2020-2021高中数学人教版1-1配套学案：1.1.2四种命题 1.1.3四种命题间的相互关系含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年高中数学人教A版选修1-1配套学案：1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系含解析1.1。2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系自主预习·探新知情景引入汉语是世界上美丽的语言．对于同样的几个字、几个词，不同的排列方式,往往产生不同的效果．在我们的校园里有着这样的宣传语：为了一切的孩子、为了孩子的一切、一切为了孩子，每一种表述有着不一样的意义．同样地，数学也是美丽的语言,这其中是否也有着同样的文字，但不同的排列含义是否不一样呢？新知导学1．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做__互逆命题__，其中一个命题叫做__原命题__，另一个叫做原命题的__逆命题__。2．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做__互否命题__,其中一个命题叫做__原命题__，另一个叫做原命题的__否命题__。3．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做__互为逆否命题__，其中一个命题叫做__原命题__，另一个叫做原命题的__逆否命题__。4．四种命题的相互关系5．(1）原命题为真，它的逆命题__不一定__为真．（2)原命题为真，它的否命题__不一定__为真．（3)原命题为真,它的逆否命题__一定__为真．即互为逆否的命题是等价命题，它们同__真__同__假__,同一个命题的逆命题和否命题是一对互为__逆否__的命题，它们同__真__同__假__。预习自测1．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则｜a｜＝｜b|”的逆命题是(D)A．若a≠－b，则｜a|≠|b｜B．若a＝－b，则｜a｜≠|b｜C．若|a|≠|b|,则a≠－bD．若|a｜＝|b|,则a＝－b[解析］原命题的条件是“a＝－b”，结论是“|a｜＝｜b|",根据原命题与逆命题的关系知，选D．2．当命题“若p，则q”为真时，下列命题中一定是真命题的是(C）A．若q，则p B．若¬p,则¬qC．若¬q,则¬p D．若¬p，则q［解析]∵“若p，则q"为真，∴其逆否命题“若¬q，则¬p”一定为真．3．若命题p的逆命题是q，命题p的否命题是r，则命题q是命题r的(C)A．逆命题 B．否命题C．逆否命题 D．以上都不对[解析]同一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，故选C．4．命题“对于正数a，若a>1,则lga>0"及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中，真命题的个数为(D）A．0 B．1C．2 D．4［解析]原命题“对于正数a，若a〉1，则lga〉0”是真命题；逆命题“对于正数a,lga>0,则a>1"是真命题；否命题“对于正数a，若a≤1，则lga≤0”是真命题；逆否命题“对于正数a，若lga≤0，则a≤1”是真命题．5．(2020·山西太原高二期末)命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是__若x≤－1或x≥1,则x2≥1__.[解析]x2＜1的否定为x2≥1,－1＜x＜的否定为x≥1或x≤－1，故命题“若x2＜1,则－1＜x＜1”的逆否命题是“若x≤－1或x≥1，则x2≥1”．互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶命题的四种形式之间的转换典例1写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．（1）负数的平方是正数；(2）正方形的四条边相等．[思路分析]此题的题设和结论不很明显，因此首先将命题改写成“若p，则q"的形式，然后再写出它的逆命题、否命题与逆否命题．［解析］(1）改写成“若一个数是负数，则它的平方是正数"．逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．逆否命题:若一个数的平方不是正数，则它不是负数．(2）原命题可以写成：若一个四边形是正方形,则它的四条边相等．逆命题：若一个四边形的四条边相等,则它是正方形．否命题：若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等．逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．『规律方法』关于原命题的逆命题、否命题和逆否命题的写法:首先：把原命题整理成“若p，则q”的形式．其次：(1）“换位”（即交换命题的条件与结论）得到“若q，则p”，即为逆命题;(2)“换质”（即将原命题的条件与结论分别否定后作为条件和结论）得到“若非p，则非q”即为否命题;(3)既“换位”又“换质"(即把原命题的结论否定后作为新命题的条件，条件否定后作为新命题的结论)得到“若非q,则非p”即为逆否命题．关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写．┃┃跟踪练习1__■写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．（1）若x2＋y2＝0,则x、y全为0；（2）若a＋b是偶数，则a、b都是偶数．［解析］(1）逆命题：若x、y全为0,则x2＋y2＝0；否命题:若x2＋y2≠0，则x、y不全为0；逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0.(2）逆命题：若a、b都是偶数，则a＋b是偶数;否命题：若a＋b不是偶数,则a、b不都是偶数；逆否命题：若a、b不都是偶数，则a＋b不是偶数．命题方向❷四种命题的关系及真假判断典例2写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．(1)若A∩B＝A，则A⊆B；(2）垂直于同一条直线的两直线平行；（3）若ab＝0,则a＝0或b＝0。[思路分析]找准原命题的条件和结论，依照定义写出另外三种命题．[解析](1）逆命题:若A⊆B，则A∩B＝A．真命题；否命题：若A∩B≠A，则AB．真命题；逆否命题：若AB，则A∩B≠A．真命题．（2）逆命题：若两条直线平行，则它们垂直于同一条直线．真命题；否命题:若两条直线不垂直于同一条直线,则它们不平行．真命题；逆否命题:若两条直线互相不平行，则它们不垂直于同一条直线．假命题．（3)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0。真命题；否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0.真命题；逆否命题：若a≠0，且b≠0，则ab≠0.真命题．『规律方法』1。由原命题写出其他三种命题，关键是要分清原命题的条件与结论，尤其是写否命题和逆否命题时，要注意对原命题中条件和结论的否定，这种否定要从条件和结论的真假性上进行否定，而不是仅仅加上一个“不”字，为此可根据“互为逆否关系的命题同真假”进行检验．2．当一个命题是否定性命题且不易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假以达到目的．┃┃跟踪练习2__■设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是（A)A．原命题为真，逆命题为假B．原命题为假,逆命题为真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题［解析]因为原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1"的逆否命题为“若a、b都小于1,则a＋b<2"，显然为真,所以原命题为真;原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a、b中至少有一个不小于1,则a＋b≥2”，是假命题，反例为a＝1。2，b＝0.3，故选A．命题方向❸正难则反，等价转化思想我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．典例3证明:已知函数f（x)是(－∞，＋∞）上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f（b)≥f(－a)＋f（－b)，则a＋b≥0。[思路分析］已知函数f(x)的单调性，可将自变量的大小与函数值的大小关系相互转化，本题中条件较复杂，而结论比较简单，故转化为证明其逆否命题．[解析]原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数,a、b∈R，若a＋b〈0，则f(a)＋f（b）<f(－a)＋f(－b）．”证明如下:若a＋b<0，则a<－b，b<－a，又∵f(x)在（－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a）〈f(－b),f（b）〈f(－a)．∴f(a）＋f（b）<f(－a)＋f(－b),即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．┃┃跟踪练习3__■判断命题“已知a、x为实数，若关于x的不等式x2＋（2a＋1)x＋a2＋2〉0的解集是R，则a<eq\f（7,4）”的逆否命题的真假．[解析］先判断原命题的真假如下：∵a、x为实数,关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2〉0的解集为R，且抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，所以Δ＝（2a＋1)2－4（a2＋2）＝4a－7<0，∴a<eq\f(7,4)。所以原命题是真命题．又∵互为逆否命题的两个命题同真同假,∴原命题的逆否命题为真命题．学科核心素养命题的间接证明当一个命题的真假不容易证明时，常借助它的逆否命题的真假来证明；利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．典例4关于命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下,则｛x|ax2＋bx＋c〈0｝≠∅"的逆命题、否命题、逆否命题的真假性,下列结论成立的是（D)A．都真 B．都假C．否命题真 D．逆否命题真［解析]原命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则｛x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”为真命题；逆命题“若｛x｜ax2＋bx＋c〈0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”为假命题，因为抛物线的开口也可能向上（a〉0）；根据命题间的等价关系可知其否命题为假，逆否命题为真．故选D．『规律方法』由于原命题与其逆否命题是等价的，因此当我们证明或判断原命题感到困难时，可考虑证明它的逆否命题成立，这样也能达到证明原命题成立的目的．这种证法叫做逆否证法．┃┃跟踪练习4__■求证:当a2＋b2＝c2时，a，b，c不可能都是奇数．［解析］证明:构造命题p:若a2＋b2＝c2，则a,b，c不可能都是奇数．该命题的逆否命题是：若a,b，c都是奇数，则a2＋b2≠c2.下面证明逆否命题是真命题．由于a，b,c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，于是a2＋b2必为偶数,而c2为奇数，所以有a2＋b2≠c2,故逆否命题为真命题，从而原命题也是真命题．易混易错警示分清命题的条件与结论典例5写出命题“已知a、b、c、d是实数，如果a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”的逆命题、否命题，并判断它们的真假．［错解］逆命题：如果a＋c＝b＋d,则a、b、c、d是实数,且a＝b，c＝d.假命题．否命题：如果a、b、c、d不是实数，a≠b，