检测/发现和纠正传输过程中产生的差错就是信道编码的基本思想。21第二十一页，共一百零七页，2022年，8月28日码距与检错、纠错能力纠错编码的检错纠错能力,要取决于码组的码距码距越大,检错、纠错能力越强。汉明距离：二个码组对应码位码元不同的个数。最小码距dmin：一个码组的集合中任意二个码组间的最小汉明距离。码重W：码组中非0的数目。22第二十二页，共一百零七页，2022年，8月28日码距与检错、纠错能力定理：若纠错码的最小距离为dmin，可以检测出任意小于等于l=dmin－1个差错⑵可以纠正任意小于等于个差错⑶可以检测出任意小于等于l同时纠正小于等于t个差错，其中l、t满足：l+t≤dmin－1t＜l23第二十三页，共一百零七页，2022年，8月28日检错、纠错能力为检查出

个错误，要求最小码距为为纠正个错误，要求最小码距为为纠正个错误，同时检查出个错误，要求最小码距为24第二十四页，共一百零七页，2022年，8月28日纠错检错示意图25第二十五页，共一百零七页，2022年，8月28日编码效率编码效率：一个组中信息所占的比重k：信息码元的数目n：编码组码元的总数目n=k+rr：监督码元的数目26第二十六页，共一百零七页，2022年，8月28日信道编码

第6章第二十七页，共一百零七页，2022年，8月28日6.1

纠错编译码的基本原理与分析方法6.2线性分组码6.3卷积码内容28第二十八页，共一百零七页，2022年，8月28日信源编码提高数字信号有效性将信源的模拟信号转变为数字信号 降低数码率,压缩传输频带(数据压缩)信道编码提高数字通信可靠性

数字信号在信道的传输过程中,由于实际信道的传输特性不理想以及存在加性噪声,在接收端往往会产生误码。编码29第二十九页，共一百零七页，2022年，8月28日6.1纠错编译码的基本原理

与分析方法30第三十页，共一百零七页，2022年，8月28日6.1.1差错和差错控制系统分类差错率是衡量传输质量的重要指标之一,它有几种不同的定义。码元差错率/符号差错率指在传输的码元总数中发生差错的码元数所占的比例(平均值),简称误码率。是指信号差错概率比特差错率/比特误码率：在传输的比特总数中发生差错的比特数所占比例是指信息差错概率对二进制传输系统,符号差错等效于比特差错;对多进制系统,一个符号差错对应多少比特差错却难以确定31第三十一页，共一百零七页，2022年，8月28日差错率根据不同的应用场合对差错率有不同的要求:在电报传送时,允许的比特差错率约为:10－4～10－5；计算机数据传输,一般要求比特差错率小于:10－8～10－9；在遥控指令和武器系统的指令系统中,要求有更小的误比特率或码组差错率32第三十二页，共一百零七页，2022年，8月28日差错图样为定量地描述信号的差错,定义差错图样EE=C－R(模M)最常用的二进制码可当作特例来研究,其差错图样等于收码与发码的模2加,即

E=C⊕R

或C=R⊕E设发送的码字C1111111111

接收的码字R1001001111

差错的图样E0110110000差错图样中的“1”既是符号差错也是比特差错,差错的个数叫汉明距离。0:传输中无错1:传输中有错

33第三十三页，共一百零七页，2022年，8月28日差错图样随机差错：差错是相互独立的,不相关存在这种差错的信道是无记忆信道或随机信道突发差错：指成串出现的错误,错误与错误间有相关性,一个差错往往要影响到后面一串字E:001001000000

1001110000000

突发长度=4突发长度=634第三十四页，共一百零七页，2022年，8月28日纠错码分类从功能角度讲,差错码分为检错码和纠错码检错码：用于发现差错纠错码：能自动纠正差错纠错码与检错码在理论上没有本质区别,只是应用场合不同,而侧重的性能参数也不同。35第三十五页，共一百零七页，2022年，8月28日纠错码分类按照对信息序列的处理方法,有分组码和卷积码分组码：将k个信息码元分成一组,由这k个码元按照一定规则产生r个监督码元,组成长度n=k+r的码字

卷积码：先将信息序列分组,不同的是编解码运算不仅与本组信息有关,而且还与前面若干组有关。kk010101010001110010xxxx101xxxx010xxxxrnr36第三十六页，共一百零七页，2022年，8月28日纠错码分类按照码元与原始信息位的关系,分为线性码：所有码元均是原始信息元的线性组合,编码器不带反馈回路。非线性码：码元并不都是信息元的线性组合,可能还与前面已编的码元有关,编码器可能含反馈回路。由于非线性码的分析比较困难,早期实用的纠错码多为线性码,但当今发现的很多好码恰恰是非线性码。37第三十七页，共一百零七页，2022年，8月28日纠错码分类按照适用的差错类型,分成:纠随机差错码:用于随机差错信道,其纠错能力用码组内允许的独立差错的个数来衡量。纠突发差错码:针对突发差错而设计,其纠错能力主要用可纠突发差错的最大长度来衡量38第三十八页，共一百零七页，2022年，8月28日差错控制系统分类前向纠错(FEC)：发送端的信道编码器将信息码组编成具有一定纠错能力的码。接收端信道译码器对接收码字进行译码,若传输中产生的差错数目在码的纠错能力之内时,译码器对差错进行定位并加以纠正。39第三十九页，共一百零七页，2022年，8月28日差错控制系统分类自动请求重发(ARQ)：发端发送检错码，收端译码器判断当前码字传输是否出错；当有错时按某种协议通过一个反向信道请求发送端重传已发送的码字(全部或部分)。40第四十页，共一百零七页，2022年，8月28日差错控制系统分类混合纠错(HEC)：是FEC与ARQ方式的结合。发端发送同时具有自动纠错和检测能力的码组,收端收到码组后,检查差错情况,如果差错在码的纠错能力以内,则自动进行纠正。如果信道干扰很严重,错误很多,超过了码的纠错能力,但能检测出来,则经反馈信道请求发端重发这组数据。信息反馈(IRQ)：收端把收到的数据,原封不动地通过反馈信道送回到发端,发端比较发的数据与反馈来的数据,从而发现错误,并且把错误的消息再次传送,直到发端没有发现错误为止。41第四十一页，共一百零七页，2022年，8月28日检错与纠错原理0:晴,1:雨若1→0,0→1。收端无法发现错误00晴1001110011雨能发现一个错误禁用码组插入1位监督码后具有检出1位错码的能力,但不能予以纠正。42第四十二页，共一百零七页，2022年，8月28日检错与纠错原理000晴010001111000111雨晴在只有1位错码的情况下,可以判决哪位是错码并予以纠正,可以检出2位或2位以下的错码。100011101110雨43第四十三页，共一百零七页，2022年，8月28日检错与纠错原理最大似然译码：将接收到的码字译码为与它差别最小的许用码字,并且认为这个许用码字就是它所对应的发送码字,从而在码字的纠错能力内实现自动纠错。纠错编码之所以具有检错、纠错能力,是因为在信息码元之外加入了监督码。监督码不载信息,只是用来监督信息码在传输中有无差错。纠错编码所提高的可靠性,是以牺牲信道利用率为代价换取的。监督码引入越多,检错、纠错能力越强,但信道的传输效率下降也越多。44第四十四页，共一百零七页，2022年，8月28日信道编码在被传输信息中附加一些冗余码,即监督码元,利用附加码元与信息码元间的约束关系加以校验,以检测和纠正错误。信源编码减少了冗余度冗余度是随机的、无规律的信道编码增加了冗余度冗余度是特定的、有规律的,故可利用其在接收端进行检错和纠错。信道编码45第四十五页，共一百零七页，2022年，8月28日传输冗余比特必然要动用冗余的资源。时间：比如一个比特重复发几次,或一段消息重复发几遍,或根据收端的反馈重发受损信息组。频带：插入冗余比特后传输效率下降,若要保持有用信息的速率不变,方法之一是增大符号传递速率(波特率),结果就占用了更大的带宽。功率：采用多进制符号,用8进制ASK符号代替4进制ASK符号来传送2比特信息,可腾出位置另传1冗余比特。8进制ASK符号的平均功率肯定比4进制时要大,这就是动用冗余的功率资源来传输冗余比特。设备复杂度：加大码长,采用网格编码调制,是在功率、带宽受限信道中实施纠错编码的有效方法,代价是算法复杂度的提高,需动用设备资源。46第四十六页，共一百零七页，2022年，8月28日信道编码的基本思想信道编码按一定规则给数字序列m增加一些多余的码元,使不具有规律性的信息序列m变换为具有某种规律性的数码序列C；码序列中的信息序列码元与多余码元之间是相关的；信道译码器利用这种预知的编码规则译码。检验接收到的数字序列R是否符合既定的

规则,从而发现R中是否有错,或者纠正其中的差错；根据相关性来检测/发现和纠正传输过程中产生的差错就是信道编码的基本思想。47第四十七页，共一百零七页，2022年，8月28日码距与检错、纠错能力纠错编码的检错纠错能力,要取决于码组的码距码距越大,检错、纠错能力越强。汉明距离：二个码组对应码位码元不同的个数。最小码距dmin：一个码组的集合中任意二个码组间的最小汉明距离。码重W：码组中非0的数目。48第四十八页，共一百零七页，2022年，8月28日码距与检错、纠错能力定理：若纠错码的最小距离为dmin，⑴可以检测出任意小于等于l=dmin－1个差错⑵可以纠正任意小于等于个差错⑶可以检测出任意小于等于l同时纠正小于等于t个差错，其中l、t满足：l+t≤dmin－1t＜l49第四十九页，共一百零七页，2022年，8月28日编码效率编码效率：一个组中信息所占的比重k：信息码元的数目n：编码组码元的总数目n=k+rr：监督码元的数目50第五十页，共一百零七页，2022年，8月28日检错码奇偶校验码(n，n-1)(k+1，k)偶校验码字51第五十一页，共一百零七页，2022年，8月28日6.1概述误码分类随机信道——噪声引入的随机误码，均匀分布突发信道——由干扰、快衰落引起的突发误码如何减少误码？从信源编码看，误码引起的性能恶化尽可能小，容错技术从传输看，可采用抗干扰能力强的调制方式，信道特性不理想可采用均衡。特别需要差错控制技术。数字通信中，要求误码率10－8以下，必须采用差错控制。52第五十二页，共一百零七页，2022年，8月28日二元码产生误码的情况53第五十三页，共一百零七页，2022年，8月28日6.1.1差错控制分类需要双向信道，和前向信道有相同的通信容。引入较大的停顿（不实时）。可以纠正任何错误。1.反馈检验法54第五十四页，共一百零七页，2022年，8月28日2.检错重发法（ARQ）自动请求重发也需要反向信道，但容量可以降低，也会引入停顿55第五十五页，共一百零七页，2022年，8月28日3.前向纠错（FEC）不需要双向信道不会引入停顿靠纠错编码56第五十六页，共一百零七页，2022年，8月28日4.混合纠错（HEC）需要反馈信道可能会引入停顿靠纠错编码和检错码57第五十七页，共一百零七页，2022年，8月28日6.1.2差错控制编码的基本原理如用三位二进制编码来代表八个字母

000 A 100 E 001 B 101 F 010 C 110 G 011 D 111 H不管哪一位发生错误，都会使传输字母错误如用三位字母传四个字母

000 A 011 B 101 C 110 D发生一位错误，准用码字将变成禁用码字，接收端就能知道出错，但是不能纠错。58第五十八页，共一百零七页，2022年，8月28日差错控制编码如用三位字母传二个字母

000A 111 B 检二个错误，纠正一个错误。结论具有检错或纠错的码组，其所用的比特数必须大于信息码组原来的比特数 －>引入余度。59第五十九页，共一百零七页，2022年，8月28日码重、码距码重(weight)一个码组中“1”的数目码距(distance)两个码组之间对应位置上1、0不同的位数，又叫汉明(Hamming)距。

10110码重：3 011002

距离：360第六十页，共一百零七页，2022年，8月28日检错、纠错能力为检查出

个错误，要求最小码距为为纠正个错误，要求最小码距为为纠正个错误，同时检查出个错误，要求最小码距为61第六十一页，共一百零七页，2022年，8月28日62第六十二页，共一百零七页，2022年，8月28日6.1.3.差错控制编码分类按功能分检错码纠错码纠删码（发现不可纠正的错误时，可发出指示或删除）按信息码元和监督码元之间的校验关系分线性码非线性码按信息码元和监督码元之间的约束方式分分组码卷积码63第六十三页，共一百零七页，2022年，8月28日香农理纠错码的理论基础香农定理存在噪声干扰的信道，若信道容量为C，只要发送端以低于C的速率R发送信息（R为输入到编码器的二进制码元速率），则一定存在一种编码方式，使编码的错误概率随着码长n的增加将按指数下降到任一的值，即

P120结论如码长及发送信息速率一定，可以通过增大信道容量，使P减小。如在信道容量及发送信息速率一定，可以通过增加码长，使错误概率下降。64第六十四页，共一百零七页，2022年，8月28日分组码表示：(n,k) n:帧长 k/n:编码效率特点监督码只用来监督本帧中的信息位分类线性码－信息码与监督码之间为线性关系非线性码－不存在线性关系65第六十五页，共一百零七页，2022年，8月28日奇偶监督码偶监督奇监督如果以上关系被破坏，则出现错误，因此能检查出奇数个错误，但不能检测偶数个错误。 最小码距为dmin=2这种码检错能力不高，采用什么方法提高呢？66第六十六页，共一百零七页，2022年，8月28日水平奇偶监督码和水平垂直监督码又叫二维奇偶监督码水平奇偶监督码检码字按行排成方阵，每行采用奇偶监督码，发送时按列的顺序传送，接收时仍将码字排列成发送时方阵形式，然后按行进行奇偶校验。在不增加冗余度时，不仅发现某一行上奇数个错误，而且也能发现不大于方阵行数的突发错误。水平垂直奇偶监督码不仅对行进行奇偶校验，而且也对列进行奇偶校验。67第六十七页，共一百零七页，2022年，8月28日分组码(1)分组码的监督方程矩阵形式6.2线性分组码68第六十八页，共一百零七页，2022年，8月28日分组码(2)监督矩阵H矩阵称为典型形式，各行一定是线性无关的。而一个非典型形式的经过运算可以化成典型形式，通过监督矩阵可以知道监督码和信息码的监督关系。69第六十九页，共一百零七页，2022年，8月28日分组码(3)生成矩阵

，通过生成矩阵可以得到生成码组。如果输入码组为001170第七十页，共一百零七页，2022年，8月28日分组码(4)由这种方式得到的生成矩阵称为典型生成矩阵，由它产生的分组码必定为系统码，也就是信息码字保持不变，监督位附加其后，每行一定是线性无关的，每行都是一个生成码组。71第七十一页，共一百零七页，2022年，8月28日汉明码 汉明码监督位为位，因此它可以组成种可能情况，其中一个为无错。因此可以监督码位共 要纠正一个错误，必须满足 最小码距如果r位监督位所组成的校正子码组与误码图样一一对应，这种码组称为完备码（取等号时）72第七十二页，共一百零七页，2022年，8月28日扩展汉明码如果在汉明码基础上，再加上一位对所有码字进行校验的监督位监督码字由r

位增加到

r+1位信息位不变码长 码结构纠1位错，检测2位错如（8，4），（16，11）73第七十三页，共一百零七页，2022年，8月28日扩展汉明码矩阵如(7,4)－>(8,4)74第七十四页，共一百零七页，2022年，8月28日缩短汉明码(n,k)－>(n-s,k-s)如(15,11)－>(12,8)

监督矩阵Hs是将原H的前3列去掉缩短汉明码的最小码距至少和原来码的码距相同，因为监督位没有变。75第七十五页，共一百零七页，2022年，8月28日能纠t个错误的(n,k)应满足

取等号时为完备码不同结构的线性码其纠错能力不同，能力和dmin有关，dmin越大越好。76第七十六页，共一百零七页，2022年，8月28日最小码距界限上界：汉明界，普洛特金界下界：吉尔伯特界问题：给定码长与编码效率，寻找dmin例：dmin=5,码长=63的分组码设计

从汉明界得，

因此信息位最多可以取77第七十七页，共一百零七页，2022年，8月28日最小码距界限通过吉尔伯特界求下界线性码

k越接近52，效率越高。78第七十八页，共一百零七页，2022年，8月28日6.3循环码(Cycliccode)

1957年发现特点线性分组码循环性——任一许用码字经过循环移位后，得到的码组仍为一个许用码组如是循环码的一许用码组则也是一许用码组

79第七十九页，共一百零七页，2022年，8月28日码多项式表示码组 码多项式码组码多项式左移一位左移位80第八十页，共一百零七页，2022年，8月28日循环码性质

为许用码组，则也是许用码组性质 若是长度为n的循环码组，则在按模进行运算后，也是一个循环码组，也就是用多项式除后所得之余式，即为所求的码组。81第八十一页，共一百零七页，2022年，8月28日循环码例子码组左移3位去除得余式如左移3位后，得是许用码组82第八十二页，共一百零七页，2022年，8月28日循环码生成多项式g(D)g(D)是D的(n-k)次即r次多项式信息多项式为M(D),k位，(k-1)次多项式83第八十三页，共一百零七页，2022年，8月28日Theo.一个(n,k)的二进制循环码可以看成是唯一由它的生成多项式产生，即如(7,3)循环码，n=7,k=3,r=4如果信息位为010，M(D)=D

生成码为0111010循环码生成多项式g(D)84第八十四页，共一百零七页，2022年，8月28日生成矩阵G(D)由于k位信息位共有个码组，都可用此法产生，如果现有信息码生成k个码字，且这k个码字都线性无关，用这k个码字作为一个矩阵G的k行构成生成矩阵G(D)85第八十五页，共一百零七页，2022年，8月28日循环码(7,3)循环码86第八十六页，共一百零七页，2022年，8月28日生成矩阵和监督矩阵这样构成的循环码并非是系统码系统码的生成矩阵典型形式非系统码系统码生成矩阵监督矩阵87第八十七页，共一百零七页，2022年，8月28日非系统码系统码系统码的码多项式为例如，(7,4)码，101188第八十八页，共一百零七页，2022年，8月28日非系统码系统码89第八十九页，共一百零七页，2022年，8月28日寻找生成多项式Theo.循环码的生成多项式必须能除尽

h(D)是监督多项式例：要构成(7,3)循环码，求g(D).

解：g(D)应为4阶

生成(7,6)循环码生成(7,1)循环码90第九十页，共一百零七页，2022年，8月28日循环码的编码器原理：按系统码的生成方式 以(7,4)码为例

91第九十一页，共一百零七页，2022年，8月28日循环码的译码器译码比编码复杂得多译码三步伴随式S的计算由S得到错误图样纠正92第九十二页，共一百零七页，2022年，8月28日伴随式的计算发送码组接收码组误差码组校正子只与E有关，根本是计算校正子93第九十三页，共一百零七页，2022年，8月28日6.4BCH码即约多项式一个m次多项式不能被二元域上任何二次数小于的，但大于0的多项式除尽，如是即约的。本原多项式若m次多项式P(x)除尽的的最小正整数n满足，就称为本原的。如能除尽，但除不尽的 。如：是即约的，但不是本原的，因它能除尽。94第九十四页，共一百零七页，2022年，8月28日6.4.1本原循环码由本原多项式构成的码称为本原码。特点码长为它的生成多项式是由若干m阶或以m的因子为最高阶的多项式相乘而构成。要判定(n,k)的循环码是否存在，只需要判断n-k阶的生成多项式是否能由Dn+1的因式构成。95第九十五页，共一百零七页，2022年，8月28日循环码例子生成多项式的阶次为r,该生成多项式是否是的因此。一个m阶即约多项式一定能除尽如，m＝5，共有6个5阶即约多项式。再加上因子，是以上7个多项式的乘积。96第九十六页，共一百零七页，2022年，8月28日6.4.2BCH码的生成多项式如果循环码形式的形式为为纠错个数，为最小多项式， 为最小公倍数最小码距码长为的BCH码称为本BCH码（侠义）码长为则称为非本原BCH码97第九十七页，共一百零七页，2022年，8月28日BCH码由于g(D)有t个因式，且每个因式的最高次为m，因此监督码元最多有mt位。对于纠t个错误的本原BCH码，其生成多项式纠单个错误的本原BCH码字为汉明码。表11－13给出了n<5的本原BCH码。

11－14给出了部分非